Chuyên đề hàm số và đạo hàm - Nguyễn Phú Khánh

a C : y f x0 0
′′ ′ 0∃ ∈ = ∃
′′
⇒ =
⎧⎪⎨⎪⎩
≠
I(T) (C)
f"<0
f">0
( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )
x a; b : f x 02 0 0i
f x khoâng ñoåi daáu khi x ñi qua x0
I x ; f x : laø ñieåm uoán cuûa C : y f x0 0
′∃ ∈ =
′
⇒ =
⎧⎪⎨⎪⎩ 
I
(T)
(C)
f"<0
f">0
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
( )( )
x a; b :gt môû roäng f x3 0 0i :
f x ñoåi daáu khi x ñi qua x0
 giaù trò môû roäng f x0
4i : f x khoâng ñoåi daáu khi x baêng qua x hoaëc0
f x ñoåi daáu khi x ñi qua x0
I x , f x : laø0 0
′′∃ ∈ = ∞
′′
′ = ∞
′
′′
⇒
⎡ ⎧⎪⎢ ⎨⎢ ⎪⎩⎢ ⎧⎢ ⎪⎢ ⎨⎢ ⎪⎢ ⎩⎣
( ) ( ) ñieåm uoán cuûa C : y f x=
III. TIEÄM CAÄN: 
Tieäm caän ñöùng x = x0 Tieäm caän ngang y = y0 Tieäm caän xieân y = ax+b 
∞=
→
ylim
0xx
 0x
yylim =∞→ 
( )[ ]
( )[ ]⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−
∞=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−=
=
∞→
∞→
∞→
∞→
0baxylim
lim
baxylimb
x
ylima
x
x
x
x
Chuù yù: 
Ts.Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït  
16 
( ) ( ) xieâncaäntieämlaøbaxy thì 0xlim vôùi xbaxy
x
+==εε++= ∞→ 
 1. Haøm phaân thöùc 
( )
( )xQ
xPy = : 
TCÑ: x = x0 TCN TCX TC cong laø Parabola 
Tìm nghieäm x0 cuûa Q(x) = 
0 Baäc P(x)≤Baäc Q(x) Baäc P(x) > Baäc Q(x) 1 baäc Baäc P(x) > Baäc Q(x) 2 baäc 
 2. Haøm höõu tyû: 
( )
( ) 'bx'a
'a
'bP
'a
'abb'ax
'a
a
xQ
xP
'bx'a
cbxaxy 2
2
+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
+−+==+
++= 
TCX:
'a
'abb'ax
'a
ay0
'bx'a
'a
'bP
lim 2x
−+=⇒=+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
∞→ 
 3. Haøm voâ tyû (haøm caên thöùc): y = f(x) 
• Neáu 
( ) ( ) ( )b2f x ax bx c a x x . Vôùi lim x 0
x2a
= + + = + + ε ε =→∞
b
Nhaùnh traùi : y - a x
b 2a
TCX : y a x
2a b
Nhaùnh phaûi : y a x
2a
= +
⇒ = + =
= +
⎡ ⎛ ⎞⎢ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢⎢ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠⎣
• Neáu ( ) ( )x
2
pxbaxqpxxbaxxf 2 ε++++=++++= 
p
Nhaùnh traùi : y ax b- x
p 2
TCX : y ax b x
2 p
Nhaùnh phaûi : y ax b x
2
= + +
⇒ = + + + =
= + + +
⎡ ⎛ ⎞⎢ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢⎢ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠⎣
 4. Ñaëc bieät: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
lim f x
xC y f x g x x maø T y g x laø tieäm caän cong.
lim f x g x lim x 0
x x
= ∞→∞= = + ε ⇒ =
− = ε =→∞ →∞
⎧⎪⎨ ⎡ ⎤⎪ ⎣ ⎦⎩
CHUÛ ÑEÀÀ 6: KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ 
I. HAØM BAÄC HAI: ( ) ( ) ( )0acbxaxxfy:P 2 ≠++== 
• Tam thöùc baäc hai coù daïng: ( ) ( ) ( )0acbxaxxfy:P 2 ≠++== 
Goïi 
2a
b- xñaët 0, khi;ac4b 1,2
2 Δ±=≥Δ−=Δ , ta coù f(x1) = f(x2) = 0 thì x1, x2 laø hai nghieäm cuûa tam thöùc baäc hai (cuõng laø 
hai nghieäm cuûa phöông trình baäc hai: ax2+bx+c = 0). 
