Chuyên đề Hệ phương trình luyện thi Đại học năm 2010

Chuyên đề ôn thi đại học 2010 Hệ phương trình 
GV: Hoàng Ngọc Quang --- Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên – Yên Bái --- 1 
HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
A- HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN: 
1. Hệ đối xứng loại I: Là HPT mà trong từng phương trình của hệ khi ta thay đổi vai trò của x và y cho 
nhau thì phương trình không thay đổi 
• Có dạng: 
( , ) 0
( , ) 0
f x y
g x y
=

=
 trong đó 
( , ) ( , )
( , ) ( , )
f x y f x y
g x y g y x
=

=
• Cách giải: Đặt ( )
,
S x y
I
P x y
= +

=
 Ta được hệ: 
( , ) 0 ( )( , ) 0
F S P
II
G S P
=

=
Giải hệ (II) tìm được S và P → x, y là 2 nghiệm của phương trình t2 - St + P = 0 
• Chú ý: 1) Hệ (I) có nghiệm ⇔ Hệ (II) có nghiệm thoả mãn 2 4 0S P∆ = − ≥ 
 2) Một số biểu thức đối xứng 
a, ( )22 2 22 2x y x y xy S P+ = + − = − 
b, ( ) ( )33 3 33 3x y x y xy x y S PS+ = + − + = − 
c, ( ) ( )2 24 4 2 2 2 2 2 22 2 2x y x y x y S P P+ = + − = − − 
d, ( )( ) ( ) ( ) ( )5 5 2 2 3 3 2 2 2 3 22 3 .x y x y x y x y x y S P S P S P+ = + + − + = − − − 
e, 
1 1 x y S
x y xy P
+
+ = = 
f, 
2 2 2
2 2 2 2 2
1 1 2x y S P
x y x y P
+ −
+ = = 
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau: 
a) 2 2
3
2
x y xy
x y xy
+ + =

+ =
 Đáp số: ( )1;1 
b) 
2 2 8
5
x y x y
xy x y
 + + + =

+ + =
 Đáp số: ( ) ( )1;2 , 2;1 
c) ( )( )

=++
=+
280
4
3322 yxyx
yx
 Đáp số: ( ) ( )1;3 , 3;1 
d) 
( )
( )2 2 2 2
11 5
11 49
x y
xy
x y
x y
  
+ + =  
  

  + + =   
 Đáp số: 7 45 7 45 7 45 7 45; 1 , ; 1 , 1; , 1;
2 2 2 2
       + − + −
− − − −              
       
e) 



−=−+
=+−+
1
222
yxxy
yxyx
 Đáp số: ( ) ( )0; 1 , 1;0− − 
Bài 2. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất 




−=+
=+
myyxx
yx
31
1
 (Khối D-2004) 
 .Đáp số: 1
4
m = 
Bài 3. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: 
3 3
3 3
1 1 5
1 1 15 10
x y
x y
x y m
x y

+ + + =


 + + + = −

Chuyên đề ôn thi đại học 2010 Hệ phương trình 
GV: Hoàng Ngọc Quang --- Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên – Yên Bái --- 2 
Đáp số: 22m ≥ hoặc 7 2
4
m≤ ≤ 
2. Hệ đối xứng loại II: Là hệ phương trình nếu đổi vị trí 2 ẩn trong hệ thì phương trình này trở thành 
phương trình kia. 
• Có dạng: 
( , ) 0 (1)
 (I)( , ) 0 (2)
f x y
f y x
=

=
• Cách giải: 
+ Trừ theo vế của 2 phương trình (1) và (2) ta được phương trình dạng tích: ( ). ( , ) 0x y h x y− = 
+ Từ đó: 
 (II)( , ) 0( ) ( , ) 0
 (III)( , ) ( , ) 0
x y
f x y
I
h x y
f x y f y x
 =

=⇔

=

+ =
+Giải hệ (II) giải bằng phương pháp thể. Hệ (III) là hệ đối xứng loại I. 
• Chú ý: Nếu (x0, y0) là nghiệm của hệ thì (y0, x0) cũng là nghiệm của hệ. 
Bài 4. Giải các hệ phương trình sau: 
a) 




+=
+=
xyy
yxx
83
83
3
3
 Đáp số: ( ) ( ) ( )0;0 , 11; 11 , 11; 11− − 
b) 







+
=
+
=
2
2
2
2
23
23
y
x
x
x
yy
 (Khối B – 2003) Đáp số: ( )1;1 
c) 
3 4
3 3
y
x y
x
xy x
y

− =


− =

 Đáp số: ( )2; 2− − 
3. Hệ đẳng cấp: Là hệ phương trình mà mọi phương trình của hệ đều có vế trái đẳng cấp 
• Có dạng: 
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
, , . ,
, , . ,
n
n
f x y a f tx ty t f x y
g x y b g tx ty t g x y
 = = 
 
