Chuyên đề luyện thi Đại học môn Toán - Phương pháp tìm nguyên hàm, tích phân

g hợp đối với cotnA xdx
β
α
= ∫ ta giải tương tự. 
 3. Tích phân dạng: 
sinn
dx
A
x
β
α
= ∫ hoặc osn
dx
A
c x
β
α
= ∫ 
 Phương pháp: 
 a) Trường hợp n là số chẵn (n = 2k, k là số nguyên và k > 1). Ta biến đổi như sau: 
 ( )22 2 2 2 2 2 21 1. . 1 cot .sin sin sin sin sin sin
k
k
k k
dx dx dx dx
A x
x x x x x x
β β β
α α α
−
 
= = = = + 
 
∫ ∫ ∫ ∫ 
 Đến đây, ta đặt 
2
cot
sin
dx
u x du
x
= ⇒ = − , đổi cận và thay các kết quả vào A để đưa về dạng 
tích phân của hàm đa thức. 
 b) Trường hợp n là số lẻ (n = 2k+1, k là số nguyên và k > 0). Ta biến đổi như sau: 
 ( ) ( )2 1 2 2 2 2
sin sin sin
sin sin sin 1 cos
k kk k
dx xdx xdx xdx
A
x x x x
β β β β
α α α α
+ +
= = = =
−
∫ ∫ ∫ ∫ 
 Đến đây, ta đặt cos sinu x du xdx= ⇒ = − , đổi cận và thay các kết quả vào A để đưa vè dạng 
tích phân của hàm hữu tỷ 
 Trường hợp đối với 
cosn
dx
A
x
β
α
= ∫ ta giải tương tự. 
 4. Tích phân dạng: 
cos sin
dx
A
a x b x c
β
α
=
+ +∫
 Phương pháp: 
 1. Đặt tan
2
x
t = , khi đó ta có: 
Tài liệu luyện thi đại học 
Biên soạn: Buicongluan.ltqb@gmail.com Trang 9/25 
 ( )2 2 21 1 21 tan 12 2 2 1
x dt
dt dx t dx dx
t
 
= + = + ⇒ =  + 
2
2 2
1 2
cos , sin
1 1
t t
x x
t t
−
= =
+ +
 2. Đổi cận tích phân. 
 3. Thay các kết quả ở trên vào A để đưa A vè dạng tích phân hàm số hữu tỷ. 
 5. Tích phân dạng: 
sin
cos sin
xdx
A
a x b x
β
α
=
+∫
;
cos
cos sin
xdx
B
a x b x
β
α
=
+∫
 Phương pháp: 
 Ta nên kết hợp cả hai dạng trên để hỗ trợ tính một trong hai tích phan bằng cách dùng 
các tổ hợp kết quả sau: 
sin cos cos sin
cos sin cos sin cos sin
b xdx a xdx a x b x
bA aB dx dx
a x b x a x b x a x b x
β β β β
α α α α
+
+ = + = =
+ + +∫ ∫ ∫ ∫
cos sin cos sin
ln cos sin
cos sin cos sin cos sin
b xdx a xdx b x a x
bB aA dx a x b x
a x b x a x b x a x b x
β β β β
α
α α α
−
− = − = = +
+ + +∫ ∫ ∫
 Từ hai kết quả trên, ta giải tìm A hoặc tìm B tùy theo yêu cầu của bài toán. 
 6. Tích phân dạng: sin .cosn mA x xdx
β
α
= ∫ 
 Phương pháp: 
 a) Trường hợp có ít nhất một trong hai số m, n là số lẻ: Giả sử m là số lẻ (m = 2k +1), ta 
biến đổi như sau: 
( )
( )
2 2
2
sin .cos .cos sin . cos .cos
sin . 1 sin .cos
k
n k n
k
n
A x x xdx x x xdx
x x xdx
β β
α α
= =
= −
∫ ∫
∫
 Đến đây, ta đặt sin cosu x du xdx= ⇒ = , đổi cận và chuyển tích phân cần tính về dạng tích 
phân của hàm đa thức. 
 b) Trường hợp cả m, n đều là số chẵn: Ta thực hiện biến đổi như sau: 
 ( ) ( ) '2 2 ' 2 2sin .cos sin . cosk kk kA x xdx x x dxβ β
α α
= =∫ ∫ 
 Đến đây ta đặt u = tanx, khi đó: 
 ( )2 21 tan 1
du
du x dx dx
t
= + ⇒ =
+
 2
2
1
cos
1
x
u
=
+
, 
2
2
2
sin
1
u
x
u
=
+
 Đổi cận tích phân, thay các kết quả trên vào A và chuyển A về dạng tích phân hàm hữu tỷ. 
 7. Tích phân dạng: 2 2( cos sin ).sin 2A f a x b x c xdx
β
α
= + +∫ 
 Phương pháp: 
 1. Đặt 2 2cos sinu a x b x c= + + , khi đó ta có: 
Tài liệu luyện thi đại học 
Biên soạn: Buicongluan.ltqb@gmail.com Trang 10/25 
 ( ) ( )2 .sin .cos sin 2du b a x xdx b a xdx= − = − 
 2. Đổi cận tích phân. 
 3. Thay các kết quả trên vào A và đưa A về dạng tích phân hàm số hữu tỷ. 
 8. Tích phân dạng: 
cos .sinm n
dx
A
x x
β
α
= ∫ 
 Phương pháp: 
 a) Trường hợp hai số m và n đều là số chẵn (m = 2k, n = 2k') 
 Ta thực hiện biến đổi như sau: 
' 1
2 2 ' 2 2 ' 2 2 2 2 2
1 1
. .
cos .sin cos .sin .sin cos sin sin
k k
k k k k
dx dx dx
A
x x x x x x x x
β β β
α α α
−
−
   
