Chuyên đề Hàm số đơn điệu trên R - Nguyễn Phú Khánh

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . 
15 
Dạng 3 : Hàm số đơn điệu trên 
 . 
Sử dụng định lý về điều kiện cần 
• Nếu hàm số ( )f x đơn điệu tăng trên 
 thì ( )' 0,f x x 
≥ ∀ ∈ . 
• Nếu hàm số ( )f x đơn điệu giảm trên 
 thì ( )' 0,f x x 
≤ ∀ ∈ . 
Ví dụ 1 : Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác 
định . 
3 2
1.
mx m
y
x m
+ −
=
+
( )22 2 3 1
2.
1
x m x m
y
x
− + + − +
=
−
Giải : 
3 2
1.
mx m
y
x m
+ −
=
+
* Hàm số đã cho xác định trên khoảng ( ) ( ); ;m m−∞ − ∪ − +∞ 
* Ta có : ( )
2
2
2 3
' ,
m m
y x m
x m
+ −
= ≠ −
+
. 
Cách 1 : 
* Bảng xét dấu 'y 
m −∞ 3− 1 +∞ 
'y 
 + 0 − 0 + 
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy 
Nếu 3 1m− < < thì ' 0y < ⇒ hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( ); m−∞ − , 
( );m− +∞ . 
Cách 2 : 
Hàm số nghịch biến trên tập xác định khi : 
( ) ( ) 2' 0, ; ; 2 3 0 3 1y x m m m m m< ∀ ∈ −∞ − ∪ − +∞ ⇔ + − < ⇔ − < < 
( )22 2 3 1 1 2
2. 2
1 1
x m x m m
y x m
x x
− + + − +
−
= = − + +
− −
* Hàm số đã cho xác định trên khoảng ( ) ( );1 1;−∞ ∪ +∞ . 
* Ta có : ( )2
2 1
' 2 , 1
1
m
y x
x
−
= − + ≠
−
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . 
16 
+ 
1
' 0, 1
2
m y x≤ ⇒ < ≠ , do đó hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( );1−∞ , 
( )1;+∞ . 
+ 
1
2
m > khi đó phương trình ' 0y = có hai nghiệm 
1 2
1x x< < ⇒ hàm số đồng 
biến trên mỗi khoảng ( )1;1x và ( )21;x , trường hợp này không thỏa . 
Vậy 1
2
m ≤ thỏa mãn yêu cầu của bài toán. 
Bài tập tương tự : 
Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định . 
2 7 11
1.
1
x m m
y
x
− + −
=
−
( ) 21 2 3
2.
3
m x m m
y
x m
− + + −
=
+
( ) 21 2 1
3.
1
m x x
y
x
− + +
=
+
( )2 2 2 1
4.
3
x m x m
y
x
− + + −
=
−
Ví dụ 2 : Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên 
 . 
( )3 211. 2 2 1 3 2
3
y x x m x m= − + + + − + 
( )3 2 22. ( 2) ( 2) 8 1
3
x
y m m x m x m= + − + + − + − 
Giải: 
( )3 211. 2 2 1 3 2
3
y x x m x m= − + + + − + 
* Hàm số đã cho xác định trên 
 . 
* Ta có : 2' 4 2 1y x x m= − + + + và có ' 2 5m∆ = + 
* Bảng xét dấu '∆ 
m −∞ 5
2
− 
 +∞ 
'∆ − 0 + 
5
2
m+ = − thì ( )= − − ≤2' 2 0y x với mọi x ∈ 
 và ' 0y = chỉ tại điểm = 2x 
Do đó hàm số nghịch biến trên 
 . 
5
2
m+ < − thì < ∀ ∈ 
' 0,y x . Do đó hàm số nghịch biến trên 
 . 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . 
17 
5
2
m+ > − thì =' 0y có hai nghiệm ( )< 1 2 1 2,x x x x . Hàm số đồng biến trên 
khoảng ( ) 1 2;x x . Trường hợp này không thỏa mãn . 
( )3 2 22. ( 2) ( 2) 8 1
3
x
y m m x m x m= + − + + − + − 
* Hàm số đã cho xác định trên 
 . 
* Ta có 2' ( 2) 2( 2) 8 y m x m x m= + − + + − . 
+ 2m = − , khi đó ' 10 0,y x= − ≤ ∀ ∈ ⇒
 hàm số luôn nghịch biến trên 
 . 
+ 2m ≠ − tam thức 2' ( 2) 2( 2) 8 y m x m x m= + − + + − có ' 10( 2)m∆ = + 
*Bảng xét dấu '∆ 
m −∞ 2− +∞ 
'∆ − 0 + 
2m+ < − thì ' 0y < với mọi x ∈ 
 . Do đó hàm số nghịch biến trên 
 . 
2m+ > − thì =' 0y có hai nghiệm ( )< 1 2 1 2,x x x x . Hàm số đồng biến trên 
khoảng ( ) 1 2;x x . Trường hợp này không thỏa mãn . 
Vậy 2m ≤ − là những giá trị cần tìm. 
Bài tập tương tự : 
Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định . 
1. 2
1
m
y x
x
= + +
−
( ) 42. 1 3
2
m
y m x
x
+
= − − −
+
3 213. 1
3
y x m x= − + 
4 2 214. 1
4
y mx m x m= − + − 
Ví dụ 3 : Tìm a để các hàm số sau luôn đồng biến trên 
 . 
3 211. 4 3
3
y x ax x= + + + 
( ) ( )2 3 212. 1 1 3 5
3
y a x a x x= − + + + + 
Giải : 
3 211. 4 3
3
y x ax x= + + + 
* Hàm số đã cho xác định trên 
 . 
* Ta có 2' 2 4y x ax= + + và có 2' 4a∆ = − 
* Bảng xét dấu '∆ 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . 
18 
a −∞ 2− 2 +∞ 
'∆ + 0 − 0 + 
+ Nếu 2 2a− với mọi x ∈ 
 . Hàm số y đồng biến trên
 . 
+ Nếu 2a = thì ( )2' 2y x= + , ta có : ' 0 2, ' 0, 2y x y x= ⇔ = − > ≠ − . Hàm 
số y đồng biến trên mỗi nửa khoảng ( ; 2−∞ −  và )2;− +∞ nên hàm số y đồng 
biến trên
 . 
+ Tương tự nếu 2a = − . Hàm số y đồng biến trên
 . 
+ Nếu 2a thì ' 0y = có hai nghiệm phân biệt 
1 2
,x x . Giả sử 
1 2
x x< . Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng ( )1 2;x x ,đồng biến trên mỗi 
khoảng ( )1;x−∞ và ( )2;x +∞ . Do đó 2a không thoả mãn yêu 
cầu bài toán . 
Vậy hàm số y đồng biến trên
 khi và chỉ khi 2 2a− ≤ ≤ . 
( ) ( )2 3 212. 1 1 3 5
3
y a x a x x= − + + + + 
* Hàm số đã cho xác định trên 
 . 
* Ta có : ( ) ( )2 2' 1 2 1 3y a x a x= − + + + và có ( )2' 2 2a a∆ = − + + 
Hàm số y đồng biến trên
 khi và chỉ khi ( )' 0, 1y x⇔ ≥ ∀ ∈ 
 