= =  
trong ño ù 
• Cách giải: 1. Tìm nghiệm thoả mãn x = 0 (hay y = 0) 
 2. Với 0x ≠ (hay 0y ≠ ), đặt y = tx (hay x = ty) 
• Chú ý: đối với hệ 
2 2
2 2
ax
' ' ' '
bxy cy d
a x b xy c y d
 + + =

+ + =
 ta có thể khử y2 (hay x2) , rồi tính y theo x (hay x theo 
y), sau đó thay vào một trong hai phương trình của hệ. 
Chuyên đề ôn thi đại học 2010 Hệ phương trình 
GV: Hoàng Ngọc Quang --- Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên – Yên Bái --- 3 
Bài 5. Giải các hệ phương trình sau: 
a) 
2 2
3 3
2 15
8 35
x y xy
x y
 + =

+ =
 Đáp số: ( ) 31;3 , ;2
2
 
 
 
b) 
2 2
2 2
3 5 4 3
9 11 8 6
x xy y
x xy y
 − − = −

+ − =
 Đáp số: ( ) ( )2 2 2 2; , ; , 1; 2 , 1;2
2 2 2 2
   
− − − −      
   
b) ( )




=−
=−
19
2
33
2
yx
yyx
 Đáp số: ( ) 3 37 13;2 , ;18 18
 
 
 
c) 
( )( )
( )( )
2 2
2 2
3
15
x y x y
x y x y

− − =

+ + =
 Đáp số: ( ) ( )1;2 , 2;1 
B- HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT 
Trong các đề thi đại học những năm gần đây , ta gặp rất nhiều bài toán về hệ phương trình . 
Nhằm giúp các bạn ôn thi tốt , sau đây ta có một số dạng bài và kĩ năng giải chúng. 
1. Phương pháp biến đổi tương đương: 
Đặc điểm chung của dạng hệ này là sử dụng các kĩ năng biến đổi đồng nhất đặc biệt là kĩ năng 
phân tích nhằm đưa một PT trong hệ về dạng đơn giản ( có thể rút theo y hoặc ngược lại ) rồi thế vào PT 
còn lại trong hệ . 
Loại I: Trong hệ có một phương trình bậc nhất với ẩn x hoặc y khi đó ta tìm cách rút y theo x hoặc ngược 
lại 
Bài 6. Giải hệ phương trình 
( )( ) ( )
( )
2 2
2
x y 1 x y 1 3x 4x 1 1
xy x 1 x 2
 + + + = − +

+ + =
 Gợi ý: Từ PT (1) 
 
2 11 xy
x
−
+ = thế vào (1) được PT: ( )( )3 21 2 2 4 0x x x x− + − = 
 Đáp số: ( )1; 1− , 52;
2
 
− − 
 
Bài 7. Giải hệ phương trình 
4 3 2 2
2
2 2 9
2 6 6
x x y x y x
x xy x
 + + = +

+ = +
 (Khối B – 2008) 
Loại II: Một phương trình trong hệ có thể đưa về dạng tích của các phương trình hai ẩn 
Bài 8. Giải hệ phương trình 
( )
( )3
1 1
 1
2 1 2
x y
x y
y x

− = −


= +
 (Khối A – 2003) 
 Gợi ý: ( ) ( ) 11 1 0x y
xy
 
⇔ − + = 
 
Đáp số: ( ) 1 5 1 5 1 5 1 51;1 , ; , ;
2 2 2 2
   
− + − + − − − −
      
   
Chuyên đề ôn thi đại học 2010 Hệ phương trình 
GV: Hoàng Ngọc Quang --- Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên – Yên Bái --- 4 
Bài 9. Giải hệ phương trình 
( )
( )
2 2
2 2
2 + xy - x = 0 1
 - xy - y + 3x + 7y + 3 = 0 2 
y
x



 Gợi ý: ( ) ( )( )2 2 21 0 2 0y x y xy y x y x⇔ − + + = ⇔ + − = 
Đáp số: ( ) ( ) 13 157 13 1571;1 , 3;3 , ; 13 157 , ; 13 157
2 2
   
− + − −
− − − + − −      
   
Bài 10. Giải hệ phương trình 
3
 (1)
2 (2)
x y x y
x y x y

− = −

+ = + +
 (Khối B – 2002) 
 Gợi ý: ( )3 6(1) 1 0x y x y⇔ − − − = 
Đáp số: ( ) 3 11;1 , ;
2 2
 
 
 
Loại III: Đưa một phương trình trong hệ về dạng phương trình bậc hai của một ẩn , ẩn còn lại là tham số 
Bài 11. Giải hệ phương trình 
( )( ) ( )
( )
2
2 2
y = 5x 4 4 x 1
y 5x 4xy 16x 8y 16 0 2
 + −

− − + − + =
Gợi ý: ( ) ( )( )2 2y 4x 8 y 5x 16x 16 0 y 5x 4 y x 4 0− + − + + = ⇔ − − + − = 
Đáp số: ( ) ( ) 40;4 , 4;0 , ;0
5
 
