Chuyên đề Bồi dưỡng toán 8_ gv: Phạm Thị Hồng Hạnh

ø soá leû khoâng chi heát cho 5 thì ba chöõ soá taän cuøng cuûa n100 laø 001
+ Neáu moät soá töï nhieân n khoâng chia heát cho 5 thì n100 chia cho 125 dö 1
HD C/m: n = 5k + 1; n = 5k + 2
+ Neáu n laø soá leû khoâng chia heát cho 5 thì n101 vaø n coù ba chöõ soá taän cuøng nhö nhau
c) Caùch 1: 54 = 625
Ta thaáy soá (...0625)n = ...0625
51994 = 54k + 2 = 25.(54)k = 25.(0625)k = 25.(...0625) = ...5625
Caùch 2: Tìm soá dö khi chia 51994 cho 10000 = 24. 54
Ta thaáy 54k – 1 chia heát cho 54 – 1 = (52 – 1)(52 + 1) chia heát cho 16
Ta coù: 51994 = 56. (51988 – 1) + 56
Do 56 chia heát cho 54, coøn 51988 – 1 chia heát cho 16 neân 56(51988 – 1) chia heát cho 10000
Ta coù 56 = 15625 
Vaäy boán chöõ soá taän cuøng cuûa 51994 laø 5625
Chuù yù: Neáu vieát 51994 = 52. (51992 – 1) + 52 
Ta coù: 51992 – 1 chia heát cho 16; nhöng 52 khoâng chia heát cho 54
Nhö vaäy trong baøi toaùn naøy ta caàn vieát 51994 döôùi daïng 5n(51994 – n – 1) + 5n ; n 4 vaø 1994 – n chia heát cho 4
C. Vaän duïng vaøo caùc baøi toaùn khaùc
Baøi 1:
Chöùng minh raèng: Toång sau khoâng laø soá chính phöông
a) A = 19k + 5k + 1995k + 1996k ( k N, k chaün)
b) B = 20042004k + 2001
Giaûi
a) Ta coù:
19k coù chöõ soá taän cuøng laø 1
5k coù chöõ soá taän cuøng laø 5
1995k coù chöõ soá taän cuøng laø 5
1996k coù chöõ soá taän cuøng laø 6
Neân A coù chöõ soá taän cuøng laø chöõ soá taän cuøng cuûa toång caùc chöõ soá taän cuøng cuûa toång 
1 + 5 + 5 + 6 = 17, coù chöõ soá taän cuøng laø 7 neân khoâng theå laø soá chính phöông
b) Ta coù :k chaün neân k = 2n (n N)
 20042004k = (20044)501k = (20044)1002n = (...6)1002n laø luyõ thöøa baäc chaün cuûa soá coù chöõ soá taän cuøng laø 6 neân coù chöõ soá taän cuøng laø 6 neân B = 20042004k + 2001 coù chöõ soá taän cuøng laø 7, do ñoù B khoâng laø soá chính phöông
Baøi 2:
Tìm soá dö khi chia caùc bieåu thöùc sau cho 5
a) A = 21 + 35 + 49 +...+ 20038005
b) B = 23 + 37 +411 +...+ 20058007
Giaûi
a) Chöõ soá taän cuøng cuûa A laø chöõ soá taän cuøng cuûa toång
(2 + 3 +... + 9) + 199.(1 + 2 + ... + 9) + 1 + 2 + 3 = 9005
Chöõ soá taän cuøng cuûa A laø 5 neân chia A cho 5 dö 0
b)Töông töï, chöõ soá taän cuøng cuûa B laø chöõ soá taän cuøng cuûa toång
(8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1 + ...+ 9) + 8 + 7 + 4 + 5 = 9024
B coù chöõ soá taän cuøng laø 4 neân B chia 5 dö 4
Baøi taäp veà nhaø
Baøi 1: Tìm chöõ soá taän cuøng cuûa: 3102 ; ; 320 + 230 + 715 - 816
Baøi 2: Tìm hai, ba chöõ soá taän cuøng cuûa: 3555 ; 
Baøi 3: Tìm soá dö khi chia caùc soá sau cho 2; cho 5: 
a) 38; 1415 + 1514
b) 20092010 – 20082009
CHUYEÂN ÑEÀ 9 – ÑOÀNG DÖ
A. Ñònh nghóa:
Neáu hai soá nguyeân a vaø b coù cuøng soá dö trong pheùp chia cho moät soá töï nhieân m 0 thì ta noùi a ñoàng dö vôùi b theo moâñun m, vaø coù ñoàng dö thöùc: a b (mod m)
