Chuyên đề Bất đẳng thức

2
0, 2 3
( ) 0 2
31 2
y y
g y y
y y
3
( ) 0
3
g y y 
Suy ra 
3
( ) 2 3
3
g y g 
( ( )) (2 5;2 3) 2 3Min h y Min 
( ) 2 3Min A khi x=0, 
3
3
y 
23. (A-2005) Cho x,y,z là các số dương thoả 
mãn 
1 1 1
4.
x y z
 Chứng minh rằng 
1 1 1
1.
2x y z x 2y z x y 2z
HD: Với a>0 và b>0 
4 1 1
( )( ) 4
a b
a b a b ab
a b ab a b
1 1 1 1 1 1
2 8 4( ) 8 16 16x y z x y z x y z
1 1 1 1
2 16 8 16x y z x y z
1 1 1 1
2 16 16 8x y z x y z
Cộng vế các BĐT suy ra: 
1 1 1
2x y z x 2y z x y 2z
1 1 1
1
4x 4y 4z
24. (B-2005) Chứng minh rằng với mọi x  , ta 
có: 
12 15 20
3 4 5 .
5 4 3
x x x
x x x
Khi nào đẳng thức xảy ra?. 
HD: 
12 15 12 15
2 . 2.3
5 4 5 4
x x x
x
15 20 15 20
2 . 2.5
4 3 4 3
x x x
x
20 12 20 12
2 . 2.4
3 5 3 5
x x x
x
Cộng vế rồi chia 2 vế cho 2: 
12 15 20
3 4 5 .
5 4 3
x x x
x x x
Dấu đẳng thức xảy ra khi x=0 
25. (D-2005) Cho các số dương x,y,z thoả mãn 
xyz=1. Chứng minh rằng : 
3 3 3 3 3 31 x y 1 y z 1 z x
3 3.
xy yz zx
Khi nào đẳng thức xảy ra? 
HD: 
3 3 21 3 3
3
x y xy xyz
z
xy xy xyz
3 31
3
y z
x
yz
3 31
3
z x
y
zx
3 3 3 3 3 3
3
1 x y 1 y z 1 z x
xy yz zx
3x 3y 3z
3 27xyz 3 3
Dấu đẳng thức xảy ra khi x=y=z=1 
26. (A-2003) Cho x,y,z là ba số dương và 
x+y+z 1. Chứng minh rằng 
.82
111
2
2
2
2
2
2
z
z
y
y
x
x 
HD: 
1 1 1
; , ; , ;u x v y t z
x y z
  
