Chuyên đề Khảo sát hàm số và cực trị hàm số bậc 3 - Trương Trọng Nhân

 BẬC 3 
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 34 
Vậy ( , ( ))
3 3
b b
U f
a a
− − là điểm uốn 
∗ Chứng minh ( , ( ))
3 3
b b
U f
a a
− − là tâm đối xứng của đồ thị 
Ta có công thức chuyển tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OU

3
( )
3
b
x X
a
b
y Y f
a
 = −

 = + −
Vậy ta có 
3 2
( )
3 3 3 3
b b b b
Y f a X b X c X d
a a a a
           + − = − + − + − +               
2 3 3
3
2 2
( )
3 3 327 9
b b b bc b
Y aX c X d f
a a aa a
  ⇔ = + − + + + − + − −   
2
3
3
b
Y aX c X
a
  ⇔ = + − +   
 đây là một hàm số lẻ nên đồ thị của 
nó nhận gốc tọa độ U làm tâm đối xứng. 
C. Điều kiện có 2 cực trị: Cho hàm số 3 2 ( 0)y ax bx cx d a= + + + ≠ 
TXĐ: D = 
 
Đạo hàm: 23 2 ( 0)y ax bx c a′ = + + ≠ 
Nhận xét: y ′ là hàm số bậc hai ( 0)a ≠ 
Xét dấu y ′ , có 3 khả năng cho 2 3b ac′∆ = − khi xét dấu y ′ 
Với 0a ≠ , ta xét ′∆ 
 1. 0 0y′ ′∆ < ⇔ = vô nghiệm, y ′ cùng dấu với a . 
0a > 
x −∞ +∞ 
y ′ + 
y 
 +∞ 
−∞ 
0a < 
x −∞ +∞ 
y ′ − 
y 
+∞ 
 −∞ 
Do đó y không có cực trị. 
 2. 0 0y′ ′∆ = ⇔ = có nghiệm kép 
1 2 0
x x x= = 
0a > 
x −∞ 0x +∞ 
y ′ + 0 + 
y 
 +∞ 
0
( )f x 
−∞ 
0a < 
x −∞ 0x +∞ 
y ′ − 0 − 
y 
+∞ 
0
( )f x 
 −∞ 
Vấn đề 4: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CỰC TRỊ HÀM SỐ BẬC 3 
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 35 
Do đó y không có cực trị. 
 3. 0 0y′ ′∆ > ⇔ = có hai nghiệm phân biệt 
1 2
,x x 
0a > 
x −∞ 1x 1x +∞ 
y ′ + 0 − 0 + 
y 
 CĐ +∞ 
−∞ CT 
0a < 
x −∞ 1x 1x +∞ 
y ′ − 0 + 0 − 
y 
+∞ CĐ 
 CT −∞ 
Khi đó y có một cực đại và một cực tiểu. 
Kết luận: Hàm số y có cực đại và cực tiểu 
 ⇔ phương trình 0y ′ = có 2 nghiệm phân biệt. 
0
0
a ≠⇔ 
∆ >
D. Vấn đề 
0
x x= cho trước là cực trị 
∗ 
0
x x= cho trước là cực tiểu của hàm số ( )y f x= nên chia làm 2 công đoạn 
để tìm điều kiện cho m (do không có điều kiện tương đương , cần và đủ) 
∗ Công đoạn 1: 
0
x x= là cực tiểu thì phải có 
0
( ) 0y x′ = (tức là thế 
0
x x= vào 
y ′ được 
0
( ) 0y x′ = ).Giải ra 
0
m m= 
∗ Công đoạn 2: thử lại 
° Với 
0
m m= thay vào hàm số y cụ thể. 
° Lập bảng biến thiên cho y 
° Nếu thấy 
0
x x= là điểm cực tiểu thì nhận 
0
m m= , ngược lại thì loại 
0
m m= . 
∗ Cách khác cho công đoạn 2: thử lại 
° Tính ?y ′′ 
° Thế 
0
