Chuyên đề Cực trị của hàm số - Nguyễn Phú Khánh

 R
 
= − + + = + + = + + ≥ > = ⇒ 
 
 ñiểm B 
nằm ngoài ( )aC , do ñó ñiểm A nằm trong ñường tròn 
( ) ( )22 2 31 2 2 1 5 8 3 0 1
5a
C IA a a a a a⇔ < ⇔ + − < ⇔ − + < ⇔ < < 
 2. Hàm số ñã cho xác ñịnh trên { }\ 0D = ℝ và có ñạo hàm 
( )2 2
2 2
2 5 3
' , 0
g xx m m
y x
x x
− + −
= = ≠ Với ( ) 2 22 5 3g x x m m= − + − Hàm số ñạt cực tiểu tại 
( ) ( )0;2 0x m g x∈ ⇔ = có hai nghiệm phân biệt ( )1 2 1 2,x x x x< thoả 
( )
( )
2
1 2
2
0
10 0 1 1
20 2 1. 0 0 2 5 3 0 3 3
2 5 3 01. 2 0 2 2
3
1
2
m
m m m m
x x m g m m
m mm mg m
m
m



>
  > >     >+ − >>     
 < −

 >

Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79  
-53- 
Vậy giá trị m cần tìm là 
1 3
1
2 2
m m . 
3. Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ và có ñạo hàm 2 2' 3 6y x x m= − + . 
Hàm số có cực ñại , cực tiểu khi phương trình ' 0y = có hai nghiệm phân biệt 
1 2
,x x 
2' 9 3 0m⇔ ∆ = − > 3 3m⇔ − < < .Vi-ét, ta có 
2
1 2 1 2
2 , .
3
m
x x x x+ = = . 
Gọi ( ) ( )1 1 2 2; , ;A x y B x y là các ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số và I là trung ñiểm của ñoạn AB . 
ðường thẳng AB có hệ số góc 
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 2 2 2
22 1 2 1 2 1 22 1
1 2 1 2 1 2
2 1 2 1
3
3
AB
x x x x m x xy y
k x x x x x x m
x x x x
− − − + −−
= = = + − − + +
− −
2 2
2 2 64 6
3 3AB
m m
k m
−
= − − + = 
ðường thẳng ( )1 5
2 2
y x= − ∆ có hệ số góc 
1
2
k = 
 Hai ñiểm ( ) ( )1 1 2 2; , ;A x y B x y ñối xứng nhau qua ñường thẳng ( )∆ khi và chỉ khi 
AB
I
 ⊥ ∆
 ∈ ∆
21 2 6
. 1 . 1 0
2 3AB
m
AB k k m
 −
• ⊥ ∆ ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = 
 
( )
( ) ( )
1 12
2 2
0 0 0;0
0 ' 3 6 ' 0 1; 2
2 4 2; 4
x y A
m y x x y I
x y B
 = ⇒ = ⇒
• = ⇒ = − = ⇔ ⇒ −
= ⇒ = − ⇒ −
Dễ thấy ( )1; 2I − ∈ ∆ 
Vậy 0m = thoả mãn yêu cầu bài toán . 
4. Hàm số ñã cho xác ñịnh trên { }\ 1D = ℝ . 
Ta có 
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 3 3
' , 1 2 3 3
1 1
g xx x m m
y x g x x x m m
x x
− + − +
= = ≠ = − + − +
− −
Hàm số có cực ñại , cực tiểu khi phương trình ( ) 0, 1g x x= ≠ có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x khác 1 . 
( )
2
2
' 0 3 2 0
1 2
1 0 3 2 0
m m
m
g m m
∆ > − + − > 
⇔ ⇔ ⇔ < < ≠ − + ≠  
Gọi ( ) ( )1 1 2 2; , ;A x y B x y là các ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số thì 1 2,x x là nghiệm của phương trình 
( ) 0, 1g x x= ≠ . 
Khi ñó 
2 2
1 1
2 2
2 2
1 3 2 1 2 3 2
' 0
1 3 2 1 2 3 2
x m m y m m m
y
x m m y m m m
 = − − + − ⇒ = − + − + −
= ⇔
 = + − + − ⇒ = − − − + −
( ) ( ) ( ) ( )22 2 21 2. 1 2 3 2 1 2 3 2 1 4 3 2y y m m m m m m m m m= − + − + − − − − + − = − − − + − 
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79  
-54- 
2
2
1 2 1 2
7 4 4 4 7
. 5 14 9 5 min .
5 5 5 5 5
y y m m m y y khi m
 
