Chuyên đề Giá trị cực trị của hàm số - Bùi Anh Tuấn

Chuyên đề
Giá trị cực trị của hàm số
Biên so
n: Thy Bùi Anh Tun
Cng tác viên truongtructuyen.vn 
Nội dung

 Tóm tắt lý thuyết 

 Ví dụ minh hoạ

 Bài tập tự giải 
Tóm tắt lý thuyết

 Cho hàm số y = f(x), nếu x0 là điểm cực trị của hàm số thì f(x0) gọi là giá
trị cực trị của hàm số và M(x0; f(x0)) gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số.

 Đối với hàm bậc ba: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d có 2 điểm cực trị x1; x2. Để
tính giá trị cực trị của hàm số ta có thể thực hiện theo cách sau:
• Thực hiện phép chia đa thức f(x) cho f’(x)
• f(x) = f’(x) (mx + n) + Ax + B (trong đó mx + n là thương của phép 
chia và Ax + B là số dư của phép chia)
• Vì f’(x1) = f’(x2) = 0 nên
- f(x1) = Ax1 + B
- f(x2) = Ax2 + B
Giá trị cực trị của hàm số

 Đối với hàm hữu tỉ . Nếu hàm số đạt cực trị tại x = x0 với v’(x0) ≠ 0 
thì

 Vậy giá trị cực trị của hàm số là
u(x)y
v(x)=
0 0
0 0 0 0 0
0 0
u(x ) u'(x )y'(x ) = 0 u'(x )v(x ) - u(x )v'(x ) = 0
v(x ) v '(x )⇔ ⇔ =
0 0
0
0 0
u(x ) u'(x )y(x )
v(x ) v '(x )= =
Giá trị cực trị của hàm số
Ví dụ minh hoạ - Ví dụ 1
Cho hàm số . Chứng minh rằng đồ thị hàm số
luôn có 2 điểm cực trị và khoảng cách 2 điểm cực trị không đổi. 
Lời giải
2 2x (2m 1)x m m 4y
2(x m)
+ + + + +
=
+
12
2
2
1 2
1 2
1 2
x 2 m m1 2Ta có y ' 0 (x m) 4 0
2 x 2 m m(x m)
Hàm s có 2 i m c c tr x = 2 - m và x = - 2 - m
2x 2m 1 2x 2m 15 3y(x ) ;y(x )
2 2 2 2
V y th hàm s luôn có 2 i m c c tr
5M 2 m; ;
2
= − ≠ −
= − = ⇔ + − = ⇔ 
= − − ≠ −+ 
+ + + +
⇒ = = = = −
 
− 
 
è ® Ó ù Þ
Ë ®å Þ è ® Ó ù Þ
[ ]
2
2
3N 2 m; và
2
5 3MN (2 m) ( 2 m) 4 2 kh ng i
2 2
 
− − − 
 
  
= − − − − + − − =  
  
« ®æ
Giá trị cực trị của hàm số
Ví dụ minh hoạ (tt) - Ví dụ 2
Cho hàm số . Giá trị nào của m để đồ thị hàm số có điểm 
cực đại, cực tiểu nằm trên đường thẳng vuông góc với đường thẳng ∆: 
x + 2y – 3 = 0. 
Lời giải
Để hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ f(x) = mx2 – 2x + m = 0 (*) có 2 nghiệm 
phân biệt khác 
2x mx 2y
mx 1
+ −
=
−
2
2
mx 2x mTa có: y ' (mx 1)
− +
=
−
' 2
m 0 m 0 m 0
1 0 1 m 0 1 m 1
m
1 m 11
m 0f 0
mm
 
