Chuyên đề : Các phương pháp tính tích phân

ĐS: .
VD3:Tính tích phân:
.
Hướng dẫn:
Đặt 
ĐS: .
VD4. Tính tích phân .
Hướng dẫn:
Đặt ; đặt 
ĐS: .
Chú ý: 
Phân tích , rồi đặt sẽ tính nhanh hơn.
VD5:: Tính tích phaân : 
Giaûi:
Ñaët khi ñoù: 
Ñoåi caän: 	 
Ta coù: 
Khi ñoù: 
C.Bài tập: 
Tính các tích phân sau:
1) ;	 2) ;	 3);	 4).
5) ; 6) ; 7) 	; 8) .
9) ; 10) ; 11) ; 12).
13) ; 14) ; 15) . 
 16) ; 17) ; 18) ; 19) . 
20) ; 21) ; 22) ; 
23) ; 24) ; 25) .
2) DẠNG 2: 
A. Phương pháp: với giả thiết hàm số f(x) liên tục trên [a;b]
Cách thực hiện:
+) Đặt ( trong đó là hàm số được lựa chọn thích hợp: ảnh của nằm trong tập xác định của f và liên tục.)
+) Đổi cận : 
+) Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được
	 (tiếp tục tính tích phân mới)
Chú ý: 
 * Nếu f(x) có chứa: 
 +, thì đặt với t, hoặc với .
 +, thì đặt với , hoặc với .
 +, thì đặt hoặc .
 +, thì đặt 
 +, thì đặt x=a+(b-a)sin2t
B. Ví dụ
VD1 :Tính tích phân .
Giải
Đặt 
.
Vậy .
VD2: Tính tích phân .
 Hướng dẫn:
Đặt 
ĐS: .
VD3:Tính tích phân .
Hướng dẫn:
Đặt 
.
Vậy .
VD4:Tính tích phân .
Hướng dẫn:
.
Đặt 
ĐS: .
VD5: Tính tích phaân : 
Giaûi:
Ñaët x = sint, khi ñoù: dx = costdt .Ñoåi caän: 	vôùi 
Laïi coù: 
Khi ñoù: 
VD6: Tính tích phaân : 
Giaûi:
Ñaët 
Ñoåi caän: 	 
Khi ñoù: 
VD7: Tính tích phaân : 
Giaûi:
Ñaët 
Ñoåi caän: 	
 Laïi coù: 
Do ñoù: .
VD8: Tính tích phaân : 
Giaûi:
Ñaët x = sint, khi ñoù: dt = cosxdx
Ñoåi caän: 	 
Ta coù: 
Töø ñoù: 
Suy ra: 
Khi ñoù: 
C.Bài tập: 
Tính các tích phân sau:
1) 2) 3) 4) 	
5) 6) 7)) 8) 
9) 10) 11) 12) 
13) 14) . 
III. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN:
 A. Phương pháp:
* Kiến thức: 
 Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D vi phân của hàm số ký hiệu:
 dy = f '(x).dx hay d(f(x)) = f '(x).dx.
* Để tính được nhanh các em cần nhớ những công thức sau:
 +, .
 +, .
 +, ; .
 +, .
 +, .
B.Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:
1) ; 2) 3) ; 4).
C. Bài tập Tính các tích phân sau:
1) ; 2)dx; 3) dx ; 4); 5)dx .
6) dx ; 7); 8) dx ; 9) dx ; 10) . 
IV. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
A. Phương pháp:
Công thức tích phân từng phần: 
 Hay: 
Cách thực hiện:
+) Đặt 
+) Thay vào công thức tích phân từng từng phần : 
Chú ý: 
 +)Đặt(hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm và vi phân không quá phức tạp.
 +)Hơn nữa, tích phân phải tính được.
 +)Đặc biệt:
 i/ Nếu gặp với P(x) là đa thức thì đặt .
 ii/ Nếu gặp thì đặt .
 iii/ Nếu gặp , thì ta tính hai lần từng phần bằng cách đặt .
B. Ví dụ:
VD1:Tính tích phân .
Giải
Đặt (chọn )
.
VD2Tính tích phân .
