Chuyên đề: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

CHUYÊN ĐỀ : GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 
GIÁO VIÊN SOẠN : HUỲNH CẨM THẢO
A/ Mở đầu : Trong các , kỳ thi chọn học sinh giỏi vòng tỉnh ,kỳ thi chọn học sinh giỏi quốc gia , kỳ thi chọn học sinh giỏi Olimpic , kỳ thi đại học ta thấy xuất hiện BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ . Đây là dạng toán khó đòi hỏi học sinh phải vận dụng linh hoạt và sáng tạo để giải chúng . Sau nhiều năm giảng dạy học sinh giỏi , bản thân tôi rút ra được một số kinh nghiệm và phân loại chúng thành các dạng sau :
	1/ Dùng các bất đẳng thức . 
	2/ Sử dụng hàm số 
	3/ Kết hợp cả 2 phương pháp trên .
B/ Các bài toán cụ thể :
1/ Dùng các bất đẳng thức :
Baøi toaùn 1: Cho x,y,z laø ba soá thöïc döông thay ñoåi vaø x+y+z . Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc : . 
Giải : Cách 1 :Theo bất đẳng thức BCS :
Cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta được :
Cách 2 : Trong mp Oxy xeùt 
Ta coù: 
(2)
Ta chæ caàn chöùng minh: 
Thaät vaäy :
VT(2) = ( do x+y+z 
.
Baøi toaùn 2: Cho x,y,z laø ba soá thöïc khoâng aâm thay ñoåi vaø x+y+z = 3.Tìm giaù trò nhỏ nhaát cuûa bieåu thöùc : .
Giải : Theo bất đẳng thức BCS : 
Đặt:
Baøi toaùn 3: Cho x,y,z laø ba soá thöïc döông thay ñoåi vaø . Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc : .
Giải : Theo bất đẳng thức Cauchy : 
Baøi toaùn 4 : Cho x,y,z laø ba soá thöïc thay ñoåi thoûa : Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc : . 
Giải : Vai trò x,y,z như nhau nên ta giả sử : 
Ta có : 
Đặt t = yz , t thuộc đoạn [-3 ; 3 ] .Khi đó : 
Vì (2) đúng nên (1) đúng do .
Vậy MaxP = 10 khi và chỉ khi :
x,y,z là các hoán vị của (2 ; 2 ; -1 )
Baøi toaùn 5: Cho x,y,z laø ba soá thöïc thay ñoåi . Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc : .
Giải : Theo bất đẳng thức Cauchy : 
Vậy : MaxP = khi x = 1 , y = - 1 
MinP =- khi x = -1 , y = 1 .
Baøi toaùn 6: Cho x,y,z laø ba soá thực thay ñoåi thoûa: . Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc : . 
Giải : Theo bất đẳng thức Cauchy : 
Đặt :
Từ (1) và (2) suy ra :
Baøi toaùn 7: Cho x,y, z laø ba soá thöïc döông thay ñoåi thoả xyz = 1.
Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc :
Giải : Theo bất đẳng thức Cauchy : 
Baøi toaùn 8: Cho x,y, z thuộc đoạn [-2 ; 4] và x > y > z .Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc : 
Giải : Theo bất đẳng thức Cauchy : 
Baøi toaùn 9: Cho x,y, z laø ba soá thöïc khoâng aâm thay ñoåi .Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc : 
Giải : Theo bất đẳng thức Cauchy : 
Ñaët :
Vì (2) ñuùng vôùi moïi t khoâng aâm neân (1) ñuùng . 
Vaäy : 
Baøi toaùn 10: Cho x,y,z laø ba soá thöïc döông thay ñoåi vaø x+y+z =3.Tìm giaù 
trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc : 
Giải : Theo bất đẳng thức Cauchy : 
Baøi toaùn 11: Cho x,y laø hai soá thöïc döông thay ñoåi vaø .Tìm giaù 
trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc : 
Döï ñoaùn : MinP=2 khi x = y = 1.
Giaûi : Ta chöùng minh : 
Töø giaû thieát :
Do ñoù : 
Theo bất đẳng thức Cauchy : 
Suy ra : (2) đúng (1) đúng .
