Chuyên đề Lượng giác - Chương X: Hệ thức lượng trong tam giác

A B 1tg tg
2 2 3
Bài 187: Cho ABCΔ , chứng minh nếu tạo một cấp số cộng thì cotgA,cotgB,cotgC
2 2 2a , b ,c cũng là cấp số cộng. 
Ta có: ( )⇔ + =cot gA, cot gB, cot gC là cấp số cộng cot gA cot gC 2 cot gB *
Cách 1: ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( )
2
2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2
sin A C 2cosBTa có: * sin B 2sin A sinCcosB
sin A sinC sinB
sin B cos A C cos A C cos A C
sin B cos A C cos A C cos A C
1sin B cos B cos2A cos2C
2
1sin B 1 sin B 1 2sin A 1 2sin C
2
2sin B sin A sin C
+⇔ = ⇔ =
⇔ = − + − − − +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⇔ = + − − +
⇔ = − +
⎡ ⎤⇔ = − − − + − ⎣ ⎦
⇔ = +
⇔
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2b a c
4R 4R 4R
2b a c
a , b ,c là câùp số cộng
= +
⇔ = +
⇔ •
Cách 2: 
( )
= + −
⎛ ⎞⇔ = + − ⎜ ⎟⎝ ⎠
⇔ = + −
+ −=
+ − + −= =
+ − + − + −⇔ + = ⋅
⇔ = +
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
Ta có: a b c 2ab cos A
1a b c 4 bc sin A .cotgA
2
a b c 4S cot gA
b c aDo đó cotgA
4S
a c b a b cTương tự cotgB , cotgC
4S 4S
b c a a b c a c bDo đó: * 2
4S 4S 4S
2b a c
Bài 188: Cho ABCΔ có 2 2sin B sin C 2sin A+ = 2
 Chứng minh  0BAC 60 .≤
( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
Ta có: sin B sin C 2sin A
b c 2a
4R 4R 4R
b c 2a *
+ =
⇔ + =
⇔ + =
A
Do định lý hàm cosin nên ta có 
2 2 2a b c 2bccos= + − ( ) ( )
( )

+ − −+ −⇔ = =
+= ≥ =
≤
2 2 2 22 2 2
2 2
0
2 b c b cb c acos A (do * )
2bc 4bc
b c 2bc 1 do Cauchy
4bc 4bc 2
Vạây : BAC 60 .
Cách khác: 
 định lý hàm cosin cho 
= + − ⇒ + = +2 2 2 2 2 2a b c 2bc cos A b c a 2bc cos A 
Do đó 
(*) a bc cos A a
a b ccos A ( do Cauchy)
bc bc
⇔ + =
+⇔ = = ≥
2 2
2 2 2
2 2
1
2 4 2
Bài 189: Cho ABCΔ . Chứng minh : 
 ( )2 2 2R a b ccotgA+cotgB+cotgC
abc
+ += 
+ −=
+ − + −= =
+ + + ++ + = =
+ +=
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
b c aTa có: cotgA
4S
a c b a b cTương tự: cot gB , cot gC
4S 4S
a b c a b cDo đó cot gA cot gB cot gC abc4S 4
4R
a b cR
abc
2 
Bài 190: Cho ABCΔ có 3 góc A, B, C tạo thành một cấp số nhân có công bội q = 2. 
Giả sử A < B < C. 