= − + = − − ≥ − ⇒ = − = 
 
So với ñiều kiện , vậy 
7
5
m = là giá trị cần tìm . 
5. Hàm số ñã cho xác ñịnh trên { }\ 1D = −ℝ . 
Ta có : 
( )
( )
( )
( )
2
2
2 2
2 2
' , 1 2 2
1 1
g xx x m
y x g x x x m
x x
+ −
= = ≠ − = + −
+ +
Hàm số có cực ñại , cực tiểu khi phương trình ( ) 0, 1g x x= ≠ − có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x khác 
( )
' 0 2 1 0 1
1
2 1 01 0 2
m
m
mg
 ∆ > + > 
− ⇔ ⇔ ⇔ > − − − ≠− ≠  
Gọi ( ) ( )1 1 1 2 2 2; 2 2 , ; 2 2A x y x m B x y x m= + + = + + là các ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số thì 1 2,x x là 
nghiệm của phương trình ( ) 0, 1g x x= ≠ − 
Theo ñịnh lý Vi- ét 
1 2 1 2
2, . 2x x x x m+ = − = − 
Theo bài toán : 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2 4 4 2 2 2CTy y y y x m x m x x m x x m+ = + = + + + + + = + + + + + +CÑ 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 21 2 1 2 1 2 1 24 2 4 2 2 2 4 4 4 8 2 2 2y y x x x x m x x m m m m + = + − + + + + + = + − + + +  
2 2 2
1 2
2 16 8y y m m+ = + + 
Xét ( ) ( )2 1 12 16 8, ' 4 16 0,
2 2
f m m m m f m m m= + + > − = + > ∀ > − 
Do ñó hàm số ( )f m ñồng biến trên khoảng 1 ;
2
m
 
∈ − +∞ 
 
 và ( ) 1 1 1, ;
2 2 2
f m f m
   
> − = ∈ − +∞   
   
Vậy 2 2
1 1
, ;
2 2CT
y y m
 
+ > ∈ − +∞ 
 
CÑ 
Ví dụ 7: 
1. Với giá trị nào của m thì ñồ thị của hàm số ( ) ( )3 21 11 3 2
3 3
y mx m x m x= − − + − + có cực ñại , 
cực tiểu ñồng thời hoành ñộ cực ñại cực tiểu 
1 2
,x x thỏa 
1 2
2 1x x+ = 
2. Với giá trị nào của m thì ñồ thị của hàm số 
( )2 2 31 4mx m x m m
y
x m
+ + + +
=
+
 tương ứng có một 
ñiểm cực trị thuộc góc phần tư thứ ( )II và một ñiểm cực trị thuộc góc phần tư thứ ( )IV của mặt 
phẳng tọa ñộ . 
Giải : 
1. Hàm số cho xác ñịnh trên ℝ . 
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79  
-55- 
Ta có ( ) ( )2' 2 1 3 2y mx m x m= − − + − 
Hàm số có cực ñại , cực tiểu khi 'y ñổi dấu hai lần qua nghiệm x , tức là phương trình 
( ) ( )2 2 1 3 2 0mx m x m− − + − = có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x 
( ) ( )2 2
00 0
2 6 2 62 4 1 0' 1 3 2 0
2 2
mm m
m mm m m m
 ≠ ≠  ≠  
⇔ ⇔   − +− + + >∆ = − − − > < <  
Theo ñịnh lý Vi – ét và yêu cầu bài toán, ta có: 
( )
( )
( ) ( )
( )
1 2 1
2
1 2 2
1 2
3 4
2 1
22 1 2
3 8 4 0 0 3
2
3 2 3 23 4 2
.
m
x x gt x
m
m m m
x x x m m m
m m m
m mm m
x x
m m m m
 −+ = =
  −  − = + = ⇔ = ⇔ − + = ≠ ⇔    =− −     − −
= =        
So với ñiều kiện bài toán , vậy 
2
2
3
m m= ∨ = là giá trị cần tìm . 
2. Hàm số ñã cho xác ñịnh trên { }\D m= −ℝ và ( )
34
1 0
m
y mx m
x m
= + + ≠
+
Ta có :
( )
2 2 3
2
2 3
' ,
mx m x m
y x m
x m
+ −
= ≠ −
+
Gọi ( ) ( )1 1 2 2; , ;A x y B x y là các ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số thì ( )1 2 1 2,x x x x< là nghiệm của phương 
trình ( ) 2 2 32 3 0,g x mx m x m x m= + − = ≠ − 
ðồ thị của hàm số có một ñiểm cực trị thuộc góc phần tư thứ ( )II và một ñiểm cực trị thuộc góc phần tư 
thứ ( )IV của mặt phẳng tọa ñộ khi 
( )
( )
( )
1 2
2 1
0 1
0 2
x x
A
y y
B
• < <
  
