Chuyên đề Hình học không gian thuần túy - Quan hệ song song - Nguyễn Quang Hoàng

m của AC và BD . M, N, P lần lượt là các điểm trên SA, SB ,SD. 
a. Tìm giao điểm I của SO với mặt phẳng ( MNP ) b. Tìm giao điểm Q của SC với mặt phẳng ( MNP ) 
11. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AC và BC; K là điểm trên BD và không trùng với trung 
điểm BD. 
a. Tìm giao điểm của CD và (MNK ) b.Tìm giao điểm của AD và (MNK ) 
12. Cho tứ diện ABCD . Gọi M,N là hai điểm trên AC và AD. O là điểm bên trong tamgiác BCD. Tìm giao điểm 
của : 
a. MN và (ABO ) b. AO và (BMN ) 
13. Cho hình chóp S.ABCD có đấy là hình thang ABCD, đáy lớn AB. Gọi I, J, K lần lượt là các điểm trên SA, 
AB, BC ( K không là trung điểm BC) . Tìm giao điểm của : 
a. IK và (SBD) b. SD và (IJK ) c. SC và (IJK ) 
14. Cho tứ diện ABCD . Trên AC và AD lấy hai điểm M,N sao cho MN không song song với CD. Gọi O là 
điểm bên trong tam giác BCD. 
a. Tìm giao tuyến của (OMN ) và (BCD ) b. Tìm giao điểm của BC với (OMN) 
c. Tìm giao điểm của BD với (OMN) 
15. Cho hình chóp S.ABCD . Trong tam giác SBC lấy điểm M trong tam giác SCD lấy điểm N 
a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SAC) 
b. Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN) 
VẤN ĐỀ 3: CHỨNG MINH 3 ĐIỂM THẲNG HÀNG- 3 ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY. 
 ∑ Để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta chứng minh chúng cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt. Khi đó, 3 
điểm đã cho cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng nên thẳng hàng. 
 ∑ Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui ta: 
 B1. Tìm giao điểm của hai trong 3 đường thẳng đã cho. 
 B2. Chứng minh đường thẳng còn lại đi qua giao điểm ở bước 1. Thường ở bước này, dùng dạng toán 
chứng minh thẳng hàng để lập luận. 
BÀI TẬP RÈN LUYỆN. 
1. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I, J là hai điểm cố định trên SA và SC với SI > IA và SJ < JC. Một mặt phẳng 
(P) quay quanh IJ cắt SB tại M, SD tại N. 
 a) CMR: IJ, MN và SO đồng qui (O =ACBD). Suy ra cách dựng điểm N khi biết M. 
 b) AD cắt BC tại E, IN cắt MJ tại F. CMR: S, E, F thẳng hàng. 
 c) IN cắt AD tại P, MJ cắt BC tại Q. CMR PQ luôn đi qua 1 điểm cố định khi (P) di động. 
2. Cho mặt phẳng (P) và ba điểm A, B, C không thẳng hàng ở ngoài (P). Giả sử các đường thẳng BC, CA, AB 
lần lượt cắt (P) tại D, E, F. Chứng minh D, E, F thẳng hàng. 
3. Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là ba điểm trên ba cạnh AB, AC, BD sao cho EF cắt BC tại I, EG cắt 
AD tại H. Chứng minh CD, IG, HF đồng qui. 
4. Cho hai điểm cố định A, B ở ngoài mặt phẳng (P) sao cho AB không song song với (P). M là một điểm di 
động trong không gian sao cho MA, MB cắt (P) tại A, B. Chứng minh AB luôn đi qua một điểm cố định. 
5. Cho tứ diện SABC. Qua C dựng mặt phẳng (P) cắt AB, SB tại B1, B. Qua B dựng mặt phẳng (Q) cắt AC, SC 
tại C1, C. BB, CC cắt nhau tại O; BB1, CC1 cắt nhau tại O1. Giả sử OO1 kéo dài cắt SA tại I. 
 a) Chứng minh: AO1, SO, BC đồng qui. 
 b) Chứng minh: I, B1, B và I, C1, C thẳng hàng. 
VẤN ĐỀ 4: THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHÓP 
 Đònh höôùng caùch xaùc ñònh: 
- Thieát dieän cuûa hình choùp vôùi maët phaúng (P) laø ña giaùc giôùi haïn bôûi caùc giao tuyeán cuûa (P) vôùi caùc maët 
cuûa hình choùp. 