Ví duï:7 10 (mod 3) , 12 22 (mod 10)
+ Chuù yù: a b (mod m) a – b m
B. Tính chaát cuûa ñoàng dö thöùc:
1. Tính chaát phaûn xaï: a a (mod m)
2. Tính chaát ñoãi xöùng: a b (mod m) b a (mod m)
3. Tính chaát baéc caàu: a b (mod m), b c (mod m) thì a c (mod m)
4. Coäng , tröø töøng veá: 
Heä quaû:
a) a b (mod m) a + c b + c (mod m)
b) a + b c (mod m) a c - b (mod m)
c) a b (mod m) a + km b (mod m)
5. Nhaân töøng veá : 
Heä quaû:
a) a b (mod m) ac bc (mod m) (c Z)
b) a b (mod m) an bn (mod m)
6. Coù theå nhaân (chia) hai veá vaø moâñun cuûa moät ñoàng dö thöùc vôùi moät soá nguyeân döông
 a b (mod m) ac bc (mod mc)
Chaúng haïn: 11 3 (mod 4) 22 6 (mod 8)
7. 
Chaúng haïn : 
C. Caùc ví duï:
1. Ví duï 1:
Tìm soá dö khi chia 9294 cho 15
Giaûi
Ta thaáy 92 2 (mod 15) 9294 294 (mod 15) (1)
Laïi coù 24 1 (mod 15) (24)23. 22 4 (mod 15) hay 294 4 (mod 15) (2)
Töø (1) vaø (2) suy ra 9294 4 (mod 15) töùc laø 9294 chia 15 thì dö 4
2. Ví duï 2:
Chöùng minh: trong caùc soá coù daïng 2n – 4(n N), coù voâ soá soá chia heát cho 5
Thaät vaäy:
Töø 24 1 (mod 5) 24k 1 (mod 5) (1)
Laïi coù 22 4 (mod 5) (2)
Nhaân (1) vôùi (2), veá theo veá ta coù: 24k + 2 4 (mod 5) 24k + 2 - 4 0 (mod 5)
Hay 24k + 2 - 4 chia heát cho 5 vôùi moïi k = 0, 1, 2, ... hay ta ñöôïc voâ soá soá daïng 2n – 4
(n N) chia heát cho 5
Chuù yù: khi giaûi caùc baøi toaùn veà ñoàng dö, ta thöôøng quan taâm ñeán a 1 (mod m)
 a 1 (mod m) an 1 (mod m)
 a -1 (mod m) an (-1)n (mod m)
3. Ví duï 3: Chöùng minh raèng
a) 2015 – 1 chia heát cho 11 b) 230 + 330 chi heát cho 13
c) 555222 + 222555 chia heát cho 7
Giaûi
a) 25 - 1 (mod 11) (1); 10 - 1 (mod 11) 105 - 1 (mod 11) (2)
Töø (1) vaø (2) suy ra 25. 105 1 (mod 11) 205 1 (mod 11) 205 – 1 0 (mod 11)
b) 26 - 1 (mod 13) 230 - 1 (mod 13) (3)
 33 1 (mod 13) 330 1 (mod 13) (4)
Töø (3) vaø (4) suy ra 230 + 330 - 1 + 1 (mod 13) 230 + 330 0 (mod 13)
Vaäy: 230 + 330 chi heát cho 13
c) 555 2 (mod 7) 555222 2222 (mod 7) (5)
 23 1 (mod 7) (23)74 1 (mod 7) 555222 1 (mod 7) (6)
222 - 2 (mod 7) 222555 (-2)555 (mod 7)
Laïi coù (-2)3 - 1 (mod 7) [(-2)3]185 - 1 (mod 7) 222555 - 1 (mod 7)
Ta suy ra 555222 + 222555 1 - 1 (mod 7) hay 555222 + 222555 chia heát cho 7
4. Ví duï 4: Chöùng minh raèng soá + 7 chia heát cho 11 vôùi moïi soá töï nhieân n
Thaät vaäy:Ta coù: 25 - 1 (mod 11) 210 1 (mod 11)
Xeùt soá dö khi chia 24n + 1 cho 10. Ta coù: 24 1 (mod 5) 24n 1 (mod 5)
 2.24n 2 (mod 10) 24n + 1 2 (mod 10) 24n + 1 = 10 k + 2
Neân + 7 = 210k + 2 + 7 =4. 210k + 7 = 4.(BS 11 + 1)k + 7 = 4.(BS 11 + 1k) + 7
= BS 11 + 11 chia heát cho 11
Baøi taäp veà nhaø:
Baøi 1: CMR:
a) 228 – 1 chia heát cho 29
b)Trong caùc soá coù daïng2n – 3 coù voâ soá soá chia heát cho 13
Baøi 2: Tìm soá dö khi chia A = 2011 + 2212 + 19962009 cho 7.
