Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi

 1) + 18n
Ta thấy (n - 1)n (n + 1) M 3 (CM Ví dụ 1)
Þ 3(n - 1)n (n + 1) M 9
mà 
Þ A M 9 (ĐPCM)
Ví dụ 3: CMR: n4 - 4n3 - 4n2 +16n M 3 84 với " n chẵn, n³4
Giải
Vì n chẵn, n³4 ta đặt n = 2k, k³2
Ta có n4 - 4n3 - 4n2 + 16n = 16k4 - 32k3 - 16k2 + 32k
 = đặt 16k(k3 - 2k2 - k + 2)
 = đặt 16k(k - 2) (k - 1)(k + 1)
Với k ³ 2 nên k - 2, k - 1, k + 1, k là 4 số tự nhiên liên tiếp nên trong 4 số đó có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4. Þ (k - 2)(k - 1)(k + 1)k M 8
Mà (k - 2) (k - 1)k M 3 ; (3,8)=1
Þ (k - 2) (k - 1) (k + 1)k M 24
Þ 16(k - 2) (k - 1) (k + 1)k M (16,24)
Vậy n4 - 4n3 - 4n2 +16n M 384 với " n chẵn, n ³ 4
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: CMR: a. n(n + 1) (2n + 1) M 6
	b. n5 - 5n3 + 4n M 120 Với " n Î N
Bài 2: CMR: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n M 24 Với " n Î Z
Bài 3: CMR: Với " n lẻ thì
n2 + 4n + 3 M 8
n3 + 3n2 - n - 3 M 48
n12 - n8 - n4 + 1 M 512
Bài 4: Với p là số nguyên tố p > 3 CMR : p2 - 1 M 24
Bài 5: CMR: Trong 1900 số tự nhiên liên tiếp có 1 số có tổng các chữ số chia hết cho 27.
HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ
Bài 1: a. n(n + 1)(2n + 1) = n(n + 1) [(n + 1) + (n + 2)]
= n(n + 1) (n - 1) + n(n + 1) (n + 2) M 6
b. n5 - 5n3 + 4n = (n4 - 5n2 + 4)n
= n(n2 - 1) (n2 - 4)
= n(n + 1) (n - 1) (n + 2) (n - 2) M 120
Bài 2: n4 + 6n3 + 6n + 11n2
	= n(n3 + 6n2 + 6 + 11n)
= n(n + 1) (n + 2) (n + 3) M 24
Bài 3: a. n2 + 4n + 3 = (n + 1) (n + 3) M 8
b. n3 + 3n2 - n - 3 = n2(n + 3) - (n + 3)
= (n2 - 1) (n + 3)
= (n + 1) (n - 1) (n + 3)
= (2k + 4) (2k + 2) (2k với n = 2k + 1, k Î N)
= 8k(k + 1) (k +2) M 48
c. n12 - n8 - n4 + 1 = n8 (n4 - 1) - (n4 - 1)
= (n4 - 1) (n8 - 1)
= (n4 - 1)2 (n4 + 1) 
= (n2 - 1)2 (n2 - 1)2 (n4 + 1)
= 16[k(k + 1)2 (n2 + 1)2 (n4 + 1)
Với n = 2k + 1 Þ n2 + 1 và n4 + 1 là những số chẵn Þ (n2 + 1)2 M 2
 n4 + 1 M 2
Þ n12 - n8 - n4 + 1 M (24.22. 22. 1 . 21)
Vậy n12 - n8 - n4 + 1 M 512
Bài 4: Có p2 - 1 = (p - 1) (p + 1) vì p là số nguyên tố p > 3
Þ p M 3 ta có: (p - 1) (p + 1) M 8
và p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 (k Î N)
Þ (p - 1) (p + 1) M 3
Vậy p2 - 1 M 24
Bài 5: Giả sử 1900 số tự nhiên liên tiếp là 
n, n +1; n + 2; … ; n + 1989 (1)
trong 1000 tự nhiên liên tiếp n, n + 1; n + 2; …; n + 999 
có 1 số chia hết cho 1000 giả sử n0, khi đó n0 có tận cùng là 3 chữ số 0 giả sử tổng các chữ số của n0 là s khi đó 27 số n0, n0 + 9; n0 + 19; n0 + 29; n0 + 39; …; n0 + 99; n0 + 199; … n0 + 899 (2)
Có tổng các chữ số lần lượt là: s; s + 1 … ; s + 26
Có 1 số chia hết cho 27 (ĐPCM)
* Chú ý: n + 899 £ n + 999 + 899 < n + 1989
Þ Các số ở (2) nằm trong dãy (1)