• Tính chaát cuûa caùc nghieäm soá x1; x2 (quy öôùc x1 < x2) 
Ts.Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït  
17 
thuaän) Viete lyù (Ñònh 
a
cxxP
a
bxxS
21
21
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
−=+=
) ( )
a
x-x :ñeà Meänh 21
Δ=⇒ 
) Heä quaû (Ñònh lyù Viete ñaûo): Neáu hai soá thöïc coù toång laø S, coù tích laø P; thì hai soá ñoù laø nghieäm cuûa phöông trình: ( ) ⇒
( ) ( )04P-S :Vôùi0PSxxxf 22 ≥=+−= 
) Neáu 21 x0x0a
cP <<⇔<= (hai nghieäm traùi daáu) 
Ta coù hai tröôøng hôïp nhoû: 
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−=
>⇒<−=
21
21
xx0
a
bS
xx0
a
bS
) Neáu 0xx
0
a
bS
0
a
cP
21 <<⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<−=
>=
 (hai nghieäm ñeàu aâm) 
) Neáu 21 xx0
0
a
bS
0
a
cP
<<⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>−=
>=
 (hai nghieäm ñeàu döông) 
• Tính chaát ñoà thò ( ) ( ) cbxaxxfy:P 2 ++== 
laø moät Parabola (ñöùng) coù ñænh ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ Δ−
a4
;
a2
bS 
) Ñeå yù 
a2
bxS −= ; laø nghieäm keùp cuûa tam thöùc baäc hai, thì a2
bx:d −= laø truïc ñoái xöùng cuûa (P). 
• Daáu tam thöùc baäc hai: 
Vieát tam thöùc döôùi daïng: ( ) ( )0aac4abx4xa4xaf4 22 ≠++= 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 4ac-b vôùi ;*bax2xaf4
bac4bax2xaf4
22
22
=ΔΔ−+=⇔
−++=⇔
Töø (*) ta coù ñònh lyù thuaän veà daáu tam thöùc baäc hai nhö sau: 
 Tam thöùc baäc hai luoân coù daáu cuûa heä soá a; vôùi moïi giaù trò cuûa x vaø chæ loaïi tröø hai tröôøng hôïp: 
) Neáu 0
a2
baf0 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⇒=Δ 
) Neáu ( ) ( )21 x;xx;0xaf0 ∈∀<⇒<Δ 
0>Δ 
• Toàn taïi (x1;x2) maø trong ñoù f(x) traùi 
daáu a 
• [ ] { }0;x;x 21 φ≠ ( )
x x1 2
| |Cuøng Traùi Cuøng
2f x ax bx c daáu 0 daáu 0 daáu
a a| | a
−∞ +
= + +
∞
Ts.Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït  
18 
0=Δ 
• Khoâng toàn taïi (x1;x2) maø trong ñoù f(x) 
traùi daáu a 
• [ ] { }0x;x 21 =
⇒ Söï traùi daáu bò suy bieán ( )
b
x x x1 2 2a
|Cuøng Cuøng
2f x ax bx c daáu 0 daáu
a a|
−∞ = = −
= + +
+∞
0<Δ 
• Khoâng toàn taïi (x1;x2) maø trong ñoù f(x) 
traùi daáu a 
• [ ] φ=21 x;x
⇒ Söï traùi daáu bò bieán maát 
( )
x
Cuøng
2f x ax bx c daáu
a
−∞ +
= + +
∞
• Giaù trò lôùn nhaát, giaù trò nhoû nhaát cuûa tam thöùc baäc hai: 
Daáu a 
Daáu Δ 
a>0 a<0 
Δ > 0 
y
(P)
S
x1 x20 x
a2
b−
a4
Δ−
y
(P)
S
x1 x2
0 x
a2
b−
a4
Δ−
Δ < 0 
y
(P)
S
0 x
a2
b−
a4
Δ−
y
(P)
S
0 x
a2
b−
a4
Δ−
Δ = 0 
y
(P)
S
0 x
a2
b−
a4
Δ−
y
(P)
S0
x
a2
b−
a4
Δ−
max 
min 
( )
a2
bx khi;
a4
xfGTNN
Rx
−=Δ−=
∈
 ( )
a2
bx khi;
a4
xfGTNN
Rx
−=Δ−=
∈
) Ñònh lyù ñaûo veà daáu cuûa tam thöùc baäc hai: 
Neáu toàn taïi soá thöïc ( ) 0af thoûa <αα , thì tam thöùc B2 coù hai nghieäm phaân bieät x1, x2 vaø 21 xx <α< . 