= = =    
   
∫ ∫ ∫ 
 ( ) ( ) ( )' 1 ' 12 2 22 2 211 tan . 1 cot . 1 . 1 cot .sin cot sin
k
k k kdx dx
x x x
x x x
β
α
− − 
= + + = + + 
 
∫ ∫ 
 Đến đây, ta đặt 
2
cot
sin
dx
u x du
x
= ⇒ = − , đổi cận và thay các kết quả trên vào A để chuyển 
A về dạng tích phân hàm số hữu tỷ. 
 b) Trường hợp có ít nhất một trong hai số m, n là số lẻ (giả sử m = 2k + 1) 
 Ta thực hiện biến đổi như sau: 
 ( ) ( )1 12 1 2 2 2 2
cos cos cos
cos .sin cos .sin cos .sin 1 sin .sin
k kk n k n
n n
dx xdx xdx xdx
A
x x x x x x x x
β β β β
α α α α
+ ++ +
= = = =
−
∫ ∫ ∫ ∫ 
 Đến đây, ta đặt sin cosu x du xdx= ⇒ = , đổi cận và thay các kết quả trên vào A để chuyển 
A về dạng tích phân hàm số hữu tỷ. 
V. Tích phân hàm mũ và logarit 
 1. Tích phân dạng: ( )xA f e dxβ
α
= ∫ , ( )xB f a dx
β
α
= ∫ 
 Phương pháp: 
 1. Đổi biến xu e= , tính dx theo u và du. 
 2. Đổi cận tích phân. 
 3. Thay các kết quả vừa tính được vào A ta thu được tích phân của hàm số đa 
thức hoặc hàm số hữu tỷ. 
 Trường hợp tích phân ( )xB f a dxβ
α
= ∫ tương tự. 
 2. Tích phân dạng: (ln )A f x dx
β
α
= ∫ , ( )logaB f x dx
β
α
= ∫ 
 Phương pháp: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần 
 Đặt: 
ln
dx
u x du
x
dv dx
v x