Giải
Đặt 
.
VD3Tính tích phân .
Giải
Đặt 
.
Đặt 
.
VD4:Tính tích phaân: 
Giaûi:
Ñaët: 
Khi ñoù: 
VD5:Tính tích phaân: 	
Giaûi:
. Ñaët Þ 
	Þ I = 
	÷	I1 = , Ñaët Þ 
	°	Þ I1 = 
	= . 	Vaäy I = 
VD6:Tính tích phaân: 
Giaûi:
I =. Ñaët t = –x3 Þ dt = –3x2dx , 
	°	x = 0 Þ t = 0 , x = –1 Þ t = 1
	Þ	I = . 	Vôùi I1 = . 
	°	Ñaët Þ 
	Þ	I1 = . Vaäy I = 
 VD7:Tính tích phaân: 
Giaûi:
Ñaët: 
Khi ñoù: 	(1)
Xeùt tích phaân 
Ñaët: 
Khi ñoù: 	(2)
Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc: 
VD8:Tính tích phaân: 	
Giaûi:
	 . Ñaët t = Þ t2 = x Þ 2tdt = dx
	°	x = 1 Þ t = 1 , x = 0 Þ t = 0
	Þ	I = . Ñaët Þ 
	Þ	I1 = . Vôùi I2 = . 
	Ñaët Þ 
	Þ	I2 = . vôùi I3 = . 
	Ñaët Þ 
	Þ	I3 = 
	Vaäy I = 2I1 = 2(e – 3I2) = 2e – 6I2 = 2e – 6(e – 2I3) = 12I3 – 4e = 12 – 4e 
VD 9:Tính tích phaân: 
Giaûi:
Bieán ñoåi I veà daïng: 	(1)
·	Xeùt tích phaân: 	(2)
·	Xeùt tích phaân: 
	Ñaët: 
	Khi ñoù: 	(3)
·	Xeùt tích phaân: 
	Ñaët: 
	Khi ñoù: 	(4)
	Thay (4) vaøo (3), ta ñöôïc: 	(5)
	Thay (2), (5) vaøo (1), ta ñöôïc: 
	Þ	I1 = . Vaäy I = 2
C. Bài tập
 Tính tích phân
1) 2)	 3) 	 4) 	
5) 	 6) 7)) 8) 9)) 10) 
IV PHUƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT LIÊN TỤC VÀ TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ
A Phương pháp:
-Dạng 1:Nếu f(x) lẻ và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì : 
- Dạng 2:Nếu f(x) chẵn và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì : .
- Dạng 3:Nếu f(x) liên tục và chẵn trên R thì 
- Dạng 4: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và thoả mãn f(x) = f( a +b - x) thì 
B. Ví dụ
VD1: Tính tích phân
Giải: nhận xét hs thỏa:
* Liên tục trên [-1/2;1/2]
* f(x) +f(-x) =......= 0
Theo tc 1 ta được I=0 
VD2 :Tính tích phân
 I= 
VD3 
 Cho f (x) là hàm số liên tục trên R thoả mãn f (x) + f (- x) = .
 Tính tích phân 
VD4: 
Tính tích phân 
 a); .
VD5:
Tính các tích phân 
 a) 
 b) .
VD6:
Tính các tích phân sau: 
a) b) c) 
 PHẦN 2: PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN
I.TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC
1. Dạng bậc lẻ với hàm sin.
 Phương pháp chung: Đặt t = cosx khi đó dt = - sinx.dx, sau đó đưa tích phân ban đầu về tích phân theo biến t.
 Chú ý: 
Ví dụ 1 (bậc sin lẻ). Tính tích phân .
Giải
Đặt 
.
Vậy .
2. Dạng bậc lẻ với hàm cos.
 Phương pháp chung: Đặt t = sinx khi đó dt = cosx.dx, sau đó đưa tích phân ban đầu về tích phân theo biến t.
 Chú ý: 
Ví dụ 2 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân .
Giải
Đặt 
.
Vậy .
3. Dạng bậc chẵn với hàm sin và cos.
 Phương pháp chung: Sử dụng công thức hạ bậc 
 Chú ý: 
Ví dụ 3 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân .
Giải
.
Vậy .
Nhận xét: 
Ví dụ 4. Tính tích phân .
Giải
Đặt 
.
Vậy .
4. Dạng liên kết
Ví dụ 1. Tính tích phân .
Giải
Đặt 
.
Vậy .
Tổng quát: 
.
Ví dụ 2. Tính tích phân .
Giải
Đặt 
 (1).
Mặt khác (2). Từ (1) và (2) suy ra .
Tổng quát:
.
Ví dụ 3. Tính tích phân và .
Giải
+, 
 (1).
+, 
Đặt 
 (2).
Từ (1) và (2) .
Vậy .
Ví dụ 4. Tính tích phân .
Giải
Đặt 
.
Đặt 
.
Vậy .
Ví dụ 5. Tính tích phân .
Giải
Đặt 
.
Tổng quát: 
Với , , hàm số chẵn và liên tục trên đoạn thì
.
Ví dụ 6. Cho hàm số f(x) liên tục trên và thỏa .
Tính tích phân .
Giải
Đặt , 
.
Vậy .
Vậy .
Chú ý:
 Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần.
Ví dụ 7. Tính tích phân .
Giải
Đặt 
.
Vậy .
Caâu8:: Tính tích phaân : 
Giaûi:
Vieát laïi I veà döôùi daïng: 	(1)
Xeùt tích phaân 
Ñaët khi ñoù: 
Ñoåi caän: 	
Khi ñoù: (2)
Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc I = 0.	
Caâu9:: Tính tích phaân : 
Giaûi:
Ñaët 
Ñoåi caän: 	 
Khi ñoù: 
Do ñoù: 
Caâu10:: Tính tích phaân: 
Giaûi:
	.	(1)
	Xeùt tính chaát 
	Ñaët 
	Ñoåi caän: 	
	Khi ñoù: 
	 	(2)
	Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc I = 0.
Caâu11:: Tính tích phaân: 
Giaûi:
Bieán ñoåi I veà daïng: 	(1)
Xeùt tích phaân 
Ñaët x = –t Þ dx = –dt
Ñoåi caän: 	. Khi ñoù: 	(2)
Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc: 
Caâu12: Tính tích phaân: 
Giaûi:
Ñaët 
Ñoåi caän: 	
Khi ñoù: 
Do ñoù: 
Caâu13:: Tính tích phaân: 
Giaûi:
Bieán ñoåi I veà daïng: 
Ñaët 
Ñoåi caän: 	
Khi ñoù: 
Caâu14:: Tính tích phaân: 
Giaûi:
Ñaët 
Ñoåi caän: 	 Khi ñoù: 
Caâu15: Tính tích phaân: 
Giaûi:
Ñaët 
Ñoåi caän: 	
Khi ñoù: 
Caâu16:: Tính tích phaân: 
Giaûi:
Ñaët 
Ñoåi caän: 	 Khi ñoù: 
II. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Phương pháp giải toán
1. Dạng 1 tính tích phân 
+) lập bảng xét dấu f(x) : giả sử bxd f(x) là
 +) Tính .
Ví dụ 1. Tính tích phân .
Giải
Bảng xét dấu
.
Vậy .
Ví dụ 2. Tính tích phân .
Giải
.
Bảng xét dấu
.
Vậy .
2. Dạng 2
Giả sử cần tính tích phân , ta thực hiện
Cách 1.
Tách rồi sử dụng dạng 1 ở trên.
Cách 2.
Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).
Ví dụ 1. Tính tích phân .
Giải
Cách 1.
.
Cách 2.
Bảng xét dấu
x
 –1 0 1 2
x
 – 0 + +
x – 1
 – – 0 +
.
Vậy .
3. Dạng 3
Để tính các tích phân và , ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số trên đoạn [a; b].
Bước 2. 
+ Nếu thì và .
+ Nếu thì và .
Ví dụ 1. Tính tích phân .
Giải
Đặt .
Bảng xét dấu
x
0 1 3 4
h(x)
 + 0 – 0 +
.
Vậy .
