Chuyên đề luyện thi Đại học môn Toán - Hình học giải tích trong không gian

một đường thẳng được gọi là một chùm mặt 
 phẳng . 
• gọi là trục của chùm Δ
• Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định nếu biết 
 i. Trục của chùm 
 hoặc ii. Hai mặt phẳng của chùm 
b. Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng ,α β cắt nhau xác định bởi phương trình : 
 1 1 1 1
2 2 2 2
( ) : 0 
( ) : 0 
A x B y C z D
A x B y C z D
α
β
+ + + =
+ + + = 
 Khi đó : Mỗi mặt phẳng qua giao tuyến của và α β đều có phương trình dạng: 
 2 21 1 1 1 2 2 2 2( ) : ( ) ( ) 0 ( 0)A x B y C z D A x B y C z Dγ λ μ λ μ+ + + + + + + = + ≠
Chú ý: 
0 và 0 thì 
0 và 0 thì 
λ μ γ β
λ μ γ α
= ≠ ≡
≠ = ≡ 
Đặc biệt : 
1 1 1 1 2 2 2 2
1 1 1 1 2
Nếu 0 và 0 thì và trong trường hợp này 
phương trình có thể viết dưới dạng sau:
 1. m(A ) (A ) 0
hoặc 2. (A ) (A
x B y C z D x B y C z D
x B y C z D n x B
λ μ γ α β
γ
≠ ≠ ≠
+ + + + + + + =
+ + + + + 2 2 2 ) 0y C z D+ + =
γ
βα
γ
βα
ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 
I. Phương trình của đường thẳng: 
1.Phương trình tham số của đường thẳng: 
Định lý: Trong Kg(Oxyz) . Phương trình tham số của đường thẳng ( )Δ đi qua điểm 0 0 0 0( ; ; )M x y z 
 và nhận làm VTCP là : 1 2 3( ; ; )a a a a=
G
0 1
0 2
0 3
( ) : (t )
x x ta
y y ta
z z ta
= +⎧⎪Δ = + ∈⎨⎪ = +⎩
\ 
 125
2. Phương trình chính tắc của đường thẳng: 
Định lý: Trong Kg(Oxyz) . Phương trình chính tắc của đường thẳng ( )Δ đi qua điểm 0 0 0 0( ; ; )M x y z 
 và nhận làm VTCP là : 1 2 3( ; ; )a a a a=
G
 0 0 0
1 2 3
( ) : x x y y z z
a a a
− − −Δ = = 
3. Phương trình tổng quát của đường thẳng : 
 Trong không gian ta có thể xem đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng nào đó. 
 Xem ( ) α βΔ = ∩ với 1 1 1 1
2 2 2 2
( ) : 0 
( ) : 0 
A x B y C z D
A x B y C z D
α
β
+ + + =⎧⎨ + + + =⎩
ta có định lý sau. 
Định lý: Trong Kg(Oxyz) hệ phương trình: 
 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
0 
 với A : : : :
0 
A x B y C z D
B C A B C
A x B y C z D
+ + + =⎧ ≠⎨ + + + =⎩
 là phương trình tổng quát của một đường thẳng. 
Chú ý: Nếu 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2
( ) : 0 ( ( ; ; ))
 ( ):
( ) : 0 ( ( ; ; ))
A x B y C z D n A B C
A x B y C z D n A B C
α
β
α
β
⎧ + + + = =⎪Δ ⎨ + + + = =⎪⎩
G
G thì ( ) có một VTCP là : Δ
 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
, ; ;
B C C A A B
a n n
B C C A A B
α β
⎛ ⎞⎡ ⎤= = ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠
G G G
O 
z
y
x
)
aK
(Δ
0M ),,( zyxM
II. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng : 
1.Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng : 
α
nK
M )(ΔaK 
α 
nK
M
)(Δ aK 
α 
nK
M )(ΔaK
Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho : 
 đường thẳng 0 0
1 2
0
3
:( ) x x y y z z
