Chuyên đề luyện thi Đại học môn Toán - Bài tập hình không gian

Chuyên đề 16: BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN 
Bài 1: 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh bên SA vuông góc với mặt 
phẳng đáy (ABC) . Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBC) theo a, biết rằng SA=
a 6
2
Bài 2: 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng 
(ABCD) và SA=a . Gọi E là trung điểm của cạnh CD . Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến 
đường thẳng BE. 
Bài 3: 
Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O , SA vuông góc với mặt phẳng 
(ABCD) và SA = a . Gọi I là trung điểm của SC và M là trung điểm của AB . 
 1. Chứng minh ( )IO ABCD⊥ 
 2. Tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng CM. 
Bài 4: 
Tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông cân đỉnh B và AC = 2a , cạnh SA vuông góc với mặt 
phẳng (ABC) và SA = a. 
 1. Chứng minh ( ) (SAB SBC⊥ )
 2. Tính khoảng từ A đến (SBC) 
 3. Gọi O là trong điểm của AC . Tính khoảng cách từ O đến (SBC) 
Bài 5: 
Tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B , AB= 2a, BC=a 3 , , SA=2a. Gọi M là 
trung điểm của AB. 
(SA ABC⊥ )
 1. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) 
 2. Tính đường cao AK của tam giác AMC 
 3. Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (SMC) và (ABC) 
 4. Tính khoảng cách từ A đến (SMC) 
Bài 6: 
Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , (SA ABCD)⊥ và SA = a . Dựng và tính 
độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng : 
 a) SA và AD b) SC và BD c) SB và CD 
Bài 7: 
Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA=SB=SC=SD=a 2 . Gọi Ivà J lần 
lượt là trung điểm của AD và BC 
 1. Chứng minh ( ) (SIJ SBC⊥ )
 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB 
Bài 8: 
Tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a , AD vuông góc với BC , AD=a và khoảng cách từ 
D đến BC là a . Gọi H là trung điểm của BC và I là trung điểm của AH . 
 1. Chứng minh ( )BC ADH⊥ và DH=a 
 2. Chứng minh ( )DI ABC⊥ 
 135
 3. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và BC 
Bài 9: 
Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc A bằng 600 và có đường cao 
SO=a. 
 1. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC) 
 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB 
Bài 10: 
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = b, cạnh SA vuông góc 
với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC. Chứng minh rằng tam giác AMB cân tại M và 
tính diện tích tam giác AMB theo a. 
Bài 11: 
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân với AB=AC=a và góc 
BAC = 1200, cạnh bên BB' = a. Gọi I là trung điểm CC'. Chứng minh rằng tam giác AB'I vuông ở 
A. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I). 
Bài 12: 
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, đáy ABC có cạnh bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc bằng 
 ϕ ( )DD 900 <ϕ< . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng 
(SBC). 
Bài 13: 
Cho tứ diện ABCD với AB = AC = a, BC = b. Hai mặt phẳng (BCD) và (ABC) vuông góc với 
nhau và góc BDC = 900. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp ABCD theo a và b. 
Bài 14: 
 Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông góc A, 
AD =a, AC=b, AB=c. Tính diện tích S của tam giác BCD theo a, b, c và Chứng minh rằng 
 )cba(abcS2 ++≥ 
Bài 15: 
Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA;OB;OC đôi một vuông góc . Gọi lần lượt là các góc 
giữa mặt phẳng (ABC) với các mặt phẳng (OBC);(OCA) và (OAB).Chứng minh rằng : 
; ;α β γ
 cos cos cos 3α + β+ γ ≤ 
Bài 16: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng tam giác tại tâm 
 O lấy điểm D sao cho 
3
6aOD = . Gọi điểm giữa của BD và DC lần lượt là M, N. 
 1) Tính góc giữa các đường thẳng AM và BC 
 2) Tính tỷ số thể tích giũa các phần của khối ABCD được phân chia bởi thiết diện AMN 
 3) Tính thể tích khối ABCMN 
Bài 17: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau và OA=BC=a và góc 
 OCB=α . 
 1) Chứng minh rằng tứ diện có các cạnh đối vuông góc và hình chiếu của O xuống mặt phẳng 
 (ABC) là trực tâm của tam giác ABC 
 136
 2) Tính thể tích V của tứ diện OABC. Xác định α để thể tích V =
24
33a 
 3) Tìm tâm và bán kính R của hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. 
Bài 18: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Cạnh SA=a và vuông góc với 
 đáy 
 1) Tính thể tích và diện tích toàn phần của tứ diện SBCD 
 2) Gọi MNPQ là thiết diện của hình chóp và một mặt phẳng song song với mặt đáy. Trong 
 đó M ở trên cạnh SA và AM=x. Tính diện tích thiết diện MNPQ theo a và x 
 3) Tính thể tích khối ABCDMNPQ theo a và x 
Bài 19: Cho hình vuông ABCD cạnh a và I là điểm giữa của cạnh AB. Qua I dựng đường vuông góc với 
 mặt phẳng hình vuông và lấy điểm S sao cho 32 aIS = . 
 1) Chứng minh rằng SAD là tam giác vuông. 
 2) Tính diện tích xung quanh hình chóp SABCD. 
 3) Tính thể tích hình chóp SACD, từ đó tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng SAD 
Bài 20: Đáy của hình chóp SABC là tam giác cân ABC có AB=AC=a và B=C=α .Các cạnh bên cùng 
 nghiêng với đáy một góc β . 
 1) Tính thể tích hình chóp SABC 
 2) Tính diện tích thiết diện tạo bởi hình chóp với mặt phẳng qua đỉnh B và đường cao SO của 
 hình chóp. 
Bài 21: Cho tam giác cân ABC (AB=AC=2b; BC=2a). Trên đường thẳng vuông góc với mặt 
 phẳng(ABC) tại A lấy AS=a. 
 1) Tính thể tích hình chóp SABC 
 2) Tính diện tích tam giác SBC và suy ra khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) 
 3) Tìm trên AS điểm M sao cho thiết diện MBC chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng 
 nhau. 
----------------------------Hết------------------------------------ 
 137