x x= vào y ′′ và dựa vào tính chất 
° 
0
0
0
( ) 0(
( ) 0
y x
x x
y x
′ =  ⇒ =
′′ < 
do coâng ñoaïn 1)
 là điểm đạt cực đại (không 
tương đương 2 chiều) 
° 
0
0
0
( ) 0(
( ) 0
y x
x x
y x
′ =  ⇒ =
′′ > 
do coâng ñoaïn 1)
 là điểm đạt cực tiểu (không 
tương đương 2 chiều) 
E. Các dạng bài toán 
Bài 1. Tìm m để hàm số 3 23 ( 1) 2y x mx m x= − + − + đạt cực tiểu tại 2x = 
Giải 
Vấn đề 4: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CỰC TRỊ HÀM SỐ BẬC 3 
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 36 
Ta có: 23 6 ( 1)y x mx m′ = − + − 
Hàm số đạt cực tiểu tại 2x = thì : 
2(2) 0 3.2 6. .2 1 0
1
y m m
m
′ = ⇔ − + − =
⇔ =
Với 1m = thì hàm số 3 23 2y x x= − + 
2
2
3 6
0 3 6 0
0
2
y x x
y x x
x
x
′⇒ = −
′ = ⇔ − =
 =⇔  =
Ta có bảng biến thiên 
x −∞ 0 2 +∞ 
y ′ 
 + 0 − 0 + 
y 
 CĐ +∞ 
−∞ CT 
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại 2x = . 
Vậy 1m = hàm số đạt cực tiểu tại 2x = . 
Bài 2. Xác định các số , , a b c để hàm số 3 2y x ax bx c= + + + có giá trị 0 
khi 1x = và đạt cực trị 0 khi 1x = − 
Giải 
Trước hết hàm số có giá trị 0 khi 1x = 
3 20 1 .1 .1
1 (1)
a b c
a b c
= + + +
⇔ + + =−
Và hàm số đạt cực trị 0 khi 1x = − 
3 20 ( 1) .( 1) .( 1)
1 (2)
a b c
a b c
= − + − + − +
⇔ − + =
Mặt khác 
23 2y x ax b′ = + + , hàm số đạt cực trị khi 1x = − 
23.( 1) 2 .( 1) 0
2 3 (3)
a b
a b
⇒ − + − + =
⇔ − =
Ta có hệ 3 phương trình 
Vấn đề 4: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CỰC TRỊ HÀM SỐ BẬC 3 
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 37 
1 (1) 1
1 (2) 1
2 3 (3) 1
a b c a
a b c b
a b c
  + + = =   − + = ⇒ =− 
  − = = −   
Vậy hàm số cần tìm 3 2 1y x x x= + − − 
Bài 3. CMR: ,a∀ hàm số 3 22 3(2 1) 6 ( 1) 1y x a x a a x= − + + + + luôn đạt cực 
trị tại 
1 2
,x x . Tìm a sao cho cực trị tương ứng 
1 2
,y y thỏa 
1 2
1y y+ = 
Giải 
Ta có 26 6(2 1) 6 ( 1)y x a x a a′ = − + + + 
Và vì 29(2 1) 36 ( 1) 9 0 ,a a a a∆ = + − + = > ∀ 
 ⇒ hàm số luôn có cực trị tại 
1
1x a= + 
2
x a= 
1 2
1x x⇒ − = 
Lại có 
3 2
1 1
3 2
2 2
1 2 3 1
2 3
x a y a a
x a y a a
= + ⇒ = + +
= ⇒ = +
Nhưng thế 
3 2
1 2
4 6 1 1
3
0 hay
2
y y a a
a a
+ = + + =
−
⇔ = =
Bài 4. Cho hàm số 3 24 3y x mx x m= − − + . CMR m∀ hàm số luôn có cực 
đại và cực tiểu, đồng thời 2 điểm cực đại và cự tiểu luôn có hoành độ trái dấu. 
Giải 
TXĐ: D = 
 