) Heä quaû: 
Neáu toàn taïi hai soá thì tam thöùc B( ) ( ) 0ffcho sao vaø <βαβα 2 coù hai nghieäm phaân bieät x1; x2 vaø coù moät nghieäm naèm trong 
khoaûng ( ) ( )β<αβα vôùi ; . 
Ts.Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït  
19 
Chaúng haïn: 2121 xx hayxx <β<<αβ<<α< 
• Töø ñònh lyù ñaûo ôû treân ta coù söï so saùnh moät soá thöïc α vôùi hai nghieäm x1, x2 cuûa tam thöùc ( ) ( )0acbxaxxf 2 ≠++= 
nhö sau: 
) TH1: (khoâng caàn xeùt daáu Δ, vì luoân luoân coù Δ > 0). ( ) 21 xx0xaf <α<⇔<
) TH2: Δ < 0: vieäc so saùnh khoâng ñaët ra. 
) TH3: ( ) ( )
0
af 0 x x xem hình 11 2
S
0
2
Δ >
α > ⇔ α < <
− α >
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x1 x2α 
x // //
(hình 1) 
2
xx
2
S 21+=
) TH4: ( ) ( )2 hìnhxem 
0
2
S
xx0af
0
21
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<α−
αα
>Δ
x 1 x2 α
x // //
(hình 2) 
2
xx
2
S 21 +=
• Tam thöùc coù ít nhaát ba thöïc nghieäm ( ) cbxaxxf 2 ++= 0cba ===⇔ 
• Hai tieáp tuyeán phaùt xuaát töø moät ñieåm baát kyø M ñeán treân ñöôøng chuaån (d) ñeán Parabola ñeàu vuoâng goùc vôùi nhau vaø ñoàng thôøi 
ñoaïn noái caùc tieáp ñieåm T1T2 luoân luoân ñi qua tieâu ñieåm F cuûa (P). 
(P)
(d)
M
T1
(t )1(t )2
T2
II. HAØM BAÄC BA: ( ) ( ) ( )0adcxbxaxxfy:C 23 ≠+++== Hoïc sinh xem phaàn naøy trong Sgk 
( ) ( ) ( )0adcxbxaxxfy:C 23 ≠+++== 
• MXÑ: ( )+∞∞−= ;D
• Caùc ñaïo haøm: 2b6axy vaø cbx2ax3y 2 +=′′++=′
• Taâm ñoái xöùng laø ñieåm uoán: ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−
a3
bf;
a3
bI 
• Xeùt . Ta ñöôïc baûng toång keát. ac3b2'y −=Δ′=Δ′
Ts.Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït  
20 
0
0a
<Δ′
>
 ∞+
∞−
+′
∞+∞−
y
y
x
y
I
(C)
0
x
a3
b−
0
0a
<Δ′
<
∞−
∞+
−′
∞+∞−
y
y
x
y
I
(C)
0
x
a3
b−
0
0a
=Δ′
>
∞+
∞−
++
∞+∞−
y
'y
a3
bx
y
I
(C)
0
x
a3
b−
0
0a
=Δ′
<
∞−
∞+
−−
∞+∞−
y
'y
a3
bx
y
I
(C)
0
x
a3
b−
)xx
nghieäm 2 coù 0y(
0
0a
21 <
=′
<Δ′
>
 ∞+
∞−
+−+
∞+∞−
CT
CÑ
y
00'y
xxx 21
y
I
(C)
0
x
a3
b−
)xx
nghieäm 2 coù 0y(
0
0a
21 <
=′
<Δ′
<
∞−
∞+
−+−
∞+∞−
CÑ
CT
y
00'y
xxx 21
y
I
(C)
0
x
a3
b−
Chuù yù: Xem theâm phaàn 7 CHUÛ ÑEÀà 3 
1. Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå ñoà thò (C) ôû treân coù ñieåm cöïc tieåu vaø ñieåm cöïc ñaïi (haøm soá coù cöïc trò) laø: 