Vậy : 
Baøi toaùn 12: Cho x,y laø hai soá thöïc döông thay ñoåi vaø .Tìm giaù 
trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc : .
Giải : Theo bất đẳng thức Cauchy : 
Baøi toaùn 13: Cho x,y,z laø ba soá thöïc döông thay ñoåi vaø x+y+z = 3xyz .Tìm giaù trò nhỏ nhaát cuûa bieåu thöùc : . 
Giải : Đặt :
Baøi toaùn 14: Cho x,y laø hai soá thöïc thay ñoåi vaø .Tìm giaù 
giaù trò nhỏ nhaát cuûa bieåu thöùc : . 
Giải : Đặt :
Suy ra :
Baøi toaùn 15: Cho x,y laø hai soá thöïc döông thay ñoåi vaø .Tìm giaù 
trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc : .
Giải : dự đoán MaxP đạt được khi x = y = 1.Khi đó MaxP = 1
Theo bất đẳng thức Cauchy : 
Vì (2) ñuùng neân (1) ñuùng.
Baøi toaùn 16: Cho x,y,z laø ba soá thöïc döông thay ñoåi vaø xy+yz+zx =3.Tìm giaù 
trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc : 
Giải : Theo bất đẳng thức Cauchy : 
Caùch 2 : Theo bất đẳng thức Cauchy : 
Baøi toaùn 17 : Cho x,y,z laø ba soá thöïc dương thay ñoåi vaø x+y+z = 1.Tìm 
giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc : .
Giaûi : Theo bất đẳng thức Cauchy : 
Baøi toaùn 18 : Cho x,y,z laø ba soá thöïc dương thay ñoåi .Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc : 
.
Giaûi : Theo bất đẳng thức Cauchy : 
Baøi toaùn 19 : Cho x,y,z laø ba soá thöïc dương thay ñoåi vaø x+y+z = 3.Tìm 
giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc : .
Giaûi : Theo bất đẳng thức Cauchy : 
BT20: Tìm GTLN cuûa haøm soá:
Giaûi:
 ÑK :x
Daáu “=” xaûy ra khi 
Baøi toaùn 21 : Cho x, y là các số thực thay đổi thoả mãn: 2x(1- x) ≥ y(y - 1). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x – y + 3xy.
Giải Ta có: 2x(1 - x) ≥ y(y - 1)
 ( Bất đẳng thức Cô si – Svac )
 Đặt t = 2x + y thì (1) thành t2 – 3t ≤ 0 
 0 ≤ t ≤ 3
 Khi đó : 
 (Hằng đẳng thức )
 Vậy P ≤ 3 
 Dấu “ = ” xảy ra khi 
 x = y = 1
 Vậy MaxP = 3 khi x = y = 1 
Baøi toaùn 22:Cho a,b,c dương .CMR : 
.
Giải : Do vai trò a,b,c như nhau nên ta giả sử : .
Ta chứng minh :
( 2) đúng ( 1) đúng .
Do đó : 
Theo bất đẳng thức Cô – si (4 ) đúng (3 ) đúng (đpcm)
Baøi toaùn 23: Cho x,y,laø 2 soá thöïc döông thay ñoåi vaø .Tìm giaù 
trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc : 
Giải : Do vai trò x,y như nhau nên ta dự đoán : MinP=2 khi x=y = 1 .
Ta CM :
Mà : 
Theo bất đẳng thức Cô – si :
(3) đúng (1) đúng 
 MinP = 2 khi x = y = 1
Baøi toaùn 24: Cho .Tìm giaù trò nhỏ nhaát cuûa hàm số : 
Giải :
Đặt :
Baøi toaùn 25:Cho x,y,z là 3số thực không âm đôi một khác nhau.Tìm giaù trò nhỏ nhaát cuûa bieåu thöùc : 
.
Giải : Do vai trò x,y,z như nhau nên ta giả sử : . Đặt :
Dấu” = “ xảy ra khi và chỉ khi : 
2/ Sử dụng hàm số :
Baøi toaùn 1 : Cho x,y,z laø ba soá thöïc khoâng aâm thay ñoåi vaø x+y+z = 1.Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc : .
Giải : Do vai trò x,y,z như nhau nên ta giả sử :
Xét hàm số : 
Baøi toaùn 2 : Cho x,y,z laø ba soá thöïc thay ñoåi thoûa : Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc : . 