a a a
− − −Δ = = có VTCP 1 2 3( ; ; )a a a a=
G
 và qua 0 0 0 0( ; ; )M x y z 
 và mặt phẳng ( ) : 0 Ax By Cz Dα + + + = có VTPT ( ; ; )n A B C=G 
 Khi đó : 
1 2 3
1 2 3
0 0 0
1 2 3
0 0 0
( ) cắt ( ) Aa 0
Aa 0
( ) // ( ) 
0
Aa 0
( ) ( ) 
0
Ba Ca
Ba Ca
Ax By Cz D
Ba Ca
Ax By Cz D
α
α
α
Δ ⇔ + + ≠
+ + =⎧Δ ⇔ ⎨ + + + ≠⎩
+ + =⎧Δ ⊂ ⇔ ⎨ + + + =⎩
 126
Đặc biệt: 1 2 3 ( ) ( ) a : : : :a a A B CαΔ ⊥ ⇔ = α
aK
nK
Chú ý: Muốn tìm giao điểm M của (Δ ) và (α ) ta giải hệ phương trình : ( )
( )
pt
pt α
Δ⎧⎨⎩ tìm x,y,z 
 Suy ra: M(x,y,z) 
2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng : 
0M
'
0M a
K 1Δ
2Δb
K
0M uK
'uK
1Δ
2Δ
'
0M
0M '0M u
K 'uK
1Δ 2Δ
uK
'uK
0M
'
0M
1Δ
2Δ
Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng : 
0 0 0
1 0 0 0 0
' ' ' ' ' ' ' '0 0 0
2 0 0 0 0' ' '
( ) : có VTCP ( ; ; ) và qua M ( ; ; )
( ) : có VTCP ( ; ; ) và qua M ( ; ; )
x x y y z z
u a b c x y z
a b c
x x y y z z
u a b c x y z
a b c
− − −Δ = = =
− − −Δ = = =
G
JG 
⎡ ⎤• Δ Δ ⇔ =⎢ ⎥⎣ ⎦
⎧⎡ ⎤ =⎪⎢ ⎥⎣ ⎦• Δ Δ ⇔ ⎨⎪ ≠⎩
• Δ Δ ⇔ =
JG JJJJJJJGG
JG JJJJJJJGG
' '
1 2 0 0
' '
0 0
1 2
' ' '
1 2
 ( ) và ( ) đồng phẳng , . 0
, . 0
 ( ) cắt ( ) 
: : : :
 ( ) // ( ) : :
u u M M
u u M M
a b c a b c
a b c ≠ − − −
• Δ ≡ Δ ⇔ = = − − −
⎡ ⎤• Δ Δ ⇔ ≠⎢ ⎥⎣ ⎦
JG JJJJJJJGG
' ' ' ' ' '
0 0 0 0 0 0
' ' ' ' ' '
1 2 0 0 0 0 0
' '
1 2 0 0
: : ( ) : ( ) : ( )
 ( ) ( ) : : : : ( ) : ( ) : ( )
 ( ) và ( ) chéo nhau , . 0
a b c x x y y z z
a b c a b c x x y y z z
u u M M
0
Chú ý: Muốn tìm giao điểm M của ( )1 2 và ( )Δ ta giải hệ phương trình : tìm x,y,z 1
2
( )
( )
pt
pt
Δ⎧⎨ Δ⎩
Δ
 Suy ra: M(x,y,z) 
III. Góc trong không gian: 
1. Góc giữa hai mặt phẳng: 
 Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng ,α β xác định bởi phương trình : 
 1 1 1 1
2 2 2 2
( ) : 0 
( ) : 0 
A x B y C z D
A x B y C z D
α
β
+ + + =
+ + + = 
 Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng ( ) & ( )α β ta có công thức: 
 127
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
cos
.
A A B B C C
A B C A B C
ϕ + += + + + + 
2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: 
β 
α 
);;( 2222 CBAn =K
);;( 1111 CBAn =K
00 900 ≤≤ ϕ
)(Δ
 Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng − − −Δ = =0 0( ) : 0x x y y z z
a b c
 );;( cbaa =
 và mặt phẳng ( ) : 0 Ax By Cz Dα + + + = 
 Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng ( ) & ( )αΔ ta có công thức: 
α 
);;( CBAnK =
K
 00 900 ≤≤ ϕ
2 2 2 2 2 2
sin
.
Aa Bb Cc
A B C a b c
ϕ + += + + + + 
3.Góc giữa hai đường thẳng : 
 Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng : 
− − −Δ = =
− − −Δ = =
0 0
1
0 0
2 ' ' '
( ) : 
( ) : 
0
0
x x y y z z
a b c
x x y y z z
a b c
 Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng 1( ) & ( )2Δ Δ ta có công thức: 
 128
' ' '
2 2 2 '2 '2 '2
cos
.