 ( ) ( ) 0ac3b coù cbx2ax3xgx'f'y 2g2 >−=Δ′++===
2. Phöông trình ñöôøng thaúng qua 2 ñieåm cöïc trò. Ba ñieåm A, I, B thaúng haøng. 
• Goïi (x0;y0) laø toïa ñoä caùc ñieåm cöïc trò ôû treân noù thoûa: 
( )
( )⎪⎩
⎪⎨⎧ =++=
+++==
0cbx2x3xg
dcxbxaxxfy
0
2
00
0
2
0
3
000
• Thöïc hieän pheùp chia hai ña thöùc ñaõ saép xeáp f(x0) : f(x0), ta coù: ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0 0 0y f x Ax B g x x y x vì g x 0= = + + α +β ⇔ = α +β = 
Ts.Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït  
21 
• Vaäy, laø ñöôøng thaúng ñi qua ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu cuûa (C). Ñieåm uoán cuûa (C) laø ( ) β+α= xy:d ( )dI∈ hay A, I, B 
thaúng haøng. 
• Do ñoù toïa ñoä caùc ñieåm cöïc trò vaø ñieåm uoán laø: 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
β+α−=
−=
⎩⎨
⎧
β+α=
=
⎩⎨
⎧
β+α=
=
a3
by
a3
bx
I;
xy
xx
B;
xy
xx
A
1
1
CTA
CTA
CÑA
CÑAI
3. Quyõ tích cuûa cöïc trò, ñieåm uoán haøm baäc ba 
Töø caùc toïa ñoä A, B, I chöùa tham soá m, ta tìm ñöôïc quyõ tích cuûa chính caùc ñieåm ñoù. 
) Khöû tham soá m. 
) Giôùi haïn khoaûng chaïy cuûa toïa ñoä töø ñieàu kieän toàn taïi m vôùi moïi giaù trò tham soá mDm∈∀ . 
) Quyõ tích cuûa A, B hay I laø ( ) β+α= xy:d 
4. Ñònh tham soá ñeå haøm baäc ba caét truïc hoaønh trong caùc tröôøng hôïp 
TH1: (C) tieáp xuùc Ox thì heä sau coù nghieäm: ⎪⎩
⎪⎨⎧ =++
=+++⇔
⎩⎨
⎧
=′
=
0cbx2ax3
0dcxbxax
0y
0y
2
23
TH2: (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät: ( )( )⎪⎩
⎪⎨⎧ <β+αβ+α=
>−=Δ′⇔
0xxy.y
0ac3b
CTCÑCTCÑ
2
g
TH3: (C) caét Ox taïi 2 ñieåm phaân bieät: ( )( )⎪⎩
⎪⎨⎧ =β+αβ+α=
>−=Δ′⇔
0xxy.y
0ac3b
CTCÑCTCÑ
2
g
TH4: Luoân caét Ox taïi ít nhaát moät ñieåm hay phöông trình: ( )0a0dcxbxax 23 ≠=+++ : khoâng theå voâ nghieäm. 
TH5: (C) caét Ox taïi 1 ñieåm duy nhaát: 
( )( )⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎪⎩
⎪⎨⎧ >β+αβ+α=
>−=Δ′
≤−=Δ′
⇔
0xxyy
0ac3b
0ac3b
CTCÑCTCÑ
2
g
2
g
TH6: Phöông trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 coù 3 nghieäm döông: ( ) ( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>
>
<
<
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>
<
<
>
⇔
0x
00f
0yy
0a
 hoaëc
0x
00f
0yy
0a
CT
CTCÑ
CÑ
CTCÑ
y
(C)
0 x
x1 x2
fCT
fCÑ
f(0) xCÑ
x3
y
(C)
0 x
x1 x2
fCT
fCÑ
f(0)
xCT x3
TH7: Phöông trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 coù 3 nghieäm aâm: ( ) ( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<
<
<
<
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<
>
<
>
⇔
0x
00f
0yy
0a
 hoaëc
0x
00f
0yy
0a
CÑ
CTCÑ
CT
CTCÑ
y
(C) 0
x
x1 x2
fCT
fCÑ
f(0)
xCÑ
x3
y
(C) 0
x
x1 x2
fCT
fCÑ
f(0)
xCÑ
x3
Ts.Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït  
22 
TH8: Phöông trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 coù ñuùng 2 nghieäm döông: 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>
<
>Δ
<
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>
<
>Δ
>
⇔
0x
0yy
0'
0a
 hoaëc
0x
0yy
0'
0a
CT
CTCÑ
g
CT
CTCÑ
g
y y
0 x
x1