3. Phương pháp 3: XÉT TẬP HỢP SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA
Ví dụ 1: CMR: Với " n Î N
Thì A(n) = n(2n + 7) (7n + 7) chia hết cho 6
Giải
Ta thấy 1 trong 2 thừa số n và 7n + 1 là số chẵn. Với " n Î N Þ A(n) M 2
Ta chứng minh A(n) M 3
Lấy n chia cho 3 ta được n = 3k + 1 (k Î N)
Với r Î {0; 1; 2}
Với r = 0 Þ n = 3k Þ n M 3 Þ A(n) M 3
Với r = 1 Þ n = 3k + 1 Þ 2n + 7 = 6k + 9 M 3 Þ A(n) M 3 
Với r = 2 Þ n = 3k + 2 Þ 7n + 1 = 21k + 15 M 3 Þ A(n) M 3
Þ A(n) M 3 với " n mà (2, 3) = 1
Vậy A(n) M 6 với " n Î N
Ví dụ 2: CMR: Nếu n M 3 thì A(n) = 32n + 3n + 1 M 13 Với " n Î N
Giải
Vì n M 3 Þ n = 3k + r (k Î N); r Î {1; 2; 3}
Þ A(n) = 32(3k + r) + 33k+r + 1 
= 32r(36k - 1) + 3r (33k - 1) + 32r + 3r + 1
ta thấy 36k - 1 = (33)2k - 1 = (33 - 1)M = 26M M 13
33k - 1 = (33 - 1)N = 26N M 13
với r = 1 Þ 32n + 3n + 1 = 32 + 3 +1 = 13 M 13
Þ 32n + 3n + 1 M 13
với r = 2 Þ 32n + 3n + 1 = 34 + 32 + 1 = 91 M 13
Þ 32n + 3n + 1
Vậy với n M 3 thì A(n) = 32n + 3n + 1 M 13 Với " n Î N
Ví dụ 3: Tìm tất cả các số tự nhiên n để 2n - 1 M 7
Giải
Lấy n chia cho 3 ta có n = 3k + 1 (k Î N); r Î {0; 1; 2}
Với r = 0 Þ n = 3k ta có 
2n - 1 = 23k - 1 = 8k - 1 = (8 - 1)M = 7M M 7
với r =1 Þ n = 3k + 1 ta có:
2n - 1 = 28k +1 - 1 = 2.23k - 1 = 2(23k - 1) + 1
mà 23k - 1 M 7 Þ 2n - 1 chia cho 7 dư 1
với r = 2 Þ n = 3k + 2 ta có :
2n - 1 = 23k + 2 - 1 = 4(23k - 1) + 3 
mà 23k - 1 M 7 Þ 2n - 1 chia cho 7 dư 3
Vậy 23k - 1 M 7 Û n = 3k (k Î N)
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: CMR: An = n(n2 + 1)(n2 + 4) M 5 Với " n Î Z
Bài 2: Cho A = a1 + a2 + … + an
 B = a51 + a52 + … + a5n
Bài 3: CMR: Nếu (n, 6) =1 thì n2 - 1 M 24 Với " n Î Z
Bài 4: Tìm số tự nhiên W để 22n + 2n + 1 M 7
Bài 5: Cho 2 số tự nhiên m, n để thoả mãn 24m4 + 1 = n2
CMR: mn M 55
HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ
Bài 1: + A(n) M 6
	+ Lấy n chia cho 5 Þ n = 5q + r r Î {0; 1; 2; 3; 4}
r = 0 Þ n M 5 Þ A(n) M 5
r = 1, 4 Þ n2 + 4 M 5 Þ A(n) M 5
r = 2; 3 Þ n2 + 1 M 5 Þ A(n) M 5
Þ A(n) M 5 Þ A(n) M 30
Bài 2: Xét hiệu B - A = (a51 - a1) + … + (a5n - an) 
Chỉ chứng minh: a5i - ai M 30 là đủ
Bài 3: Vì (n, 6) =1 Þ n = 6k + 1 (k Î N)
Với r Î {±1}
r = ±1Þ n2 - 1 M 24
Bài 4: Xét n = 3k + r (k Î N) 
Với r Î {0; 1; 2}
Ta có: 22n + 2n + 1 = 22r(26k - 1) + 2r(23k - 1) + 22n + 2n + 1
Làm tương tự VD3
Bài 5: Có 24m4 + 1 = n2 = 25m4 - (m4 - 1)
Khi m M 5 Þ mn M 5
Khi m M 5 thì (m, 5) = 1 Þ m4 - 1 M 5
(Vì m5 - m M 5 Þ (m4 - 1) M 5 Þ m4 - 1 M 5)
Þ n2 M 5 Þ ni5
Vậy mn M 5
4. Phương pháp 4: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ
Giả sử chứng minh an M k
Ta có thể phân tích an chứa thừa số k hoặc phân tích thành các thừa số mà các thừa số đó chia hết cho các thừa số của k.