Chứng minh: = +1 1 1
a b c
Do A, B, C là cấp số nhân có q = 2 nên B = 2A, C = 2B = 4A 
2 4Mà A B C nên A ,B ,C
7 7 7
π π π+ + = π = = = 
Cách 1: 
+ = +
⎛ ⎞⎜ ⎟= +⎜ ⎟π π⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
π π+
= π π
π π
π π⎛ ⎞= ⋅ =⎜ ⎟π π ⎝ ⎠
π
= ⋅ =π π
=
1 1 1 1Ta có:
b c 2R sin B 2R sin C
1 1 1
2 42R sin sin
7 7
4 2sin sin1 7 7
2 42R sin sin
7 7
32sin .cos1 4 37 7 do sin sin2 32R 7 7sin .sin
7 7
cos1 17
R 2R sin A2sin .cos
7 7
1
a
Cách 2: 
= + ⇔ = +
+⇔ = + =
⇔ = = =
π π= = = •
1 1 1 1 1 1
a b c sin A sin B sin C
1 1 1 sin 4A sin 2A
sin A sin 2A sin 4A sin 2A sin 4A
1 2sin 3A.cos A 2cos A 2cos A
sin A sin 2A sin 4A sin 2A 2sin A cos A
3 4do : sin 3A sin sin sin 4A
7 7
Bài 191: Tính các góc của ABCΔ nếu 
sin A sinB sinC
1 23
= = 
Do định lý hàm sin: 
a b c 2R
sin A sinB sinC
= = = 
nên : ( )sin A sinB sinC *
1 23
= = 
a b c
2R 4R2R 3
b c b a 3a
23 c 2a
⇔ = =
⎧ =⎪⇔ = = ⇔ ⎨ =⎪⎩
( )
( )
22 2
2 2 2
0
0
Ta có: c 4a a 3 a
c b a
Vạây ABCvuông tạiC
Thay sinC 1vào * tađược
sin A sinB 1
1 23
1sin A
2
3sinB
2
A 30
B 60
= = +
⇔ = +
Δ
=
= =
⎧ =⎪⎪⇔ ⎨⎪ =⎪⎩
⎧ =⎪⇔ ⎨ =⎪⎩
2
Ghi chú: 
Trong tam giác ABC ta có 
a b A B sin A sin B cos A cos B= ⇔ = ⇔ = ⇔ = 
II. ĐỊNH LÝ VỀ ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN 
Cho UABC có trung tuyến AM thì: 
2
2 2 2 BCAB AC 2AM
2
+ = + 
hay : 
2
2 2 2
a
ac b 2m
2
+ = + 
Bài 192: Cho UABC có AM trung tuyến, AMB = α , AC = b, AB = c, S là diện tích 
UABC. Với 0 < < 90 α 0
 a/ Chứng minh: 
2 2b ccotg −
4S
α = 
 b/ Giả sử α = , chứng minh: cotgC – cotgB = 2 045
a/ UAHM vuông HM MB BHcotg
AH AH
−⇒ α = = 
( )a BHcotg 1
2AH AH
⇒ α = − 
Mặt khác: 
( )2 22 2 a c 2ac cosB cb c
4S 2AH.a
+ − −− =
2
Đặt BC = a 
2 2b c a c cosB a BH
4S 2AH AH 2AH AH
−⇒ = − = − (2) 
Từ (1) và (2) ta được : 
2 2b ccotg
4S
−α = 
Cách khác: 
Gọi S1, S2 lần lượt là diện tích tam giác ABH và ACH 
Aùp dụng định lý hàm cos trong tam giác ABH và ACH ta có: 
+ −α =
2 2
1
2AM BM ccotg
4S
 (3) 
+ −− α =
2 2
2
2AM CM bcotg
4S
 (4) 
Lấy (3) – (4) ta có : 
−α =
2 2b ccotg
4S
 ( vì S1=S2 =
S
2
) 
b/Ta có: cotgC – cotgB = HC HB HC HB
AH AH AH
−− = 
 = 
( ) ( )MH MC MB MH
AH
+ − −
 = = α = =02MH 2cotg 2cotg 45 2
AH
Cách khác: 
Aùp dụng định lý hàm cos trong tam giác ABM và ACM ta có: 
+ −=
2 2
1
BM c AMcotg B
4S
2
 (5) 
+ −=
2 2
2
CM b AMcotg C
4S
2
 (6) 
Lấy (6) – (5) ta có : 
−− = =
2 2b ccotg C cot gB 2cot g
2S
α =2 ( vì S1=S2 = S2 và câu a ) 
Bài 193 Cho UABC có trung tuyến phát xuất từ B và C là thỏa bm ,mc
b
c
mc 1
b m
= ≠ . Chứng minh: 2cotgA = cotgB + cotgC 
Ta có: 
22
b
2 2
c
mc
b m
= 
( )
( ) ( ) (
( )
)
⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠⇔ = ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠
⇔ + − = + −
⇔ − = −
⇔ − = − +
⎛ ⎞⇔ = + ≠⎜ ⎟⎝ ⎠
2
2 2
2
2 2
2 2
4 4
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 4 4
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 ba c
2 2c
b 1 cb a
2 2
c bb c a c a b b c
2 2
1a c a b c b
2
1a c b c b c b
2
c2a c b 1 do 1
b
Thay vào (1), ta có (1) thành + = +2 2 2b c a 2bc cos A
 =2a 2bc cos A
( ) ( )
( )
⇔ = =
+⇔ = =
2 2 2a 4R sin Acos A
2bc 2 2R sin B 2R sin C
sin B Ccos A sin A2
sin A sin BsinC sin Bsin C
+⇔ = = +sinBcosC sinCcosB2cotgA cotgC cotgB
sin BsinC
Bài 194: Chứng minh nếu UABC có trung tuyến AA’ vuông góc với trung tuyến 
BB’ thì cotgC = 2 (cotgA + cotgB) 
UGAB vuông tại G có GC’ trung tuyến nên AB = 2GC’ 
Vậy 2AB C
3
′= C 
2 2
c
2
2 2 2
2 2 2
9c 4m
c9c 2 b a
2
5c a b
⇔ =
⎛ ⎞⇔ = + −⎜ ⎟⎝ ⎠
⇔ = +
2 25c c 2abcosC⇔ = + (do định lý hàm cos) 
( ) ( ) ( )
2
2
2c abcosC
2 2RsinC 2Rsin A 2RsinB cosC
⇔ =
⇔ = 
⇔ =
⇔ =
22sin C sin A sin B cosC
2sin C cosC
sin A sin B sin C
( )+⇔ =2sin A B cotgC
sin A sin B
( )
( )
+⇔ =
⇔ + =
2 sin A cosB sin Bcos A
cotgC
sin A sin B
2 cotg B cotgA cotgC
III. DIỆN TÍCH TAM GIÁC 
Gọi S: diện tích UABC 
 R: bán kính đường tròn ngoại tiếp UABC 
 r: bán kính đường tròn nội tiếp UABC 
 p: nửa chu vi của UABC 
thì 
( ) ( ) ( )
a b c
1 1 1S a.h b.h c.h
2 2 2
1 1 1S absinC acsinB bcsin A
2 2 2
abcS
4R
S pr
S p p a p b p c
= = =
= = =
=
=
= − − −
Bài 195: Cho UABC chứng minh: 2
2Ssin2A sin2B sin2C
R
+ + = 
Ta có: 
( )sin2A+ sin2B+sin2C
= sin2A + 2sin(B + C).cos(B - C)
= 2sinAcosA + 2sinAcos(B - C)
= 2sinA[cosA + cos(B - C)]
= 2sinA[- cos(B + C) + cos(B - C)]
= 2sinA.[2sinB.sinC]
= 3a b c 1 abc= 4. . .2R 2R 2R 2 R = =3 2
1 4RS 2S
2 R R
Bài 196 Cho UABC. Chứng minh : 
S = Diện tích (UABC) = ( )2 21 a sin2B b sin2A4 + 
Ta có : ( ) 1S = dt ABC absinC
2
Δ = 
 ( )+1= absin A B
2
 [ ]+1= ab sin A cosB sinBcos A
2
( )
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎣ ⎦
+
2 2
2 2
1 a b = ab sin B cosB sin A cos A (do đl hàm sin)
2 b a
1 = a sin B cosB+ b sin A cos A
2
1 = a sin 2B b sin 2A
4
Bài 197: Cho ABCΔ có trọng tâm G và   GAB ,GBC ,GCA .= α = β = γ 
Chứng minh: 
( )2 2 23 a b c
cotg + cotg +cotg =
4S
+ +α β γ 
Gọi M là trung điểm BC, vẽ MH AB⊥ 
AHAMH cos
AM
BH 2BHBHM cosB
MB a
Δ ⊥⇒ α =
Δ ⊥⇒ = =
Ta có: AB = HA + HB 
( )
ac AMcos cosB
2
1 acos c cosB 1
AM 2
⇔ = α +
⎛ ⎞⇔ α = −⎜ ⎟⎝ ⎠
Mặt khác do áp dụng định lý hàm sin vào AMBΔ ta có : 
MB AM 1 asin MBsinB sinB (2)
sin sinB AM 2AM
= ⇔ α = =α 
Lấy (1) chia cho (2) ta được : 
− −α =
ac cosB 2c a cosB2cotg = a bsin B a.