CHUYEÂN ÑEÀ 10 – TÍNH CHIA HEÁT ÑOÁI VÔÙI ÑA THÖÙC
A. Daïng 1: Tìm dö cuûa pheùp chia maø khoâng thöïc hieän pheùp chia
1. Ña thöùc chia coù daïng x – a (a laø haèng)
a) Ñònh lí Bôdu (Bezout, 1730 – 1783):
Soá dö trong pheùp chia ña thöùc f(x) cho nhò thöùc x – a baèng giaù trò cuûa f(x) taïi x = a
Ta coù: f(x) = (x – a). Q(x) + r
Ñaúng thöùc ñuùng vôùi moïi x neân vôùi x = a, ta coù
f(a) = 0.Q(a) + r hay f(a) = r
Ta suy ra: f(x) chia heát cho x – a f(a) = 0
b) f(x) coù toång caùc heä soá baèng 0 thì chia heát cho x – 1
c) f(x) coù toång caùc heä soá cuûa haïng töû baäc chaün baèng toång caùc heä soá cuûa caùc haïng töû baäc leû thì chia heát cho x + 1
Ví duï : Khoâng laøm pheùp chia, haõy xeùt xem A = x3 – 9x2 + 6x + 16 chia heát cho 
B = x + 1, C = x – 3 khoâng
Keát quaû:
A chia heát cho B, khoâng chia heát cho C
2. Ña thöùc chia coù baäc hai trôû leân
Caùch 1: Taùch ña thöùc bò chia thaønh toång cuûa caùc ña thöùc chia heát cho ña thöùc chia vaø dö
Caùch 2: Xeùt giaù trò rieâng: goïi thöông cuûa pheùp chia laø Q(x), dö laø ax + b thì
f(x) = g(x). Q(x) + ax + b
Ví duï 1: Tìm dö cuûa pheùp chia x7 + x5 + x3 + 1 cho x2 – 1
Caùch 1: Ta bieát raèng x2n – 1 chia heát cho x2 – 1 neân ta taùch:
x7 + x5 + x3 + 1 = (x7 – x) + (x5 – x) +(x3 – x) + 3x + 1
= x(x6 – 1) + x(x4 – 1) + x(x2 – 1) + 3x + 1 chia cho x2 – 1 dö 3x + 1
Caùch 2:
Goïi thöông cuûa pheùp chia laø Q(x), dö laø ax + b, Ta coù:
x7 + x5 + x3 + 1 = (x -1)(x + 1).Q(x) + ax + b vôùi moïi x
Ñaúng thöùc ñuùng vôùi moïi x neân vôùi x = 1, ta coù 4 = a + b (1)
vôùi x = - 1 ta coù - 2 = - a + b (2)
Töø (1) vaø (2) suy ra a = 3, b =1 neân ta ñöôïc dö laø 3x + 1
Ghi nhôù:
an – bn chia heát cho a – b (a -b)
an + bn ( n leû) chia heát cho a + b (a -b)
Ví duï 2: Tìm dö cuûa caùc pheùp chia
a) x41 chia cho x2 + 1 
b) x27 + x9 + x3 + x cho x2 – 1
c) x99 + x55 + x11 + x + 7 cho x2 + 1
Giaûi
a) x41 = x41 – x + x = x(x40 – 1) + x = x[(x4)10 – 1] + x chia cho x4 – 1 dö x neân chia cho 
x2 + 1 dö x
b) x27 + x9 + x3 + x = (x27 – x) + (x9 – x) + (x3 – x) + 4x 
= x(x26 – 1) + x(x8 – 1) + x(x2 – 1) + 4x chia cho x2 – 1 dö 4x
c) x99 + x55 + x11 + x + 7 = x(x98 + 1) + x(x54 + 1) + x(x10 + 1) – 2x + 7 