Ví dụ 1: CMR: 36n - 26n M 35 Với " n Î N
Giải
Ta có 36n - 26n = (36)n - (26)n = (36 - 26)M
= (33 + 23) (33 - 23)M
= 35.19M M 35 Vậy 36n - 26n M 35 Với " n Î N
Ví dụ 2: CMR: Với " n là số tự nhiên chăn thì biểu thức
 A = 20n + 16n - 3n - 1 M 232
Giải
Ta thấy 232 = 17.19 mà (17;19) = 1 ta chứng minh
A M 17 và A M 19 ta có A = (20n - 3n) + (16n - 1) có 20n - 3n = (20 - 3)M M 17M
16n - 1 = (16 + 1)M = 17N M 17 (n chẵn)
Þ A M 17 (1)
ta có: A = (20n - 1) + (16n - 3n) 
có 20n - 1 = (20 - 1)p = 19p M 19 
có 16n - 3n = (16 + 3)Q = 19Q M 19 (n chẵn)
Þ A M 19 (2)
Từ (1) và (2) Þ A M 232
Ví dụ 3: CMR: nn - n2 + n - 1 M (n - 1)2 Với " n >1
Giải
Với n = 2 Þ nn - n2 + n - 1 = 1 
và (n - 1)2 = (2 - 1)2 = 1
Þ nn - n2 + n - 1M (n - 1)2
với n > 2 đặt A = nn - n2 + n - 1 ta có A = (nn - n2) + (n - 1)
= n2(nn-2 - 1) + (n - 1)
= n2(n - 1) (nn-3 + nn-4 + … + 1) + (n - 1)
= (n - 1) (nn-1 + nn-2 + … + n2 +1) 
= (n - 1) [(nn-1 - 1) + … +( n2 - 1) + (n - 1)]
= (n - 1)2M M (n - 1)2
Vậy A M (n - 1)2 (ĐPCM)
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: CMR: a. 32n +1 + 22n +2 M 7
	 b. mn(m4 - n4) M 30
Bài 2: CMR: A(n) = 3n + 63 M 72 với n chẵn n Î N, n ³ 2
Bài 3: Cho a và b là 2 số chính phương lẻ liên tiếp
CMR: a. (a - 1) (b - 1) M 192
Bài 4: CMR: Với p là 1 số nguyên tố p > 5 thì p4 - 1 M 240
Bài 5: Cho 3 số nguyên dương a, b, c và thoả mãn a2 = b2 + c2
CMR: abc M 60
HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ
Bài 1: a. 32n +1 + 22n +2 = 3.32n + 2.2n
= 3.9n + 4.2n
= 3(7 + 2)n + 4.2n 
= 7M + 7.2n M 7
b. mn(m4 - n4) = mn(m2 - 1)(m2 + 1) - mn(n2 - 1) (n2 + 1) M 30
Bài 3: Có 72 = 9.8 mà (8, 9) = 1 và n = 2k (k Î N) 
có 3n + 63 = 32k + 63
= (32k - 1) + 64 Þ A(n) M 8
Bài 4: Đặt a = (2k - 1)2; b = (2k - 1)2 (k Î N) 
Ta có (a - 1)(b - 1) = 16k(k + 1)(k - 1) M 64 và 3
Bài 5: Có 60 = 3.4.5 	Đặt M = abc
Nếu a, b, c đều không chia hết cho 3 Þ a2, b2 và c2 chia hết cho 3 đều dư 1 Þ a2 ¹ b2 + c2. Do đó có ít nhất 1 số chia hết cho 3. Vậy M M 3
Nếu a, b, c đều không chia hết cho 5 Þ a2, b2 và c2 chia 5 dư 1 hoặc 4 Þ b2 + c2 chia 5 thì dư 2; 0 hoặc 3.
Þ a2 ¹ b2 + c2. Do đó có ít nhất 1 số chia hết cho 5. Vậy M M 5
Nếu a, b, c là các số lẻ Þ b2 và c2 chia hết cho 4 dư 1.
Þ b2 + c2 º (mod 4) Þ a2 ¹ b2 + c2
Do đó 1 trong 2 số a, b phải là số chẵn.