2 2R
( ) ( )−−
+ − + −
2
2 2 2 2 2 2
R 4c 2ac cosBR 4c 2a cosB
 = =
ab abc
3c b a 3c b a = = abc 4S
R
Chứng minh tương tự : 
2 2
2 2
3a c bcotg
4S
3b a ccotg
4S
+ −β =
+ −γ =
2
2
Do đó: 
( )
α + β + γ
+ − + − + −= + +
+ +
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
cotg cotg cotg
3c b a 3a c b 3b a c 
4S 4S 4S
3 a b c
 =
4S
2
Cách khác : Ta có ( )2 2 2 2 2 2a b c 3m m m a b c (*)4+ + = + + 
Δ
+ − + −α = =
2
2 2
2 2 2a
a
ABM
ac m 4c 4m a4cotg (a)
4S 8S
Tương tự 
2 2 2 2 2 2
b c4a 4m b 4b 4m ccotg (b),cotg (c)
8S 8S
+ − + −β = γ = 
Cộng (a), (b), (c) và kết hợp (*) ta có: 
 ( )+ +α + β + γ = 2 2 23 a b ccotg cotg cotg
4S
IV. BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN 
Gọi R bán kính đường tròn ngoại tiếp ABCΔ 
và r bán kính đường tròn nội tiếp ABCΔ thì
( ) ( ) ( )
= =
=
= − = − = −
a abcR
2sin A 4S
Sr
p
A B Cr p a tg p b tg p c tg
2 2 2
Bài 198: Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ABCΔ . 
 Chứng minh: 
2
A B Ca/ r 4Rsin sin sin
2 2
b/ IA.IB.IC 4Rr
=
=
2 
a/ Ta có : B BHIBH cotg
2 IH
Δ ⊥⇒ = 
 BBH rcotg
2
⇒ = 
Tương tự = CHC r cotg
2
Mà : BH + CH = BC 
nên 
 ( )
⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠
+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠⇔ =
⇔ =
⇔ =
⇔ =
B Cr cotg cotg a
2 2
B Cr sin
2 aB Csin sin
2 2
A B Cr cos 2R sin A sin sin
2 2 2
A A A B Cr cos 4R sin cos sin sin
2 2 2 2 2
A B C Ar 4R sin sin sin . (do cos >0)
2 2 2 2
b/ Ta có : 
IKsin
IA
ΑΔ ⊥ ΑΚΙ ⇒ =2 
rIA Asin
2
⇒ = 
Tương tự = rIB Bsin
2
; = rIC Csin
2
Do đó : 
3rIA.IB.IC A B Csin sin sin
2 2
=
2
3
2r 4Rr (do kết quả câu a)r
4R
= = 
Bài 199: Cho ABCΔ có đường tròn nội tiếp tiếp xúc các cạnh ABCΔ tại A’, B’, 
C’. A 'B'C'Δ có các cạnh là a’, b’, c’ và diện tích S’. Chứng minh: 
 ⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠
=
a' b ' C A Ba/ 2sin sin sin
a b 2 2 2
S' A B Cb/ 2sin sin sin
S 2 2 2
a/ Ta có :   ( ) ( )1 1 1C'A 'B' C'IB' A B C
2 2 2
= = π − = + 
Áp dụng định lý hình sin vào A 'B'C'Δ 
a ' 2r
sin A '
= (r: bán kính đường tròn nội tiếp ABCΔ ) 
 B Ca ' 2r sin A ' 2r sin (1)
2
+⇒ = = 
ABCΔ có : a BC BA ' A 'C= = + 
B Ca r cot g r cot g
2 2
B Csin
2a r (2)B Csin sin
2 2
⇒ = +
+
⇒ =
Lấy (1)
(2)
 ta được a B2sin sin
a 2
′ = C
2
Tương tự b' A C2sin .sin
b 2
=
2
Vậy a ' b ' C A B2sin sin sin .
a b 2 2 2
⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠ 
b/ Ta có:  ( ) ( )1 1 1A 'C'B ' .B 'IA ' C A B
2 2 2
= = π − = + 
 Vậy 
A B CsinC' sin cos
2 2
+= = 
Ta có: ( )( )
1