Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi 6

trong 4 chữ số 3,6,9,0 hãy ghép thành số tự nhiên có ba chữ số sao cho số đó:
a) Chia hết cho 9;
b) Chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9.
4. Phải thay các chữ số x, y bởi chữ số nào để số 3 
5. Tổng (hiệu) sau có chia hết cho 3 , cho 9 không?
 102001 + 2 ; 102001 – 1 .
6. Tìm các chữ số x,y biết rằng số chia hết cho 2 và 9.
7. Tìm các chữ số x,y biết rằng số chia hết cho 445.
8. Tìm tất cả các số có dạng , biết rằng số đó chai hết cho 3 , cho 4 và cho 5.
9. Tìm hai số tự nhiên liên tiếp , trong đó có một chữ số chia hết cho 9 , biết rằng tổng của hai số đó thỏa mãn các điều kiện sau:
a) Là só có ba chữ số;
b) Là số chia hết cho 5;
c) Tổng của chữ số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị là số chia hết cho 9;
d) Tổng của chữ số hàng trăm và chữ số hàng chục là số chia hết cho 4;
C§7 Phân tích một số ra thừa số nguyên tố.
Phân tích một số tự nhiên ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng một tích các thừa số nguyên tố . mọi số tự nhiên lớn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố.
Dù phân tích một số ra thừa số nguyên tố bằng cách nào thì cuối cùng cũng được cùng một kết quả.
Ví dụ . Cho sô tự nhiên A = axbycz trong đó a, b, c, là các số nguyên tố đôi một khác nhau, còn x, y ,z là các số tự nhiên khác 0 .chứng tỏ rằng số ước số của A được tính bởi công thức : (x + 1)(y + 1)(z + 1).
Giải. Số ước số của A chỉ chứa thừa số nguyên tố a là x, chỉ chứa thừa số nguyên tố b là y, chỉ chứa thừa số nguyên tố c là z, chỉ chứa thừa số nguyên tố ab là xy, chỉ chứa thừa số nguyên tố ac là xz, chỉ chứa thừa số nguyên tố bc là yz, chỉ chứa thừa số nguyên tố abc là xyz.vì A là ước của chính nó . do đó số ước của A bằng:
 x + y + z + xy + yz + xz + xyz + 1 = x(z + 1) + y(z + 1) + xy(z + 1) + (z + 1) = (z + 1)(x + y + xy + 1) = (z + 1)[(x + 1) + y(x + 1)] = (x + 1)(y + 1)(z + 1).
Ví dụ : số B = 233554 thì số ước số của B là (3 + 1)(5 + 1)(4 + 1) = 4.6.5 = 120.
Bài tập.
Tìm số tự nhiên nhỏ nhất:
Có 9 ước; b) Có 15 ước.
Cho số tự nhiên B = axby trong đó a,b là các số nguyên tố khác nhau , x, y là các số tự nhiên khác 0 . biết B2 có 15 ước . hỏi B3 có bao nhiêu ước?
Tìm số tự nhiên a , biết 105 a và 16 ≤ a ≤ 50 .
Một trường có 805 học sinh. Cần phải xếp mỗi hang bao nhiêu học sinh để học sinh ở mỗi hàng là như nhau , biết rằng không xếp quá 35 hàng và cũng không ít hơn 15 hàng.
Số tự nhiên n có tổng các ước bằng n (không kể n) được gọi là số hoàn chỉnh (số hoàn thiện , số hoàn toàn).
Chứng tỏ rằng các số 28,496 là số hoàn chỉnh.
Tìm số hoàn chỉnh n , biết n = p.q trong đó p,q là các số nguyên tố.
Tìm số tự nhiên n, biết rằng số n có 30 ước và khi phân tích thành thừa số nguyên tố thì có dạng n = 2x3y trong đó x + y = 8.
C®8. Ước chung và Ước chung lớn nhất
1Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.
Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó.
.ƯCLN của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.
2. Muốn tìm ƯCLN của hai hay nhiều số , ta thực hiện ba bước sau:
 Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
 Bước 2 : Chọn các thừa số nguyên tố chung.
 Bước 3 : Lập tích các thừa số đó , mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó.tích đó là ƯCLN phải tìm.
Chú ý: Hai hay nhiều số có ƯCLN là 1 gọi là các số nguyên tố cùng nhau.
Trong các số đã cho , nếu số nhỏ nhất là ước của các số còn lại thì ƯCLN của các số đã cho là số nhỏ nhất đó.
3.Muốn tìm ước chung của các số đã cho ,ta tìm các ước ƯCLN của các số đó
Ví dụ1. Tìm số tự nhiên a biết rằng khi chia 39 cho a thì dư 4, còn khi chia 48 cho a thì dư 6.