212 2 3y x mx′ = − − 
Hàm số có cực đại và cực tiểu 0y ′⇔ = có 2 nghiệm phân biệt 
20 36 0,m m′⇔ ∆ > = + > ∀ 
Vậy hàm số luôn có cực đại và cực tiểu m∀ 
Hàm số có cực đại và cực tiểu tại 
1 2
,x x là nghiệm của 0y ′ = 
Ta xét 
1 2
3 1
. 0
12 4
c
P x x
a
− −
= = = = < 
Vậy 
1 2
,x x luôn trái dấu (đpcm) 
Bài 5. Giả sử hàm số 3 22 (cos 3 sin ) 8(cos2 1) 1
3
y x a a x a x= + − − + + đạt 
cực trị tại
1 2
,x x . CMR 2 2
1 2
18,x x a+ ≤ ∀ 
Giải 
Vấn đề 4: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CỰC TRỊ HÀM SỐ BẬC 3 
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 38 
Cách 1: 
Ta có 22 2(cos 3 sin ) 8(cos2 1)y x a a x a′ = + − − + 
Hàm số có cực trị 0y ′⇔ = có 2 nghiệm phân biệt 
2(cos 3 sin ) 16(cos2 1) 0
4 cos2 s in2 7 0
7 17 cos( 2 ) 7 17 0;
a a a
a a
a aϕ
′⇔ ∆ = − + + >
⇔ − + >
⇔ + + ≥ − > ∀
Trong đó 4 1cos ; sin
17 17
ϕ ϕ= = 
Khi đó : 
1 2
1 2
3 sin cos
. 4(cos2 1)
x x a a
x x a
+ = −
= − +
Như vậy: 
2 2 2
1 2 1 2 1 2
2
18 ( ) 2 18
(3 sin cos ) 8(cos2 1) 18
4 cos2 3 sin2 5
cos( 2 ) 1
x x x x x x
a a a
a a
aα
+ ≤ ⇔ + − ≤
⇔ − + + ≤
⇔ − ≤
⇔ + ≤ (ñuùng)
Với 4 3cos ; sin
5 5
α α= = 
Cách 2: 
TXĐ: D = 
 
22 2(cos 3 sin ) 8(cos2 1)y x a a x a′ = + − − + 
Ta có 2(cos 3 sin ) 16(cos2 1)a a a′∆ = − + + 
2 2(cos 3 sin ) 32cos 0a a a′∆ = − + > 
 0y ′ = luôn có 2 nghiệm phân biệt 
⇒hàm số luôn có cực đại và cực tiểu 
Gọi 
1 2
,x x là hoành độ các điểm cực trị, thì 
1 2
,x x là 2 nghiệm của phương trình 
0y ′ = nên theo Viet ta có: 
1 2
2
1 2
3 sin cos
. 8 cos
x x a a
x x a
+ = −
= −
Vậy 2 2 2
1 2 1 2 1 2
( ) 2x x x x x x+ = + − 
2 2(3 sin cos ) 16cos
13 4 cos2 3 sin2
a a a
a a
= − +
= + −
Áp dụng bđt bunhacopxki 
2 2 2 24 cos2 3 sin2 4 3 . cos 2 sin 2 5a a a a− ≤ + + = 
Vậy 2 2
1 2
18x x+ ≤ (đpcm). 
Vấn đề 4: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CỰC TRỊ HÀM SỐ BẬC 3 
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 39 
Bài 6. Cho hàm số 3 2( 2) 3 5y m x x mx= + + + − có đồ thị ( )C . Tìm m để 
hàm số có cực đại và cực tiểu. 
 ` (Học viện Chính trị Quốc gia TP.HCM-2001) 
Giải 
Ta có 23( 2) 6y m x x m′ = + + + 
Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ ( ) 0y x′ = có hai nghiệm phân biệt 
20 9 3 ( 2) 0 3 6 9 0
2 2 2
m m m m
m m m
  ′ ∆ > − + > − − + > ⇔ ⇔ ⇔  
  ≠ ≠ ≠    
3 1
2
m
m
− < <⇔ 
 ≠
Bài 7.Cho hàm số 3 21 1( 1) 3( 2)
3 3
y mx m x m x= − − + − + 
Tìm m để 
a. Hàm số có cực trị 
b. Hàm số có cực đại và cực tiểu tại 
1 2
,x x thỏa mãn 
1 2
2 1x x+ = 
c. Hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại điểm có hoành độ dương. 
d. Hàm số có cực đại và cực tiểu và 
CT
x x<CÑ 
e. Hàm số đạt cực đại tại 0x = . 
Giải 
TXĐ: D = 
 