 + Xét 2 1 0 1a a− = ⇔ = ± 
3
1 ' 4 3 ' 0 1
4
a y x y x a= ⇒ = + ⇒ ≥ ⇔ ≥ − ⇒ = i không thoả yêu cầu bài 
toán. 
1 ' 3 0 1a y x a= − ⇒ = > ∀ ∈ ⇒ = − i 
 thoả mãn yêu cầu bài toán. 
+ Xét 2 1 0 1a a− ≠ ⇔ ≠ ± 
* Bảng xét dấu '∆ 
a −∞ 1− 1 2 +∞ 
'∆ − 0 + 0 − 
+ Nếu 1 2a a thì ' 0y > với mọi x ∈ 
 . Hàm số y đồng biến trên
 . 
+ Nếu 2a = thì ( )2' 3 1y x= + , ta có : ' 0 1, ' 0, 1y x y x= ⇔ = − > ≠ − . Hàm 
số y đồng biến trên mỗi nửa khoảng ( ); 1 ` 1;va −∞ − − +∞  nên hàm số y 
đồng biến trên
 . 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . 
19 
+ Nếu 1 2, 1a a− < < ≠ thì ' 0y = có hai nghiệm phân biệt 
1 2
,x x . Giả sử 
1 2
x x< . Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng ( )1 2;x x ,đồng biến trên mỗi 
khoảng ( )1;x−∞ và ( )2;x +∞ . Do đó 1 2, 1a a− < < ≠ không thoả mãn yêu cầu 
bài toán . 
Do đó hàm số y đồng biến trên
 khi và chỉ khi 1 2a a< − ∨ ≥ . 
Vậy với 1 2a≤ ≤ thì hàm số y đồng biến trên
 . 
Bài tập tương tự : 
Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định . 
( )3 2 211. 3 1
3 2
m
y x x m x= − + − − 
( )3 22. 2 3
3
x
y mx m x= − + + + 
( ) ( )3 23. 2 1 4 1
3
x
y m m x x= + − − + − 
( ) ( ) ( )3 24. 2 2 3 5 6 2
3
x
y m m x m x= − − − + − + 
Chú ý : 
Phương pháp: 
 * Hàm số ( , )y f x m= tăng trên ' 0 ' 0
x
y x min y
∈
⇔ ≥ ∀ ∈ ⇔ ≥



 
 . 
 * Hàm số ( , )y f x m= giảm trên ' 0 ' 0
x
y x max y
∈
⇔ ≤ ∀ ∈ ⇔ ≤



 
 . 
Chú ý: 
1) Nếu 2'y ax bx c= + + thì 
 * 
0
0
' 0 
0
0
a b
c
y x
a
 = =
 ≥≥ ∀ ∈ ⇔  >
 ∆ ≤

 
* 
0
0
' 0 
0
0
a b
c
y x
a
 = =
 ≤≤ ∀ ∈ ⇔  <
 ∆ ≤

 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . 
20 
2) Hàm đồng biến trên 
 thì nó phải xác định trên 
 .