 ≠ ≠ ≠  
⇔ ∆ > ⇔ − > ⇔ − < <  
   ≠ ±    − ≠≠    
Giá trị cực trị của hàm số
Ví dụ minh hoạ - Ví dụ 2 (tt)
Gọi (x1; y1) ; (x2; y2) là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số nên:
Tọa độ hai điểm cực trị (x1; y1) ; (x2; y2) thỏa mãn phương trình:
Nên phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị là
{ }m ( 1;1) \ 0⇔ ∈ −
1
1 1 1
2
2 2 2
2x 2m 2y y(x ) x 2
m m
2x 2m 2y y(x ) x 2
m m
+
= = = +
+
= = = +
2y x 2
m
= +
Giá trị cực trị của hàm số
2y x 2
m
= +
Ví dụ minh hoạ - Ví dụ 2 (tt)
Để đường thẳng qua 2 điểm cực trị vuông góc với 
(không thỏa mãn)
Vậy không tồn tại m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm trên 
đường thẳng vuông góc với
Chú ý: Cho 2 đường thẳng d1: y = a1x + b1
d2: y = a2x + b2
d1 vuông góc với d2⇔ a1.a2 = -1
d1 song song với d2⇔ a1 = a2 và b1 ≠ b2
2y x 2
m
= +
2 1thì . 1 m 1
m 2
 
− = − ⇔ = 
 
Giá trị cực trị của hàm số
1 3
: y x
2 2
∆ = − +
Ví dụ minh hoạ (tt) - Ví dụ 3
Cho hàm số y = x3 – 3x2 + m2x + m. Xác định m để đồ thị hàm số có điểm 
cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng ∆: x – 2y – 5 = 0
Lời giải
Ta có y’ = 3x2 – 6x + m2 = 0
Hàm số có cực đại, cực tiểu
Gọi (x1; y1) ; (x2; y2) là 2 điểm cực trị⇒ y’ (x1) = y’ (x2) = 0 và theo Vi-ét ta có
Lấy y chia cho y’ ta được
2
' 0 9 - 3m >0 3 m 3⇔ ∆ > ⇔ ⇔ − < <
1 2
2
1 2
x x 2
m
x .x
3
+ =


=
 2
2
2
2
1 1 1
2
2
2 2 2
1 2m 1y (x 1)y ' 2 x m m
3 3 3
2m 1y y(x ) 2 x m m
3 3
2m 1y y(x ) 2 x m m
3 3
 
= − + − + + 
 
 
⇒ = = − + + 
 
 
⇒ = = − + + 
 
Giá trị cực trị của hàm số
Ví dụ minh hoạ - Ví dụ 3 (tt)
Vì tọa độ (x1; y1) ; (x2; y2) luôn thỏa mãn phương trình 
Nên phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị là 
Để 2 điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng ∆ thì d vuông góc với ∆
và khoảng cách từ (x1; y1) ; (x2; y2) đến ∆ là bằng nhau 
2
22m 1y 2 x m m
3 3
 
= − + + 
 
2
22m 1d : y 2 x m m
3 3
 
= − + + 
 
Giá trị cực trị của hàm số
2
1 2 1 21 1 2 2
2 2 2 2
2m 12 . 1
3 2 m 0 (1)
2(y y ) (x x ) 10 0 (2)x 2y 5 x 2y 5
1 ( 2) 1 ( 2)
 
− = − 
= 
⇔ ⇔ 
+ − + + =− − − − 
=
 + − + −
Ví dụ minh hoạ - Ví dụ 3 (tt)
2
2
1 2 1 2
2
2
2m 2Gi i (2) 2 2 (x x ) m 2m (x x ) 10 0
3 3
2m 22 2 2 m 2m 2 10 0
3 3
4m(m 1) 0 m 0 ho c m 1
  