Đạo hàm 2 2( 1) 3( 2)y mx m x m′ = − − + − 
20 2( 1) 3( 2) 0y mx m x m′ = ⇔ − − + − = (1) 
a. Ta xét 2 trường hợp 
° TH1: Nếu 0m = 
Khi đó (1) 2 6 0 3x x⇔ − = ⇔ = 
Vì qua 3x y ′= đổi dấu . do đó 0m = thỏa mãn . 
° TH2: Nếu 0m ≠ 
Hàm số có cực trị (1)pt⇔ có 2 nghiệm phân biệt 
2
2 6
000
2
0 ( 1) 3 ( 2) 0 2 6
0
2
mmm
m m m
m
 − < <  ≠≠  ⇔ ⇔ ⇔ 
′ ∆ > − − − > +    < <

Kết luận: Hàm số có cực trị khi 2 6 2 6
2 2
m
− +
< < 
b. Hàm số có cực đại và cực tiểu (1)pt⇔ có 2 nghiệm phân biệt 
Vấn đề 4: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CỰC TRỊ HÀM SỐ BẬC 3 
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 40 
2
2 6
000
2
0 ( 1) 3 ( 2) 0 2 6
0
2
mmm
m m m
m
 − < <  ≠≠  ⇔ ⇔ ⇔ 
′ ∆ > − − − > +    < <

Khi đó, gọi 
1 2
,x x là hoành độ các điểm cực trị, ta có: 
1 2
1 2
2( 1)
(2)
3( 2)
. (3)
m
x x
m
m
x x
m
 − + =

 − =
Từ 
1 2
2 1 à (2) ta cóx x v+ = 
1
3 4m
x
m
−
= và 
2
2m
x
m
−
= 
Thay 
1 2
,x x vào (3) ta được: 
2
3 4 2 3( 2)
. 2
3
m
m m m
m m m m
 =− − −
= ⇔
 =
Vậy với 22
3
m m= ∨ = thỏa mãn điều kiện của đề. 
c. Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại điểm có hoành độ dương 
(1)pt⇔
 có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn 
1 2
0 x x< <
2
00
2 60 ( 1) 3 ( 2) 0 0
2
(0) 0 ( 2) 0
2 6
2( 1)
20 0
2
mm
m m m m
af m m
mS m
m
  ≠≠   − ′∆ > − − − > − >   +      >  
d. Hàm số có cực đại, cực tiểu và 
CT
x x<CÑ 
(1)pt⇔
 có 2 nghiệm phân biệt và 0m > 
2
00 2 6
0
0 ( 1) 3 ( 2) 0 2
mm
m
m m m
  >> −⇔ ⇔ ⇔ < < 
′ ∆ > − − − >  
Hàm số đạt cực đại tại 0x = 
(0) 0 3( 2) 0
2
(0) 0 2( 1) 0
y m
m
y m
 ′ = − = ⇔ ⇔ ⇔ = 
′′ > − − <  
Bài 8. Cho hàm số 3 21 1
3
y x mx x m= − − + + 
CMR với mọi m hàm số đã cho luôn có cực đại, cực tiểu. Hãy xác định m sao 
cho khoảng cách giữa các điểm cực đại và cực tiểu là nhỏ nhất. 
Vấn đề 4: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CỰC TRỊ HÀM SỐ BẬC 3 
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 41 
Giải 
Xét hàm số 3 21 1
3
y x mx x m= − − + + 
TXĐ: D = 
 
Đạo hàm: 
2
2
2 1
0 2 1 0 (1)
y x mx
y x mx
′ = − −
′ = ⇔ − − =
Ta có 2 1 0,m m′∆ = + > ∀ (1)pt⇔ có 2 nghiệm phân biệt 
Vậy với mọi m, hàm số đã cho luôn có cực đại, cực tiểu và hoành độ các điểm 
cực đại, cực tiểu thỏa mãn: 
1 2
1 2
2
. 1
x x m
x x
 + =

 = −
Thực hiện phép chia y cho y ′ ta được: 
21 1 2 2.( ) ( 1) 1
3 3 3 3
y y x m m x m′= − − + + + 
Vậy tung độ các điểm cực đại, cực tiểu là 
2