⇔ ⇔ • < < 
  •
thuoäc goùc phaàn tö thö ù (II)
thuoäc goùc phaàn tö thö ù (IV)
He äsoá goùc cuûa tieäm caän xieân nhoû hôn 0 3
( ) ( ) ( )41 . 0 0 3 0 0m g m m a⇔ < ⇔ − < ⇔ ≠ 
( )2 ⇔ðồ thị của hàm số không cắt trục ( ) ( )2 2 31 4 0Ox mx m x m m x m⇔ + + + + = ≠ − vô 
nghiệm 
( ) ( ) ( )2 4 2 22 3
1
00 0 5
1 115 2 1 01 4 4 0
5
5
mmm m
b
m m mm m m m m

∆ = + − +   

( ) ( )3 0m c⇔ < 
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79  
-56- 
Từ ( ) ( ) ( )a b c suy ra 1
5
m < − là giá trị cần tìm. 
Ví dụ 8: 
Cho hàm số ( ) ( ) ( )3 21 2 1f x x m x m x= + − − + − , có ñồ thị là ( ),mC m là tham số. 
1. Chứng minh rằng hàm số luôn có một cực ñại , một cực tiểu . 
2. Khi 1m = , ñồ thị hàm số là ( )C 
).a Viết phương trình ñường thẳng ( )d vuông góc với ñường thẳng 
3
x
y = và tiếp xúc với ñồ thị ( )C . 
).b Viết phương trình ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị của ( )C . 
Giải : 
Hàm số cho xác ñịnh trên ℝ . 
1. Ta có ( ) ( ) ( )2' 3 2 1 2 .f x x m x m= + − − + 
Vì 2' 7 0,m m m∆ = + + > ∀ ∈ ℝ nên phương trình ( )' 0f x = luôn có hai nghiệm phân biệt . Do ñó ñồ 
thị của hàm số luôn có một cực ñại , một cực tiểu với mọi giá trị của tham số m . 
2. ( ) ( ) 31 : 3 1m C f x x x= ⇒ = − − 
).a Gọi ( )0 0;M x y là toạ ñộ tiếp ñiểm của ñường thẳng ( )d và ñồ thị ( )C 
3 2
0 0 0 0 0
3 1, ' 3 3y x x y x⇒ = − − = − . ðường thẳng ( )d vuông góc với ñường thẳng 
3
x
y = khi 
2 2
0 0 0 0 0
1
' 1 3 3 3 0 0, 1
3
y x x x y
 