aa bb cc
a b c a b c
ϕ + += + + + + 
);;(1 cbaa =K
1Δ
2Δ )';';'(2 cbaa =K
00 900 ≤≤ ϕ
IV. Khoảng cách: 
1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: 
Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng ( ) : 0 Ax By Cz D+ + = và điểm 0 0 0 0( ; ; )M x y z α +
 Khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng ( )α được tính bởi công thức: 
 0 0 00 2 2 2( ; )
Ax By Cz D
d M
A B C
+ + +Δ =
+ +
 α 
);;( 0000 zyxM
H
2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: 
Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng (Δ ) đi qua điểm 0 0 0 0( ; ; )M x y z và có VTCP 
 . Khi đó khoảng cách từ điểm M( ; ; )u a b c=G 1 đến ( )Δ được tính bởi công thức: 
0 1
1
;
( , )
M M u
d M
u
⎡ ⎤⎣ ⎦Δ =
JJJJJJG G
G 
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: 
Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng chéo nhau : G
 1 0
' ' ' ' ' ' ' '
2 0
( ) có VTCP ( ; ; ) và qua M ( ; ; )
( ) có VTCP ( ; ; ) và qua M ( ; ; )
u a b c x y z
u a b c x y z
Δ =
Δ =
0 0 0
0 0 0
JG
2 và ( ) Khi đó khoảng cách giữa ( )1Δ Δ được tính bởi công thức 
' '
0 0
1 2 '
, .
( , )
,
u u M M
d
u u
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦Δ Δ = ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
JG JJJJJJJGG
JGG 
H
uK
);;( 0000 zyxM
1
)
M
(Δ
0M
'
0M
uK
'uK
1Δ
2Δ
BÀI TẬP RÈN LUYỆN 
-------------***------------- 
Bài 1: Trong Kg(Oxyz) cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A'(0;01). 
 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. 
 1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'C và MN 
 2. Viết phương trình mặt phẳng chứa A'C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc α biết 
6
1cos =α 
Bài 2: Trong Kg(Oxyz) cho điểm A(0;1;2) và hai đường thẳng : 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
−−=
+=
−
+=−=
tz
ty
tx
dzyxd
2
21
1
:&
1
1
1
1
2
: 21 
 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d1 và d2. 
 2. Tìm tọa độ các điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho ba điểm A,M,N thẳng hàng 
Bài 3: Trong Kg(Oxyz) cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng : 
1
1
2
1
1
1:&
1
3
1
2
2
2: 21
+=−=−
−−=−
+=− zyxdzyxd 
 1. Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1
 2. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2 
Bài 4: Trong Kg(Oxyz) cho 4 điểm A(0;1;0), B(2;3;1), C(-2;2;2), D(1;-1;2) . 
1. Chứng minh các tam giác ABC, ABD, ACD là các tam giác vuông . 
2. Tính thể tích tứ diện ABCD. 
3. Gọi H là trực tâm tam giác BCD, viết phương trình đường thẳng AH. 
Bài 5: Trong Kg(Oxyz) cho 3 điểm A(1;1;2), B(-2;1;-1), C(2;-2;1). 
1. Viết phương trình mặt phẳng (ABC). 
2. Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm O trên mặt phẳng (ABC). 
3. Tính thể tích tứ diện OABC. 
Bài 6: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng: 
 1 2
1
2 4 0
: và :
2 2 4 0
1 2
2
x t
x y z
y t
x y z
z t
= +⎧− + − =⎧ ⎪Δ Δ⎨ ⎨+ − + =⎩ ⎪
= +
= +⎩
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng 1Δ và song song với đường thẳng 2Δ 
2. Cho điểm M(2;1;4). Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng 2Δ sao cho đoạn thẳng MH có độ 
dài nhỏ nhất. 
Bài 7: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng (P) : 2x-y+2=0 và đường thẳng 
(2 1) (1 ) 1 0
:
(2 1) 4 2 0m
m x m y m
d
mx m z m
+ + − + − =⎧⎨ + + + + =⎩
 Xác định m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P) 
Bài 8: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng (P) :x-y+z+3=0 và hai điểm A(-1;-3;-2), B(-5;7;12) 
1. Tìm tọa độ điểm A’ là điểm đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P) 
2. Giả sử M là điểm chạy trên mặt phẳng (P). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : MA+MB 
Bài 9: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng 
2 1 0
: và mặt phẳng (P): 4x-2y+z-1=0
2 0
x y z
x y z
+ + + =⎧Δ ⎨ + + + =⎩ 
 129
 Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng Δ trên mặt phẳng (P). 
Bài 10: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng: 1 2
0 3
: và d :
1 0 3 6
3 0x az a ax y
d
y z x z
− − = + − =⎧ ⎧⎨ ⎨− + = − − =⎩ ⎩ 
1. Tìm a để hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau 
2. Với a=2, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d2 và songsong với đường thẳng 
d1. Tính khoảng cách giữa d1 và d2 khi a=2 
Bài 11: Trong Kg(Oxyz) cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc tọa độ, 
 B(a;0;0).D(0;a;0), A’(0;0;b) (a>0,b>0) . Gọi M là trung điểm của cạnh CC’ . 
1. Tính thể tích