- Ñeå xaùc ñònh thieát dieän, chuùng ta phaûi xaùc ñònh giao tuyeán cuûa maët phaúng (P) vôùi laàn löôït caùc maët cuûa 
hình choùp. 
- Phaûi nhaïy caûm löïa choïn maët naøo tröôùc ñeå xaùc ñònh giao tuyeán deã nhaát. Thöôøng laø maët ñaõ coù ñieåm chung 
hoaëc laø coù phöông giao tuyeán. (Giao tuyeán song song). 
- Sau khi xaùc ñònh ñöôïc 1 giao tuyeán thì ta coù theå taän duïng giao tuyeán ñoù (luùc naøy noù laø moät phaàn cuûa maët 
phaúng (P)) ñeå xaùc ñònh caùc giao tuyeán coøn laïi. Vieäc xaùc ñònh giao tuyeán seõ döøng laïi khi ña giaùc taïo bôûi 
caùc giao tuyeán laø ña giaùc loài kín. 
Chuù yù: Maët phaúng (P) coù theå khoâng caét moät soá maët cuûa hình choùp. 
- Vieäc xaùc ñònh giao tuyeán coù theå rôi vaøo caùc daïng sau ñaây: 
Daïng 1. Thieát dieän caét bôûi maët phaúng (P) khoâng chöùa yeáu toá song song (maët phaúng ñi qua 3 ñieåm phaân bieät 
khoâng thaúng haøng, maët phaúng xaùc ñònh bôûi hai ñöôøng thaúng caét nhau, maët phaúng ñi qua 1 ñieåm vaø chöùa moät 
ñöôøng thaúng) 
Daïng 2. Thieát dieän caét bôûi moät maët phaúng ñi qua 2 ñieåm hoaëc 1 ñöôøng thaúng vaø song song vôùi 1 ñöôøng 
thaúng cho tröôùc. 
Daïng 3. Thieát dieän caét bôûi moät maët phaúng ñi qua 1 ñieåm vaø song song vôùi 2 ñöôøng thaúng cho tröôùc. 
Chuù yù: ÔÛ daïng 2 vaø daïng 3 thöôøng söû duïng kieán thöùc. “Cho ñöôøng thaúng d song song vôi maët phaúng (P). 
Baát kì maët phaúng naøo chöùa ñöôøng thaúng d vaø caét maët phaúng (P) thì seõ caét (P) theo moät giao tuyeán song 
song vôùi (P)”. 
BÀI TẬP RÈN LUYỆN. 
1) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD . Ba điểm A’, B’, C’ lần lượt nằm trên ba cạnh SA, SB, SC nhưng không trùng 
với S, A, B, C. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (A’B’C’). 
2) Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là một điểm nằm trong tam giác SCD. 
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC). 
b) Tìm giao điểm của đường thẳng BM và mặt phẳng (SAC). 
c) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (ABM). 
3) Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD, P là một điểm nằm trên cạnh AD 
nhưng không trùng với trung điểm của AD. Tìm thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng (MNP). 
4.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang đáy lớn AB. Gọi M, N là trung điểm của SA và SC 
 a) Dựng các giao tuyến (SAB)  (SCD) , (DMN)  (ABCD) 
 b) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (DMN) 
5. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang đáy lớn AD . Điểm M thay đổi trên cạnh SA 
 a) Dựng giao điểm N của SD và mặt phẳng(BCM) 
 b) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng(BCM) 
6. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành .Gọi H,K là trung điểm SA,SB 
 a) Chứng minh rằng HK//CD 
 b) Trên cạnh SC lấy điểm M. Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng(MKH) 
7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi.Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB và 
SAD. E là trung điểm của BC 
a) Chứng minh rằng MN // BD b) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNE) 
c) Gọi H và K lần lượt là các giao điểm của mặt phẳng (MNE) với các cạnh SB và SD. Chứng minh rằng LH // 
BD 
8. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành .Gọi M, N là trung điểm của AB và AD. Mặt phẳng () 
chứa MN và //SA
 a) Dựng giao điểm của SC và  b) Dựng thiết diện của hình chóp với (). 
9. Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M. Gọi () là mặt phẳng qua M và // 2 cạnh AC,BD. Dựng thiết diện của tứ 
diện với (). 
10. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang đáy lớn AB. Điểm M thay đổi trên cạnh BC, mặt phẳng () qua M và song song 
với AB và SC 
 a) Dựng giao tuyến (SAD)  (SBC) b) Dựng thiết diện của hình chóp với  
 c) Chứng minh rằng đoạn giao tuyến của  với (SAD) thì //SD 
11.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành . Gọi M,N là trung điểm SA, SB. Điểm P thay đổi trên cạnh BC 
 a) Chứng minh rằng CD//(MNP) 
 b) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP) . Chứng minh rằng thiết diện là 1 hình thang. 
 c) Gọi I là giao điểm 2 cạnh bên của thiết diện ,tìm quĩ tích điểm I 
BÀI TẬP ÔN CHUNG 
1. Cho 4 điểm A,B,C,D không cùng nằm trong một mặt phẳng 
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng AB và CD chéo nhau 
b) Trên các đoạn AB và AD lần lượt lấy các điểm M và N sao cho đường thẳng MN cắt đường thẳng BD tại I. Hãy 
xét xem điểm I thuộc những mặt phẳng nào ? Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (CMN) và (BCD) 
2. Trong mặt phẳng  cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại O. Gọi c là một đường thẳng cắt  tại điểm I khác O 
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (O,c) và  
b) Gọi M là một điểm trên c khác I.Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (M,a) và (M,b). Chứng minh rằng giao 
tuyến này luôn luôn nằm trong một mặt phẳng cố định khi M di động trên c 
3. Cho hai mặt phẳng  và  cắt nhau theo giao tuyến d.Ta lấy hai điểmA ,B thuộc mặt phẳng  nhưng không 
thuộc d và một điểm O nằm ngoài  và . Các đường thẳng OA, OB lần lượt cắt  tại A’ và B’.Giả sử đường 
thẳng AB cắt d tại C 
a) Chứng minh rằng ba điểm O,A,B không thẳng hàng 
b) Chứng minh rằng ba điểm A’,B’,C thẳng hàng và từ đó suy ra ba đường thẳng AB,A’B’ và d đồng qui 
4. Cho tứ diện ABCD.Trên các cạnh AC,BC,BD lần lượt lấy các điểm M, N, K. 
 Tìm các giao điểm sau: a) CD  (MNK) b)AD  (MNK) 
5 . Cho tứ diện ABCD.Trên các cạnh AB,AC,BC lần lượt lấy 
 các điểm M,N,P.Tìm các giao điểm sau: 
 a) MN  (ADP) b) BC  (DMN) 
6. Cho tứ diện ABCD.Trên cạnh AB lấy điểm M,trong tam 
 giác BCD lấy điểm N.Tìm các giao điểm sau: 
 a) BC (DMN) b) AC (DMN) c) MN (ACD) 
7. Cho hình chóp S.ABCD. Trong tứ giác ABCD lấy một điểm O,tìm giao điểm của AM với các mặt phẳng (SBC) ,(SCD) 
8. Cho tứ diện ABCD.Trên các cạnh AB,AC lấy 2 điểm M,N; trong tam giác BCD lấy điểm P.Tìm các giao điểm sau: 
 a) MP (ACD) b) AD (MNP) c) BD (MNP) 
9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy không phải hình thang.Trên cạnh SC lấy một điểm E 
a)Tìm giao điểm F của đường thẳng SD với mặt phẳng (ABE) 
b) Chứng minh rằng 3 đường thẳng AB ,CD và EF đồng qui 
 10. Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M ,trong 2 tam giác BCD và ACD lần lượt lấy 2 điểm N, K. Tìm các giao 
tuyến sau: 
 a) CD (ABK) b) MK (BCD) c) CD (MNK) d) AD (MNK) 
11.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình bình hành tâm O.Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và SC.Gọi (P) là 
mặt phẳng qua 3 điểm M,N và B 
a) Tìm các giao tuyến (P) ∩ (SAB) và (P) ∩ (SBC) 
b)Tìm giao điểm I của đường thẳng SO với mặt phẳng (P) và giao điểm K của đường thẳng SD với mặt phẳng (P) 
c)Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (P) với mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng (SDC) 
d)Xác định các giao điểm E, F của các đường thẳng DA,DC với (P). Chứng minh rằng E ,B ,F thẳng hàng 
8.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành .Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và SC 
a)Xác định I = AN ∩ (SBD) và J = MN ∩ (SBD) 
b)Tính các tỉ số 
IA
IN
 ; 
JM
JN
 và 
IB
IJ
9.Cho hình chóp