Giải : Vai trò x,y,z như nhau nên ta giả sử : 
Ta có : 
Đặt t = yz , t thuộc đoạn [-3 ; 3 ] .Khi đó : 
Xét hàm số :
Baøi toaùn 3 : Cho x,y,z laø hai soá thöïc thay ñoåi thoûa :.
Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc : . 
Giải : Từ (1), (2) : 
Baøi toaùn 4 : Cho x,y laø hai soá thöïc thay ñoåi thoûa :.
Tìm giaù trò nhỏ nhaát cuûa bieåu thöùc : . 
Giải : Ta có :
Lập bảng biến thiên ta được : 
Baøi toaùn 5 : Cho x,y,z laø ba soá thöïc thay ñoåi thoûa:.
Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc : . 
Giải :Ta có:
Xeùt haøm số :
Baøi toaùn 6 : Cho x,y laø hai soá thöïc thay ñoåi thoûa :
Tìm giaù trò nhỏ nhaát cuûa bieåu thöùc : . 
Giải : Đặt : 
Baøi toaùn 7 : Cho x,y,z laø ba soá thöïc dương thay ñoåi vaø x+y+z = 3.Tìm 
giaù trò nhỏ nhaát cuûa bieåu thöùc : 
Giải :
Xét hàm số : 
Lập bảng biến thiên ta được : 
Baøi toaùn8 : Cho x,y,z laø ba soá thöïc dương thay ñoåi thoûa:.
Tìm giaù trò nhỏ nhaát cuûa bieåu thöùc : . 
Giải : Đặt : 
f(t) nghịch biến trên .
Baøi 9 : Cho x,y,z laø ba soá khoâng aâm thay ñoåi thoûa . Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc : .
Giải : 
Bài tập tham khảo
Baøi 1 : Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá:
Baøi 2 :Cho x, y >0 vaø x+y=1.Tìm GTNN cuûa P=
Baøi 3 :Cho x,y döông vaø x+y. Tìm Min P bieát : .
Baøi 4 : Cho x,y laø hai soá thöïc thay ñoåi thoûa . Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc : .
Baøi 5 : Cho x,y laø hai soá thöïc thay ñoåi thoûa . Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc : .
Baøi 6 : Cho x,y,z laø ba soá thöïc thay ñoåi thoûa . Tìm giaù trò giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc : .
Baøi 7 : Cho x,y,z laø ba soá khoâng aâm thay ñoåi thoûa . Tìm giaù trò nhỏ nhaát cuûa bieåu thöùc : (Đs : MinP = )
Baøi 8 :. Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá : .
Baøi 9 : Cho x,y,z laø ba soá thöïc döông thay ñoåi thoûa . Tìm giaù trò giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc : .
Baøi 10 : Cho x,y,z laøñoä daøi ba caïnh cuûa moät tam giaùc . Tìm ø giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc : .
Baøi 11 : Cho x,y laø hai soá döông thay ñoåi thoûa . Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc : .
Baøi 12 : Cho x,y,z thuoäc [ 0 ; 2 ] vaø x,y,z khaùc nhau ñoâi moät . Tìm ø giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc :. .
Baøi 13 :. Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá : .
Baøi 14 : Cho x,y laø hai soá thay ñoåi thoûa . Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc : .
Baøi 15 : Chứng minh rằng : .
Baøi 16 : Chứng minh rằng : .
Taøi liệu tham khảo
1/ Phân loại và phương pháp giải bất đẳng thức –Vasile Cirtoaje ( Nhà xuất bản đại học quốc gia Hà nội ) .
2/ Các bài thi học sinh giỏi quốc gia ( Nhà xuất bản giáo dục – 2007 ).
3/ Tuyển tập 10 năm đề thi Olimpic 30 tháng 4 – Môn toán 10
( Nhà xuất bản giáo dục – 2006 ).
4/ Tuyển tập 10 năm đề thi Olimpic 30 tháng 4 – Môn toán 11
( Nhà xuất bản giáo dục – 2006 ).
5/ Khám phá bất đẳng thức – Phạm Văn Thuận – Lê Vĩ ( Nhà xuất bản đại học quốc gia Hà nội ) .