− 
 
Bài 12. Giải hệ phương trình 
2 22
2 1 2 2
xy x y x y
x y y x x y
 + + = −

− − = −
 (Khối D – 2008) 
 Gợi ý: ( ) ( )( )2 21 2 0 2 1 0 2 1 0x y x y y x y x y x y− + − − = ⇔ + − − = ⇔ − − = (do đ/k: 1, 0x y≥ ≥ ) 
 Đáp số: ( )5;2 
Loại IV: Biến đổi hệ phương trình về dạng có thể sử dụng được định lý Viet 
Bài 13. Giải hệ phương trình: ( )( ) ( )
2
2 3 1 14
3 9
x x y x
I
x x y
 + − =

+ + =
 Gợi ý: ( ) ( ) ( )( ) ( )
1 . 2 3 14
1 2 3 9
x x x y
I
x x x y
 − + =
⇔ 
− + + =
Đáp số: ( ) ( ) 1 29 1 29 1 29 1 291;3 , 2;1 , ; , ;
2 3 2 3
   + − − +
−       
   
Bài 14. Giải hệ phương trình: 
( ) ( ) ( )
( )
2 22 23 3 9 10 3 0
 13 6
3
x y x y x y
II
x y
x y
 + − − − − =


+ + =
−
Chuyên đề ôn thi đại học 2010 Hệ phương trình 
GV: Hoàng Ngọc Quang --- Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên – Yên Bái --- 5 
Gợi ý: Đ/k 3 0x y− ≠ . Khi đó ( )
2 3 33 3 5 13. 10 0 3 33 3
11 3 63 6 33
x y x yx y x y
x y x yx y x yII
x yx y
x yx y
 + + + +
= ∨ = −
− − =  
− − − − ⇔ ⇔ 
  + + =+ + = 
−−
Đáp số: ( ) 1 2 3 11 9 3 11 3 11 9 3 111;2 , ; , ; , ;
5 5 12 4 12 4
   + + − − 
             
2. Phương pháp đặt ẩn phụ 
Điểm quan trọng nhất trong hệ dạng này là phát hiện ẩn phụ ( ) ( )a f x, y ;b g x, y= = có ngay 
trong từng phương trình hoặc xuất hiện sau một phép biến đổi hằng đẳng thức cơ bản hoặc phép chia 
cho một biểu thức khác 0. 
Bài 15. Giải hệ phương trình ( )2 2 2
1 7
1 13
xy x y
I
x y xy y
+ + =

+ + =
 (Khối B – 2009) 
` Gợi ý: ( ) 2
2
2
11 77
1 113 13
xx xx y yy y
I
x xx xy y y y
  + + =+ + =     
⇔ ⇔ 
  + + = + + =    
Đáp số: ( )11; , 3;1
3
 
 
 
Bài 16. Giải hệ phương trình 
( )
( ) ( )2 2
1 3 0
 5 1 0
x y x
II
x y
x
 + + − =


+ − + =

 (Khối D – 2009) 
` Gợi ý: ( )
( )2 2
3 1 0
5 1 0
x y
xI
x y
x

+ − + =
⇔ 
 + − + =

Đáp số: ( ) 31;1 , 2;
2
 
 
 
Bài 17.Giải hệ phương trình 
( )
( )
2 3 2
4 2
5
4
51 2
4
x y x y xy xy
II
x y xy x

+ + + + = −

 + + + = −

 (Khối A – 2008) 
Gợi ý: ( )
( )
( )
2 2
22
5
4
5
4
x y xy x y xy
II
x y xy

+ + + + = −
⇔ 
 + + = −

Đáp số: 3 35 25 3; , 1;
4 16 2
   
− −       
Chuyên đề ôn thi đại học 2010 Hệ phương trình 
GV: Hoàng Ngọc Quang --- Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên – Yên Bái --- 6 
Bài 18.Giải hệ phương trình 
( )
( )( ) ( )
2
2
x 1 y y x 4y
 III
x 1 y x 2 y
 + + + =

+ + − =
 (Dự bị khối A - 2006) 
Gợi ý: ( )
( )
2
2
x 1 y x 4
y
III
x 1 y x 2 1
y
 +
+ + =

⇔ 
 + + − =  
Đáp số: ( ) ( )1;2 , 2;5− 
Bài 19.Giải hệ phương trình 
( ) ( ) ( )
2 2
2
34xy 4 x y 7
x y
 IV
12x 3
x y

+ + + = +

 + =
 +
Gợi ý : ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2
33 x y x y 7
x y
IV
1
x y x y 3
x y

+ + − + = +
⇔ 
 + + + − =
 +
Đặt ( )1a x y a 2 ;b x y
x y
= + + ≥ = −
+
Đáp số: ( )1;0 
Bài 20.Giải hệ phương trình ( )3 
1 1 4
x y xy
I
x y
 + − =

+ + + =
 (Khối A – 2006) 
Gợi ý: ( ) 3 (1)
2 2 1 16 (2)
x y xy
I
x y xy x y
 + − =
⇔ 
+ + + + + + =
. Đặt (1)0 3theot xy x y t= ≥ → + = + thế vào (2) 
Đáp số: ( )3;3