= = 
⇒ 
=  =
 Áp dụng công thức tích phân từng phần để chuyển tích phân cần tính về tích phân hàm 
đa thức hoặc hàm hữu tỷ. 
Tài liệu luyện thi đại học 
Biên soạn: Buicongluan.ltqb@gmail.com Trang 11/25 
 Trường hợp tích phân ( )logaB f x dx
β
α
= ∫ tương tự. 
VI. Phương pháp tích phân từng phần 
1. Tích phân dạng: ( )cosA P x xdx
β
α
= ∫ , ( )sinB P x xdx
β
α
= ∫ 
Phương pháp: 
 Đặt: 
( ) ( )'
cos sin
u P x du P x dx
dv xdx v x
 = = 
⇒ 
= =  
Theo công thức tích phân từng phần ta có: 
 ( ) ( )sin ' sinA P x x P x xdx
ββ
α
α
= − ∫ 
Để tính tích phân ( )' sinP x xdx
β
α
∫ ta thực hiện lại cách làm như trên cho đến khi thu 
được kết quả cần tìm. 
 Trường hợp tích phân ( )sinB P x xdx
β
α
= ∫ tương tự. 
2. Tích phân dạng: ( ) lnA P x xdx
β
α
= ∫ , ( ) logaB P x xdx
β
α
= ∫ 
Phương pháp: 
 Đặt: ( ) ( ) ( )
ln
dx
duu x
x
dv P x dx
v P x dx Q x

== 
⇒ 
=  = = ∫
Theo công thức tích phân từng phần ta có: 
 ( ) ( )ln Q xA Q x x dx
x
ββ
α
α
= − ∫ 
Tích phân 
( )Q x
dx
x
β
α
∫ : sẽ có dạng tích phân của hàm số đa thức ta đã biết cách tính. 
 Trường hợp tích phân ( ) logaB P x xdx
β
α
= ∫ tương tự. 
3. Tích phân dạng: ( ) xA P x e dx
β
α
= ∫ , ( ) xB P x a dx
β
α
= ∫ 
Phương pháp: 
 Đặt: 
( ) ( )'
x x
u P x du P x dx
dv e dx v e
 =  = 
⇒ 
= =  
Theo công thức tích phân từng phần ta có: 
 ( ) ( )'x xA P x e P x e dx
ββ
α
α
= − ∫ 
Tài liệu luyện thi đại học 
Biên soạn: Buicongluan.ltqb@gmail.com Trang 12/25 
Để tính tích phân ( )' xP x e dx
β
α
∫ ta thực hiện lại cách làm như trên cho đến khi thu được 
kết quả cần tìm. 
 Trường hợp tích phân ( ) xB P x a dx
β
α
= ∫ tương tự. 
4. Tích phân dạng: cos xA xe dx
β
α
= ∫ , sin
x
B xa dx
β
α
= ∫ 
Phương pháp: 
 Đặt: 
cos sin
x x
u x du xdx
dv e dx v e
= = − 
⇒ 
= = 
Theo công thức tích phân từng phần ta có: 
 cos sinx xA xe xe dx
ββ
α
α
= + ∫ 
 Để tính tích phân sin xxe dx
β
α
∫ ta thực hiện lại các bước như trên, kết qủa thu được sẽ 
biểu diễn qua A, ta thu được một phương trình và từ đó tìm ra A. 
 Trường hợp tích phân sin xB xa dx
β
α
= ∫ tương tự. 
Tài liệu luyện thi đại học 
Biên soạn: Buicongluan.ltqb@gmail.com Trang 13/25 
C. CÁC DẠNG BÀI TẬP 
Tính các tích phân sau đây: 
1/I = 
1
2
0
(3 5 1)x x dx− +∫ 
2/I = 
1
2
1
2
(2 1)( 3)x x x dx+ − +∫ 
3/I = 
4
1
1
x dx
x
      
