Chuyên đề Hàm số và đồ thị

Chuyên đề iii Hàm số và đồ thị
i. Kiến thức cơ bản
1. Hàm số 
Khái niệm hàm số
Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số tương ứng của x và x được gọi là biến số
Hàm số có thể cho bởi bảng hoặc công thức
Đồ thị hàm số
- Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả những điểm M trong mặt phẳng tọa độ có tọa độ thỏa mãn phương trình y = f(x) (Những điểm M(x, f(x)) trên mặt phẳng tọa độ)
Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến
* Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc R
Nếu x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên R
Nếu x1 f(x2) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên R
1.1Hàm số bậc nhất
Khái niệm hàm số bậc nhất
- Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b. Trong đó a, b là các số cho trước và a 0
Tính chất
Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất sau:
Đồng biến trên R khi a > 0
Nghịch biến trên R khi a < 0
Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0)
Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0) là một đường thẳng
Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b
Song song với đường thẳng y = ax, nếu b 0, trùng với đường thẳng y = ax, nếu b = 0
* Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a 0)
Bước 1. Cho x = 0 thì y = b ta được điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy.
 Cho y = 0 thì x = -b/a ta được điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành
Bước 2. Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q ta được đồ thị hàm số y = ax + b
Vị trí tương đối của hai đường thẳng 
Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b (a 0) và (d’): y = a’x + b’ (a’0). Khi đó
+ 
+ 
+ 
+ 
Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a 0)
Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox. 
- Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đó A là giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đường thẳng y = ax + b và có tung độ dương 
Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b
- Hệ số a trong phương trình y = ax + b được gọi là hệ số góc của đường thẳng y = ax +b 
Một số phương trình đường thẳng 
Đường thẳng đi qua điểm M0(x0;y0)có hệ số góc k: y = k(x – x0) + y0
Đường thẳng đi qua điểm A(x0, 0) và B(0; y0) với x0.y0 0 là 
 Hàm số bậc hai
Định nghĩa
- Hàm số có dạng y = ax2 (a 0)
Tính chất
- Hàm số y = ax2 (a 0) xác đinh với mọi giá trị của c thuộc R và:
+ Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x 0
+ Nếu a 0
Đồ thị của hàm số y = ax2 (a 0)
- Đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) là một Parabol đi qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng 
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị
+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dười trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị
2. Kiến thức bổ sung
2.1 Công thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng
Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x1, y1) và B(x2, y2). Khi đó
Độ dài đoạn thẳng AB được tính bởi công thức
Tọa độ trung điểm M của AB được tính bởi công thức
2.2 Quan hệ giữa Parabol y = ax2 (a 0) và đường thẳng y = mx + n (m 0)
Cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) và đường thẳng (d): y = mx + n. Khi đó
Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ phương trình 
Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình 
ax2= mx + n (*)
Số giao điểm của (P) và (d) là số nghiệm của phương trình (*)
+ Nếu (*) vô nghiệm thì (P) và (d) không có điểm chung
+ Nếu (*) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau
+ Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
II. Bài tập mẫu:
Bài 1: Cho hàm số: y = (m + 4)x - m + 6 (d).
Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến.
Tìm các giá trị của m, biết rằng đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 2). Vẽ đồ thị của hàm số với giá trị tìm được của m.
Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.
Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.
Chứng minh rằng khi m thay đổi thì các đường thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 2: Cho hai đường thẳng: 	y = (k - 3)x - 3k + 3 (d1) và y = (2k + 1)x + k + 5 (d2). 
Tìm các giá trị của k để: 
(d1) và (d2) cắt nhau.
(d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
(d1) và (d2) song song với nhau.
(d1) và (d2) vuông góc với nhau.
(d1) và (d2) trùng nhau.
Bài 3: Cho hàm số: y = (2m-5)x+3 với m ≠ 52 có đồ thị là đường thẳng d .
Tìm giá trị của m để : 
Góc tạo bởi (d) và trục Ox là góc nhọn, góc tù ( hoặc hàm số đồng biến , nghịch biến) 
(d) đi qua điểm (2;-1)
(d)// với đường thẳng y =3x-4
(d) // với đường thẳng 3x+2y = 1
(d) luôn cắt đường thẳng 2x-4y-3 =0
(d) cắt đường thẳng 2x+ y = -3 tại điểm có hoành độ bằng -2
Chứng tỏ (d) luôn đi qua 1 điểm cố định trên trục tung
Bài 4: cho (p) y = 2x2 và đường thẳng (d) y = (2m-1)x – m2-9 . Tìm m để :
Đường thẳng(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
(d) tiếp xúc với (P)
(d) và (P) không giao nhau. 
 Bài 5: Cho hàm số: cú đồ thị (P). 
Tỡm cỏc điểm A, B thuộc (P) cú hoành độ lần lượt bằng –1 và 2.
Viết phương trỡnh đường thẳng AB.
Viết phương trỡnh đường thẳng song song với AB và tiếp xỳc với (P). Tỡm tọa độ tiếp điểm.
Bài 6: Cho hàm số: y = (m + 1)x2 cú đồ thị (P).
Tỡm m để hàm số đồng biến khi x > 0.
Với m = – 2. Tỡm toạ độ giao điểm của (P) với đường thẳng (d): y = 2x – 3.
Tỡm m để (P) tiếp xỳc với (d): y = 2x – 3. Tỡm tọa độ tiếp điểm.
Bài 7: Chứng tỏ đường thẳng (d) luụn tiếp xỳc với Parabol (P) biết:
	a) (d): y = 4x – 4; (P): y = x2.
	b) (d): y = 2x – 1; (P): y = x2.
Bài 8: 
Chứng tỏ rằng đường thẳng (d) luụn cắt Parabol (P) tại 2 điểm phõn biệt:
(d): y = –3x + 4; (P): y = x2.
(d): y = – 4x + 3; (P): y = 4x2.
Tỡm tọa độ giao điểm của (d) và (P) trong cỏc trường hợp trờn.
Bài 9: Cho Parabol (P) cú phương trỡnh: y = ax2 và hai đường thẳng sau:
	(d1): 	(d2): 4x + 5y – 11 = 0
Tỡm a biết (P), (d1), (d2) đồng quy.
Vẽ (P), (d1), (d2) trờn cựng hệ trục tọa độ với a vừa tỡm được.
Tỡm tọa độ giao điểm cũn lại của (P) và (d2).
Viết phương trỡnh đường thẳng tiếp xỳc với (P) và vuụng gúc với (d1).
Bài 10: Cho Parabol (P): và đường thẳng (d): y = 2x + m + 1.
Tỡm m để (d) đi qua điểm A thuộc (P) cú hoành độ bằng – 2.
Tỡm m để (d) tiếp xỳc với (P). Tỡm tọa độ tiếp điểm
Tỡm m để (d) cắt (P) tại hai điểm cú hoành độ cựng dương.
Tỡm m sao cho (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm cú hoành độ x1 ạ x2 thỏa món: 
Bài 11: Cho hàm số: y = ax2 cú đồ thị (P) và hàm số: y = mx + 2m + 1cú đồ thị (d).
Chứng minh (d) luụn đi qua một điểm M cố định.
Tỡm a để (P) đi qua điểm cố định đú.
Viết phương trỡnh đường thẳng qua M và tiếp xỳc với Parabol (P).