Giải. Chia 39 cho a thì dư 4 , nên a là ước của 39 – 4 = 35 và a > 4 .chia 48 cho a thì dư 6 nên a là ước của 48 – 6 = 42 và a > 6 . do đó a là ước chung của 35 và 42 dông thồng a > 6.
Ư(35) = { 1, 5, 7, 35} ; Ư(42) = {1,2,3,6,7,14,21,42}.
ƯC(35,42) = { 1,7}. Vậy a = 7 .
Ví dụ.2 Tìm hai số tự nhiên cố tổng 432 và ƯCLN cua chúng bằng 36.
Giải. Gọi hai số tự nhiên phải tìm là a và b . vì ƯCLN(a,b) = 36 , nên a = 36c và b = 36d , (c,d) = 1. theo đề bài tổng của hai số bằng 432 nên: a + b = 432 hay 36(c + d) = 432,do đó c + d = 12. như vậy ta phải tìm các cặp số c,d có tổng bằng 12 và (c,d) = 1 . các cặp số đó là 1 và 11 ; 5 và 7.các số tự nhiên cần tìm là a = 36 , b = 396 và a = 180 , b = 252 hoặc ngược lại.
Bài tập:
Viết các tập hợp :
ƯC(8,12,24); ƯC(5,15,35);
BC(8,12,24); BC(5,15,35);
Tìm giao của hai tập hợp :
A = { n N : n là ước của 18}
B = { m N : m là ước của 36}.
 3. Tìm số tự nhiên a, biết rằng khi chia 264 cho a thì dư 24 , còn khi chia363 cho a thì dư 43.
 4. Có 100 quyển vở và 90 bút bi. Cô giáo chủ nhiểm muốn chia số vở và bút thành một số phần thưởng như nhau gôm cả vở và bút để phát phần thuopwngr cho học sinh. Như vậy thì còn lại 4 quyển và 18 bút bi không thể chia đều cho các học sinh.tính sô học sinh được thưởng?.
 5. Gọi G là tập hợp các số là bội của 3 ; H là tập hợp các số là bội của 18. tìm G H.
 6. Có một số sách giáo khoa. Nếu xếp thành từng chồng 10 cuốn thì vừa hết ,thàng từng chồng 12 cuốn thì thừa 2 cuốn, thành từng chồng 18 cuốn thì thừa 8 cuốn .biết rằng số sách trong khoảng từ 715 đến 1000 cuốn.tìm số sách đó.
Bài tập cñng cè.
Tìm ƯCLN của ác số có 9 chữ số được viết bởi các chữ số 1 , 2, 3 ,4, 5 ,6 ,7 ,8 ,9 và trong mỗi số các chữ số đều khác nhau.
Tìm hai số tự nhiên biết rằng tổng của chúng bằng 66 , ƯCLN của chúng bằng 12.
Tìm 2 số tự nhiên ,biết tích của chúng bằng 864 và ƯCLN của chúng bằng 6.
Một lớp học có 28 nam và 24 nữ.có bao nhiêu cách chia số học sinh của lớp thành các tổ sao cho số nam và nữ được chia đều cho các tổ.
Người ta muốn chia 240 bút bi , 210 bút chì và 180 tập giấy thành 1 số phần thưởng như nhau. Hỏi có thể chia được nhiều nhất là bao nhiêu phần thưởng,mỗi phần thưởng Có bao nhiêu bút bi , bút chì, tập giấy?.
Biết rằng 3n + 1 và 5n + 4 ( n N) là 2 số không nguyên tố cùng nhau .tìm ƯCLN của 2 số trên.
Tiết 18. Bội chung nhỏ nhất
1.BCNN của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác o trong tập hợp các bội chung của các số đó.
2. Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số , ta thực hiện 3 bước sau:
 Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
 Bước 2: Chọn các thừa số nguyên tố chung và riêng.
 Bước 3: Lập tích các thừa số đó , mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó.tích đó là BCNN phải tìm.
Chú ý: Nếu các số đã cho từng đôi một nguyên tố cùng nhau thì BCNN của chúng là tích của các số đó.
Trong các số đã cho nếu số lơn nhất là bội của các số còn lại thì BCNN của các số đã cho là số lơn nhất đó.
3.Muốn tìm bôi chung của hai hay nhiều số , ta tìm các bội của BCNN của các số đó.
Ví dụ: Một số tự nhiên chia cho 2, cho 3 , cho 4 , cho 5 , cho 6 đều dư 1 , nhưng khi chia cho 7 thì không còn dư.
Tìm số nhỏ nhất có tính chất trên.
Tìm dạng chung của các số có tính chất trên.
Giải.
Gọi x là số phải tìm thì x – 1 ( 2 ,3 ,4, 5 , 6) nên x – 1 là bội chung của 2, 3, 4, 5, 6.
BCNN ( 2,3,4,5,6) = 60
Vậy x – 1 nhận các giá trị: 60 ,120,180,240,300,… do đó x nhân các giá trị: 61 ,121 ,181,241,301,…
Trong các số trên, số nhỏ nhất chia hết cho 7 là số 301.