+∫ 
4/I = 
3
2
4
3tg x dx
pi
pi
∫ 
5/I = 
4
2
6
(2cotg x 5)dx
pi
pi
+∫ 
 6/I = 
2
0
1 cos x
dx
1 cos x
pi
−
+
∫ 
7/ I = ∫
2
0
pi
sin2 x.cos2xdx 
 8/I = ∫
3
0
pi
(2cos2 x-3sin2 x)dx 
9 / I = 
2
2
s i n ( x )
4 d x
s i n ( x )
4
pi
− pi
pi
−
pi
+
∫ 
10 / I = ∫
−
3
6
pi
pi
(tgx-cotgx)2 dx 
11/ I = 
4
4
0
cos x dx
pi
∫ 
12 / I = 
2
3
0
sin x dx
pi
∫ 
 13*/ I = 
3 32
3
sin x sin x
cot gx dx
sin x
pi
pi
−
∫ 
14/I = 
2
4
0
sin x dx
pi
∫ 
 15/I = ∫
3
4
22
2
cos
2
sin
1
pi
pi
xx dx 
16/I = ∫
4
6
pi
pi
cotg2x dx 
17/I = 
22 sin x
4
e sin 2x dx
pi
pi
∫ 
 18/ I = ∫
+4
0
2
2
cos
pi
x
e
tgx
19/ I = ∫
2
4
4sin
1
pi
pi x
 dx 
20/ I = ∫
4
0
6cos
1
pi
x
 dx 
21/I = dxxxnsix )cos(2cos
44
2
0
+∫
pi
Tài liệu luyện thi đại học 
Biên soạn: Buicongluan.ltqb@gmail.com Trang 14/25 
22/ I = 
2
3
0
cos xdx
pi
∫ 
23/ I = 
32
0
4sin x
dx
1 cosx
pi
+
∫ 
24/ I = 
1
3 2
0
x 1 x dx−∫ 
 25/I =
1
5 2
0
x 1 x dx+∫ 
26/I =
1
0
x
dx
2x 1+
∫ 
27/I =
1
x
0
1
dx
e 4+
∫ 
28/I =
2
x
1
1
dx
1 e−−
∫ 
29/I =
2x2
x
0
e
dx
e 1+
∫ 
30/I =
x1
x
0
e
dx
e 1
−
− +
∫ 
31/I =
e
2
1
ln x
dx
x(ln x 1)+
∫ 
32/I =
7
3
3
0
x 1
dx
3x 1
+
+
∫ 
33/I =
2
3 2
0
(x 3) x 6x 8 dx− − +∫ 
.34/I =
1
2 2
3
1
dx
x 4 x−
∫ 
35/I =
4
2
2
1
dx
x 16 x−
∫ 
36*/I =
6
2
2 3
1
dx
x x 9−
∫ 
37/I =
2
2 2
1
x 4 x dx
−
−∫ 
38/I =
2
2 3
0
x (x 4) dx+∫ 
39/I =
24
4 3
3
x 4
dx
x
−
∫ 
40*/I =
22
2
2
x 1
dx
x x 1
−
−
+
+
∫ 
41/I =
ln 2
x
0
e 1dx−∫ 
42/I =
1
0
1
dx
3 2x−
∫ 
43/I =
2
5
0
sin xdx
pi
∫ 
44*/I =
3
0
1
dx
cos x
pi
∫ 
45/I =
2x1
x
0
e
dx
e 1
−
− +
∫ 
46/I =
ln 3
x
0
1
dx
e 1+
∫ 
47/I =
4
2
6
1
dx
sin x cot gx
pi
pi
∫ 
48/I =
3 2e
1
ln x 2 ln x
dx
x
+
∫ 
49/I =
e
1
sin(ln x)
dx
x∫
50/I =
1
3 4 5
0
x (x 1) dx−∫ 
Tài liệu luyện thi đại học 
Biên soạn: Buicongluan.ltqb@gmail.com Trang 15/25 
51/I =
1
2 3
0
(1 2x)(1 3x 3x ) dx+ + +∫ 
52/I =
2
3
1
1
dx
x 1 x+
∫ 
53/I =
3
2 2
6
tg x cot g x 2dx
pi
pi
+ −∫ 
54/I =
1
2 3
0
(1 x ) dx−∫ 
55*/I =
1
2x
0
1
dx
e 3+
∫ 
56/I =
xln 3
x 3
0
e
dx
(e 1)+
∫ 
57/I =
0
2x 3
1
x(e x 1)dx
−
+ +∫ 
58/I =
2
6 3 5
0
1 cos x sin x.cos xdx
pi
−∫ 
59*/I =
2 3
2
5
1
dx
x x 4+
∫ 
60/I =
4
0
x
dx
1 cos 2x
pi
+
∫ 
61/I =
2xln 5
x
ln 2
e
dx
e 1−
∫ 
62/I =
2e
1
x 1
.ln xdx
x
+
∫ 
63/I =
21
0
x
dx
(x 1) x 1+ +
∫ 
64/I =
2
0
sin x.sin 2x.sin 3xdx
pi
∫ 
65/I =
2
4 4
0
cos 2x(