chia cho x2 + 1 dö – 2x + 7
B. Sô ñoà HORNÔ
1. Sô ñoà
Ñeå tìm keát quaû cuûa pheùp chia f(x) cho x – a 
(a laø haèng soá), ta söû duïng sô ñoà hornô
Neáu ña thöùc bò chia laø a0x3 + a1x2 + a2x + a3, 
ña thöùc chia laø x – a ta ñöôïc thöông laø 
b0x2 + b1x + b2, dö r thì ta coù
Ví duï:
Ña thöùc bò chia: x3 -5x2 + 8x – 4, ña thöùc chia x – 2
Ta coù sô ñoà
1
- 5
8
- 4
2
1
2. 1 + (- 5) = -3
2.(- 3) + 8 = 2
r = 2. 2 +(- 4) = 0
Vaäy: x3 -5x2 + 8x – 4 = (x – 2)(x2 – 3x + 2) + 0 laø pheùp chia heát
2. AÙp duïng sô ñoà Hornô ñeå tính giaù trò cuûa ña thöùc taïi x = a
Giaù trò cuûa f(x) taïi x = a laø soá dö cuûa pheùp chia f(x) cho x – a
1. Ví duï 1:
Tính giaù trò cuûa A = x3 + 3x2 – 4 taïi x = 2010
Ta coù sô ñoà:
1
3
0
-4
a = 2010
1
2010.1+3 = 2013
2010.2013 + 0
= 4046130
 2010.4046130 – 4
= 8132721296
Vaäy: A(2010) = 8132721296
C. Chöùng minh moät ña thöùc chia heát cho moät ña thöùc khaùc
I. Phöông phaùp:
1. Caùch 1: Phaân tích ña thöùc bò chia thaønh nhaân töû coù moät thöøa soá laø ña thöùc chia
2. Caùch 2: bieán ñoåi ña thöùc bò chia thaønh moät toång caùc ña thöùc chia heát cho ña thöùc chia
3. Caùch 3: Bieán ñoåi töông ñöông f(x) g(x) f(x) g(x) g(x)
4. caùch 4: Chöùng toû moïi nghieäm cuûa ña thöùc chia ñeàu laø nghieäm cuûa ña thöùc bò chia
II. Ví duï
1.Ví duï 1:
Chöùng minh raèng: x8n + x4n + 1 chia heát cho x2n + xn + 1
Ta coù: x8n + x4n + 1 = x8n + 2x4n + 1 - x4n = (x4n + 1)2 - x4n = (x4n + x2n + 1)( x4n - x2n + 1)
Ta laïi coù: x4n + x2n + 1 = x4n + 2x2n + 1 – x2n = (x2n + xn + 1)( x2n - xn + 1) 
chia heát cho x2n + xn + 1
Vaäy: x8n + x4n + 1 chia heát cho x2n + xn + 1
2. Ví duï 2:
Chöùng minh raèng: x3m + 1 + x3n + 2 + 1 chia heát cho x2 + x + 1 vôùi moïi m, n N
Ta coù: x3m + 1 + x3n + 2 + 1 = x3m + 1 - x + x3n + 2 – x2 + x2 + x + 1
 = x(x3m – 1) + x2(x3n – 1) + (x2 + x + 1)
Vì x3m – 1 vaø x3n – 1 chia heát cho x3 – 1 neân chia heát cho x2 + x + 1
Vaäy: x3m + 1 + x3n + 2 + 1 chia heát cho x2 + x + 1 vôùi moïi m, n N
3. Ví duï 3: Chöùng minh raèng 
f(x) = x99 + x88 + x77 + ... + x11 + 1 chia heát cho g(x) = x9 + x8 + x7 + ....+ x + 1
Ta coù: f(x) – g(x) = x99 – x9 + x88 – x8 + x77 – x7 + ... + x11 – x + 1 – 1