Giả sử b là số chẵn
	Nếu C là số chẵn Þ M M 4
	Nếu C là số lẻ mà a2 = b2 + c2 Þ a là số lẻ 
Þ b2 = (a - c) (a + b) Þ 
Þ chẵn Þ b M 4 Þ m M 4
Vậy M = abc M 3.4.5 = 60
5. Phương pháp 5: BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CẦN CHỨNG MINH VỀ DẠNG TỔNG
Giả sử chứng minh A(n) M k ta biến đổi A(n) về dạng tổng của nhiều hạng tử và chứng minh mọi hạng tử đều chia hết cho k.
Ví dụ 1: CMR: n3 + 11n M 6 với " n Î z.
Giải
Ta có n3 + 11n = n3 - n + 12n = n(n2 - 1) + 12n
	 = n(n + 1) (n - 1) + 12n
Vì n, n - 1; n + 1 là 3 số nguyên liên tiếp
Þ n(n + 1) (n - 1) M 6 và 12n M 6
Vậy n3 + 11n M 6
Ví dụ 2: Cho a, b Î z thoả mãn (16a +17b) (17a +16b) M 11
CMR: (16a +17b) (17a +16b) M 121
Giải
Có 11 số nguyên tố mà (16a +17b) (17a +16b) M 11
Þ (1)
Có 16a +17b + 17a +16b = 33(a + b) M 11 (2)
Từ (1) và (2) Þ 
Vậy (16a +17b) (17a +16b) M 121
Ví dụ 3: Tìm n Î N sao cho P = (n + 5)(n + 6) M 6n.
Giải
Ta có P = (n + 5)(n + 6) = n2 + 11n + 30
	= 12n + n2 - n + 30
Vì 12n M 6n nên để P M 6n Û n2 - n + 30 M 6n
Û 
Từ (1) Þ n = 3k hoặc n = 3k + 1 (k Î N) 
Từ (2) Þ n Î {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}
Vậy từ (1); (2) Þ n Î {1; 3; 6; 10; 15; 30}
Thay các giá trị của n vào P ta có 
n Î {1; 3; 10; 30} là thoả mãn
Vậy n Î {1; 3; 10; 15; 30} thì P = (n + 5)(n + 6) M 6n.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: CMR: 13 + 33 + 53 + 73 M 23
Bài 2: CMR: 36n2 + 60n + 24 M 24
Bài 3: CMR: a. 5n+2 + 26.5n + 8 2n+1 M 59
	b. 9 2n + 14 M 5
Bài 4: Tìm n Î N sao cho n3 - 8n2 + 2n M n2 + 1
HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ
Bài 1: 13 + 33 + 53 + 73 = (13 + 73) + (33 + 53)
	= 8m + 8N M 23
Bài 2: 362 + 60n + 24 = 12n(3n + 5) + 24
Ta thấy n và 3n + 5 không đồng thời cùng chẵn hoặc cùng lẻ 
Þ n(3n + 5) M 2 Þ ĐPCM
Bài 3: a. 5n+2 + 26.5n + 8 2n+1 
	= 5n(25 + 26) + 8 2n+1 
	= 5n(59 - 8) + 8.64 n
	= 5n.59 + 8.59m M 59
b. 9 2n + 14 = 9 2n - 1 + 15
	= (81n - 1) + 15
	= 80m + 15 M 5
Bài 4: Có n3 - 8n2 + 2n = (n2 + 1)(n - 8) + n + 8 M (n2 + 1) Û n + 8 M n2 + 1
Nếu n + 8 = 0 Þ n = -8 (thoả mãn)
Nếu n + 8 ¹ 0 Þ ½n + 8½³ n2 + 1
Þ 
Þ n Î {-2; 0; 2} thử lại
Vậy n Î {-8; 0; 2}
6. Phương pháp 6: DÙNG QUY NẠP TOÁN HỌC
Giả sử CM A(n) M P với n ³ a (1)
Bước 1: Ta CM (1) đúng với n = a tức là CM A(n) M P
Bước 2: Giả sử (1) đúng với n = k tức là CM A(k) M P với k ³ a
Ta CM (1) đúng với n = k + 1 tức là phải CM A(k+1) M P
Bước 3: Kết luận A(n) M P với n ³ a
Ví dụ 1: Chứng minh A(n) = 16n - 15n - 1 M 225 với " n Î N*
Giải
Với n = 1 Þ A(n) = 225 M 225 vậy n = 1 đúng
Giả sử n = k ³ 1 nghĩa là A(k) = 16k - 15k - 1 M 225
Ta phải CM A(k+1) = 16 k+1 - 15(k + 1) - 1 M 225
Thật vậy: A(k+1