Vì x – 1 là bội của 60 nên x- 1 = 60n hay x = 60n + 1 (n N*) và x 7 .ta có : x = 60n + 1 = 7.8n – 7 + 4 (n + 2). Vì 7.8n 7 ,do đó để x 7 thì phải có 4(n + 2) 7 hay n + 2 7 . dặt n + 2 = 7k thì n = 7k – 2 (k N*).
 x = 60n + 1 = 60 (7k - 2) + 1 = 420k – 119 . để tìm x ta chỉ việc cho k các giá trị : k = 1, 2, 3, …
Bài tập.
Tìm BCNN của ba số sau : số nhỏ nhất có hai chữ số ,số lớn nhất có ba chữ số và số nhỏ nhất có bốn chữ số.
Có thể chỉ dung một chữ số 2 để lập các số có dạng : 2, 22, 22,222,.. sao cho số đó:
là bội của 5 được không?
Là bội của 9 được không?
Tìm BCNN(30 , 45) và ƯCLN(30 ,45) . thử lại rằng tích của BCNN (30 , 45) và ƯCLN(30 , 45) bằng tích của hai số 30 và 45.
Ba em An , Bảo , Ngọc cùng học một trường nhưng ở 3 lớp khác nhau .An cứ 5 ngày trực nhật một lần , Bảo 10 ngày trực nhật một lần, còn Ngọc 8 này trực nhật một lần.lần đầu ba em cùng trực nhật một ngày .hỏi mấy ngày sau ba em lại cùng trực nhật vào cùng một ngày? Đến ngày đó mỗi em đã trực nhật mấy lần?
 Bạn Nam nghĩ một số có ba chữ số. nếu bớt số đó đi 8 thì được số chia hết cho 7 .nếu bớt đi 9 thì được số chia hết cho 8 ,nếu bớt đi 10 thì được số chia hết cho 9. hỏi bạn Nam nghĩ số nào?
. Cộng hai số nguyên cùng dấu.
Muốn cộng hai số nguyên cùng dấu ta cộng hai giá trị tuyêt đối của chúng rồi đặt trước kết quả dấu của chúng
Ví dụ. tính tổng các số nguyên x biết:
- 10 ≤ x ≤ - 1 ; b) 5 < x < 15 .
Giải . a) - 10 ≤ x ≤ - 1 nên x = { - 10 , - 9 , - 8 , - 7 , - 6 , - 5 , - 4 , - 3 , - 2 , - 1}. Vậy tổng phải tìm là : A = (- 10) + (- 9) + (- 8) + (- 7) + (- 6) + (- 5) + (- 4) + (- 3) + (- 2) + ( - 1)
 = - ( 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1) = - 55
5 < x < 15 nên x = { 6 ,7,8,9,10,11,12,13,14} . tổng phải tìm là 
 B = 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = 90.
Bài tập:
So sánh :
│3 + 5│ và │3│ + │5│;
 │(- 3) +(- 5)│ và │- 3│ + │- 5│;
 Từ đó rút ra nhận xét gì về │a + b│ và │a│ + │b│ với a , b Z.
Điền dấu vào ô trống một cách thích hợp:
 a) 7 + │- 23│	15 + │- 33│
 b)│- 11│ + 5 	│- 8│ + │- 2│
 c) │- 21│+│- 6│	 - 7 
3. Tìm x Z biết :
 a) (+ 22) + (+ 23) + x = 21 + │- 24│
 b) │- 3│ + │- 7│ = x + 3
 c) 8 +│x│ = │- 8│+ 11;
 d) │x│ + 15 = - 9 
 4. Tìm các cặp số nguyên x, y biết │x│ + │y│= 5.
 5. Cho 1 số nguyên trong đó tổng của 5 số bất kì là số nguyên dương. Chứng tỏ rằng tổng của 31 số đó là số nguyên dương?
Cộng hai số nguyên khác dấu.
Hai số nguyên đối nhau có tổng bằng 0 .
 Muốn cộng hai số nguyên khác dấu không đối nhau ta tìm hiệu hai giá trị tuyệt đối của chúng (số lớn trừ số nhỏ) và đặt trước kết quả tìm được dấu của số có giá trị tuyệt đối lớn hơn. 
Với mọi số nguyên a ta có a + 0 = 0 + a = a.
Ví dụ. Cho phép cộng (* 15) + ( * 7) trong đó dấu * chỉ dấu “ + “ hoặc dấu “ –“ . hãy xác định dấu của các số hạng để tổng bằng:
22 ; b) – 22 ; c) 8 ; d) - 8 .
Giải . Trong câu a và b , giá trị của tổng bằng tổng các giá trị tuyệt đối của hai số hạng nên đó là phép cộng hai số nguyên cùn