Ví dụ 2. Tính tích phân .
Giải
Đặt .
Bảng xét dấu
x
0 1 2
h(x)
 – 0 +
.
Vậy .
III. TÍCH PHÂN CỦA MỘT SỐ DẠNG HÀM VÔ TỈ.
1.Tích phân dạng: (với a 0)
Cách làm: 
Biến đổi về một trong các dạng ,sau đó thực hiện phép đổi biến tương ứng ta sẽ đưa về việc tính tích phân của hàm hữu tỉ.
 a) Đặt t = a.tgu (hoặc a.cotgu) với u (hoặc u).
 b) Đặt t = a.Sinu(hoặc a.Cosu) với u (hoặc u.
 c) Đặt t = (hoặc t = ) với u -(hoặc u-)
Chú ý công thức:
	 = +C (C là hằng số tuỳ ý)
Chứng minh:
	Đặt t = x + = 
Từ đó ta có : Vậy : = (ĐPCM)
	Với hàm hợp: (*)Trong đó u = u(x).
Ví dụ 1:Tính I = 
	I = 
	Đặt x-1 = Sint . Khi x =1 t = 0
 x =t = 
	và :
vậy I = = 
Ví dụ 2:Tính J = 
	Thông thường với tích phân dạng (a) và (c) ta sử dụng công thức (*) thì lời giải sẽ dễ dàng và ngắn gọn hơn.
	áp dụng công thức (*) ta có: J = = 
	= = = .
Ví dụ 3: Tính K = = 
Cách 1: Áp dụng công thức (*) ta có:
	K = = = .
Cách 2: Đặt 2x - 1 = 
Chú ý:
Nếu mẫu thức có thể khai căn được thì ta có thể giải bài toán một cách đơn giản hơn như sau: 
Ví dụ 4:Tính M = 
 M = =
 = = -
2.Tích phân dạng: 	Với a.A 0
	Cách làm:
Tách tích phân đã cho thành hai tích phân có chung mẫu là,một tích phân có tử là đạo hàm của tam thức bậc hai,một tích phân có tử là hằng số.
	Tức là tách: = 
Ví dụ 1:Tính I = 
	Ta có: I = = =
 = 
Ví dụ 2:Tính J = 
	Ta có: J = = 
 =+
	 = = 
3.Tích phân dạng: (Với )
	Cách làm: Đặt chuyển tích phân cần tính về tích phân dạng (a).
Ví dụ 1:Tính I = 
	Đặt = Khi x = 0 t = 1
 x = 1 t = 
	Và dx = -.Ta có: I = = = 
Ví dụ 2:Tính J = 
	Đặt x-1 = x = 
 Khi x = 2 thì t=1
 x = 3 thì t = 
	 và dx = -
Tích phân cần tính là: I = = 
	= = = 
Ví dụ 3:Tính K = 
	Đặt t = ex dt = exdx.Khi : x = 0 t = 1
	x = ln2 t = 2
 Ta có: K =
	Đặt u = ta có: 
Vậy K = = = 
Ví dụ 4:Tính N = 
Ta có : N = = N = 
Đặt t = Sin x thì : N = Lại đặt u = thì N = = 
	= = 
4.Tích phân dạng: Với bậc f(x)2,f(x) là đa thức.
	Cách làm:Tách = g(x). +
	Với g(x) là đa thức , bậc g(x)+1 = bậc f(x).
Tìm các hệ số của g(x) và số bằng phương pháp hệ số bất định.
Ví dụ 1:Tính M = 
Tách : = +
Lấy đạo hàm hai vế ta có:
	 + + 
Đồng nhất hệ số ta có : 
Vậy M = +
	 = + 
Ví dụ 2:Tính N = 
	Ta có : = + (1)
	Lấy đạo hàm hai vế của (1) và quy đồng ta có:
	x3-x +1 = (2A.x+B)(x2+2x+2) +(Ax2+Bx+C)(x-1) +D
Đồng nhất hệ số ta có: 3A = 1	A=
	5A+2B =0	B= -
	4A+3B+C =-1	C=
	2B +C+D =1	D=
Vậy