⇒ − + + + − + + =  
  
  
⇔ − + + − + =  
  
⇔ + = ⇔ = = −
¶
Æ
Vậy m = 0 thì đồ thị hàm số có điểm cực đại cực tiểu đối xứng nhau qua 
đường thẳng ∆: x – 2y – 5 = 0
Chú ý: Cho điểm M(x0, y0) và đường thẳng ∆: Ax + By + C = 0
Giá trị cực trị của hàm số
0 0
2 2
| Ax + By + C| d(M; ) = 
A B
∆
+
Ví dụ minh hoạ (tt) - Ví dụ 4 
Cho hàm số y = mx3 – 3mx2 + 3x – 1. Xác định m để đồ thị hàm số có 2 
điểm cực trị nằm về 2 phía của Ox 
Lời giải
Ta có y’ = 3mx2 – 6mx + 3. Để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị thì y’ = 0 có
hai nghiệm phân biệt ⇔ g(x) = mx2 – 2mx + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt
Lấy y chia cho g(x) ta được: y = (x - 1).g(x) + (2 - 2m)x
Gọi (x1; y1) ; (x2; y2) là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số
' 2
m 0 m 0 m 0 (1)
m 10 m m 0
≠ ≠  <
⇔ ⇔ ⇔   >∆ > − >  
( ) ( )
( ) ( )
1 2
1 1 1
1 2
1 2 2 2 2
x x 2 y y x 2 2m x
g(x ) g(x ) 0 và ta có 1
x x y y x 2 2m x
m
+ =  = = − 
⇒ = = ⇒ 
= = = − 
Giá trị cực trị của hàm số
Ví dụ minh hoạ - Ví dụ 4 (tt) 
Để hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía của Ox
Từ (1) và (2) ⇒ m < 0 thì đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía của 
Ox.
2
1 2 1 2
(2 2m)y .y 0 (2 2m)x x 0 0
m
m 1
m 0 (2)
m 0
−
⇔ < ⇔ − < ⇔ <
≠
⇔ ⇔ <
<
Giá trị cực trị của hàm số
Ví dụ minh hoạ (tt) - Ví dụ 5
Cho hàm số y = x4 – 2mx2 + m. Xác định m để đồ thị hàm số có ba điểm cực 
trị lập thành tam giác đều.
Lời giải 
Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì m > 0 (1) 
3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là
∆ABC đều ⇔ AB2 = AC2 = BC2
3
2
Ta có y ' 4x 4mx 0
x 0x 0
x m x m(m 0)
= − =
== 
⇔ ⇔ 
= = ± > 
2 2A(0; m); B( m; m m ); C( m;m m )− − −
Giá trị cực trị của hàm số
Ví dụ minh hoạ - Ví dụ 5 (tt)
Từ (1) và (2) thì đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành tam 
giác đều. 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 22 22 2
2 22 22 2 2
4 4
3
4
m 0 m m m m 0 m m m
m 0 m m m m ( m) m m (m m )
m m m m
m 0 ho c m 3 (2)
m m 4m
    
− + − − = − − + − −    
⇔ 
    
− + − − = − − + − − −   
 + = +
⇔ ⇔ = =
+ =
Æ
3m 3⇒ =
Giá trị cực trị của hàm số
Bài tập tự giải
Bài 1: (HVQHQT Khối D – 2001) cho hàm số
Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn có cực đại, cực tiểu. Hãy xác định 
m sao cho khoảng cách giữa 2 điểm cực đại, cực tiểu là nhỏ nhất. 
Bài 2: Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 4m. Xác định m để các điểm cực đại, 
cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.
Bài 3: (HVQHQT – 97) Xác định m để đồ thị hàm số
y = x4 – 2mx2 – x + 2m + m4 có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác đều. 
3 21y x mx x m 1
3
= − − + +
Giá trị cực trị của hàm số
Bài tập tự giải (tt)
Bài 4: Chứng minh rằng nếu hàm số đạt cực đại tại x1
và đạt cực tiểu tại x2 thì: |y(x1) – y(x2)| = 4|x1 – x2|
Bài 5: (ĐHQG Khối A – 99) cho hàm số
a) Xác định m để hàm số có cực trị
b) Tìm m để tích các giá trị cực đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất 
Bài 6: (ĐHSP I Khối A –2000) Cho hàm số
Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu và khoảng cách từ 2 điểm đó 
đến đường thẳng x + y + 2 = 0 bằng nhau. 
22x 3x m 2y
x 2
+ + −
=
+
2 2x (m 1)x m 4m 2y
x 1
− + − + −
=
−
2x 2mx 2y
x 1
+ +
=
+
Giá trị cực trị của hàm số
Bài tập tự giải (tt)
Bài 7: Cho hàm số
Xác định m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và cực tiểu thỏa mãn 
|yCĐ - yCT| = 4
Bài 8: Cho hàm số
Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu nằm về 2 phía đối với trục Ox. 
2x 3x my
x 4
− + +
=
−
2 2 3mx (m 1)x 4m my
x m
+ + + +
=
+
Giá trị cực trị của hàm số