= − ⇔ − = − ⇔ = ⇔ = = − 
 
Vậy ñường thẳng ( ) : 3 1d y x= − − và tiếp xúc với ñồ thị ( )C tại ñiểm ( )0; 1− . 
).b ðồ thị ( )C có ñiểm cực ñại là ( )1;1A − , ñiểm cực tiểu là ( )1; 3B − . Do ñó ñường thẳng qua AB là : 
2 1y x= − − . 
Ví dụ 9: 
1. Xác ñịnh giá trị tham số m ñể hàm số ( ) ( ) ( )3 2 22 1 3 2 4f x x m x m m x= − + + − + + có hai 
ñiểm cực ñại và cực tiểu nằm về hai phía trục tung . 
2. Xác ñịnh giá trị tham số m ñể hàm số ( ) ( )
2 1 3 2
1
x m x m
f x
x
− + + +
=
−
 có hai ñiểm cực ñại và 
cực tiểu cùng dấu . 
3. Cho hàm số ( ) ( ) ( )3 2 2 23 1 3 7 1 1y f x x m x m m x m= = − + + − + − + − .ðịnh m ñể hàm số ñạt 
cực tiểu tại một ñiểm có hoành ñộ nhỏ hơn 1. 
4. Tìm giá trị của m ñể ñồ thị hàm số ( )
2 2 2
1
x mx
f x
x
+ +
=
+
có ñiểm cực ñại, ñiểm cực tiểu và 
khoảng cách từ hai ñiểm ñó ñến ñường thẳng : 2 0x y∆ + + = bằng nhau. 
Giải : 
1. Hàm số cho xác ñịnh trên ℝ và có ñạo hàm ( ) ( )2 2' 3 2 2 1 3 2f x x m x m m= − + + − + 
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79  
-57- 
Hàm số có hai ñiểm cực ñại và cực tiểu nằm về hai phía trục tung khi và chỉ khi phương trình 
( )' 0f x = có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x thoả mãn ( )1 20 3. ' 0 0x x f< < ⇔ < 
2 3 2 0 1 2m m m⇔ − + < ⇔ < < 
Vậy giá trị cần tìm là 1 2m< < . 
2. Hàm số ñã cho xác ñịnh trên { }\ 1D = ℝ và có ñạo hàm ( )
( )
2
2
2 2 1
' , 1
1
x x m
f x x
x
− − −
= ≠
−
Hàm số có cực ñại và cực tiểu khi ( )' 0f x = có hai nghiệm phân biệt 1x ≠ hay phương trình 
( ) 2 2 2 1 0g x x x m= − − − = có hai nghiệm phân biệt 1x ≠ , khi ñó 
( ) ( )
' 0 2 2 0
1 1
2 2 01 0
m
m
mg
 ∆ > + > 
⇔ ⇔ > − − − ≠≠  
Gọi ( ) ( )1 1 2 2; , ;A x y B x y là các ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số thì 1 2,x x là nghiệm của ( ) 0g x = 
Khi ñó: 
1 1
2 2
2 2
1 2 2 1 2 2 1 2 2 2
2 2' 0
2 2
1 2 2 1 2 2 1 2 2 2
2 2
m
x m y m m m m
my
m
x m y m m m m
m
 +
= − + ⇒ = − + − + = − − +
− += ⇔
+ = + + ⇒ = + + − + = − + +
+
Hai giá trị cực trị cùng dấu khi 
( ) ( ) ( ) ( )21 2. 0 1 2 2 2 1 2 2 2 0 1 4 2 2 0y y m m m m m m> ⇔ − − + − + + > ⇔ − − + > 
( )2 10 7 0 5 4 2 5 4 2 2m m m m⇔ − − > ⇔ + 
Từ ( )1 và ( )2 suy ra 1 5 4 2 5 4 2m m− + 
Cách khác : Hàm số ñã cho xác ñịnh trên { }\ 1D = ℝ và có ñạo hàm ( )
( )
2
2
2 2 1
' , 1
1
x x m
f x x
x
− − −
= ≠
−
Hàm số có cực ñại và cực tiểu khi ( )' 0f x = có hai nghiệm phân biệt 1x ≠ hay phương trình 
( ) 2 2 2 1 0g x x x m= − − − =