u v t u v t
     
2 2 2
2 2 2
2
2
1 1 1
1 1 1
( )
A x y z
x y z
x y z
x y z
2
2
2
2 2
1 1 1
1 1 1
81( ) 80( )
B x y z
x y z
x y z x y z
x y z
21 1 118( ) 80( )B x y z x y z
x y z
23 3
1
18.9 80( )B xyz x y z
xyz
2162 80( ) 162 80 82B x y z 
82A 
27. Cho x,y.z là các biến số dương. Tìm giá trị 
nhỏ nhất của biểu thức 
3 3 3 33 3
3 33
2 2 2
4( ) 4( )
4( ) 2
p x y y z
x y z
z x
y z x
HD: 
3 3 3 333 4( ) 8 2x y x y xy 
3 33 4( ) 2y z yz 
3 33 4( ) 2z x zx 
2 2 2
2 2 2 2
x y z
p xy yz zx
y z x
3 3
1
6 12p xyz
xyz
Dấu đẳng thức xảy ra khi x=y=z=1 
MỘT VÀI PHÁN ĐOÁN 
KHI GIẢI TOÁN BĐT
A. Sự đối xứng các biến tham gia trong BĐT giúp 
ta dự đoán cực trị thường đạt khi các biến bằng 
nhau. 
28. Cho x>0. Tìm GTNN của 
1
f x
x
(xem x và 1/x là 2 biến của f) 
HD: 
1
2 . 2, 2 1f x f x
x
Vậy GTNN của f là 2 
29. Cho x>0. Tìm GTNN của 
2
1
f x
x
HD: 3
2 2 3
1 1 3
3 . .
2 2 2 2 4
x x x x
f
x x
3
23
3 1
2
24
x
f x
x
Vậy GTNN của f là 
3
3
4
30. Cho n nguyên và n≥2. Cho biến x>0. Tìm 
GTNN của 
1
n
f x
x
HD: 
1
...
n
x x x
f
n n n x
 (n lần 
x
n
) 
1
1
1 1
( 1)
n
n
n n n
x n
f n
n x n
Dấu đẳng thức xảy ra khi 1
1 n
n
x
x n
n x
GTNN của f là 
1
1
n n
n
n
B. Khi cho các biến ban đầu bằng nhau mà không 
thỏa điều kiện bài toán hay xảy ra mâu thuẫn thì 
chúng ta phải dự đoán phương án khác, giá trị đặc 
biệt có thể là “biên”trong tập hợp điều kiện của 
biến. 
31. Cho x≥2. Tìm GTNN của 
1
f x
x
HD: Dự đoán GTNN đạt được tại x=2 
Với x≥2 : 
1 1
( ) (2) 2 0
2
f x f x
x
22 5 2 0x x
( 2)(2 1) 0x x (đúng với mọi x≥2) 
Vậy GTNN của f là 
5
2
 khi x=2 
32. Cho x>3. Tìm GTNN của 
2
1
f x
x
HD: Dự đoán GTNN đạt được tại x=3 
Với x≥3: 
2
1 1
( ) (3) 3 0
9
f x f x
x
3 29 28 9 0x x 2( 3)(9 3) 0x x x 
(đúng với mọi x≥3) 
Vậy GTNN của f là 
28
9
 khi x=3 
33. Cho sốnguyên n≥2. Cho 1nx k n . Tìm 
GTNN của 
1
n
f x
x
HD: Dự đoán GTNN đạt được tại x=k. 
Với x≥k: 
1 1
( ) ( ) 0
n n
f x f k x k
x k
1 2 3 2 1
1 1 1 1 1 1
... 0
n n n n
x k
x k x x k x k k
1 2 3 2 1
1 1 1 1 1
( ) 1 ... 0
n n n n
x k
xk x x k x k k
1 2 3 2 1
( ) 1 1 1 1
... 0
n n n n
x k
xk
xk x x k x k k
Ta có: 
1 2 3 2 1
1 2
1 1 1
1 1 1 1
...
n n n n
n
n n n
x x k x k k
n n
n xk
k n
Suy ra f(x)≥f(k) đúng với mọi 1nx k n 
GTNN của f là 
1
n
k
k
 khi x=k. 
C. Có thể chứng minh kết quả trên bằng BĐT 
Côsi? Với dự đoán “chọn tham số” hay “chọn điểm 
rơi” 
Dự đoán x=k và dùng Côsi cho n+1 số trong đó n số 
x
m
 (với m>0) và số 
1
nx
 như sau: 
1
...
n
x x nx
f x
m m x m
 (n số 
x
m
) 
1
1
( 1) 1
n
n
n
x n
f n x
m x m
Ta chọn m sao cho: 
1 1
1
n n
n
x k
m x kx
m x
1
( 1) 1
1
( 1) 1n
n n n
n
f n x
k k
Vì 1nx k n nên 
1nn k suy ra: 
1
( 1) 1
1 ( )
n n n
n n
f k k f k
k k k
34. Cho a>0, b>0 và a+b≤1. Tìm GTNN của 
1
f ab
ab
HD: 
2
1
2 4
a b
ab . Đặt 
1
x ab,0
4
x và 
1
f x
x
Ta chọn m>0 sao cho: 
2
1
14
1 16
x
m x
x
m x
1 1 15 17
16 15 2 16 . 15 8
4 4
f x x x x
x x
f đạt nhỏ nhất là 
17
4
 khi x=
1
4
35. Cho a>0, b>0, c>0 và a+b+c≤
3
2
. Tìm GTNN 
của 
1 1 1
f a b c
a b c
HD: Ta có thể phạm sai lầm: 
3 3
3 3
1 1
3 3 6 . 6f abc abc
abc abc
Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1 nhưng khi đó 
a+b+c=3>
3
2
 (vô lý với gt) 
Giải lại: 
3 1
3 2
a b c
x abc 
Ta có: 
3
3
1 1
3 3 3f abc x
xabc
Dự đoán f đạt nhỏ nhất khi x=
1
2
 (ứng với 
a=b=c=
1
2
). Ta chọn m>0 sao cho: 
2
1
12
1 4
x
m x
x
m x
1 1 9 15
3 4 3 3.2 4 . 9 12
2 2
f x x x x
x x
Vậy GTNN của f là 
15
2
 khi a=b=c=
1
2
36. Cho a>0, b>0, c>0 và a+b+c≤
3
2
. Tìm GTNN 
của 2 2 2
2 2 2
1 1 1
f a b c
a b c
HD: Chúng ta dự đoán GTNN xảy ra tại a=b=c
1
2
3
3
1
3 2
a b c
abc . Xét 
2
2
1
a
a
, chọn m>0 sao 
cho: 
4
2
2
1
12
16
1
a
m
a
a
ma
Ta dùng BĐT Côsi cho 17 số, trong đó 16 số là 
2
1
16a
 và số a2: 
16
2 2 2
17
2 2 2
1 1 1
16. 17
16 16
a a a
a a a
15
17
2
322
17
1 17
2
a
a
a
Dấu đẳng thức xảy ra khi a=1/2 
15
17
2
322
17
1 17
2
b
b
b
, 
15
17
2
322
17
1 17
2
c
c
c
Suy ra: 
1
15 15 15 15 15 15 3
17 17 17 17 17 17
32 32
17 17
17 17
.3
2 2
f a b c a b c 
155
1717
32 32
17 17
3 17 3 17 3 17
.2
2
2 2
f abc 
Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1/2 
GTNN của f là 
3 17
2
Chúng ta cũng có thể sử dụng BĐT véc tơ 
u v t u v t
     
Với 
1 1 1
; , ; , ;u a v b t c
a b c
  
Ta có : 
2
2 1 1 1
f a b c
a b c
23
23
1
3 ( )
( )
f abc
abc
Chúng ta giải tiếp như các bài trước với 
2
2
3 1
3 4
a b c
x abc 
1 1 15 1 15
3 3 3 2 .
16 16 16 16
x
f x x
x x x x x
1 15 1 15 3 17
3 3
2 16 2 4 2
f
x
Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1/2 
GTNN của f là 
3 17
2
37. Cho a>0, b>0, c>0 và a+b+c≤
3
2
. Tìm GTNN 
của 2 2 2
2 2 2
1 1 1
f a b c
b c a
HD: Chúng ta dự đoán GTNN xảy ra tại a=b=c
1
2
3
3
1
3 2
a b c
abc 
Xét 
2
2
1
a
b
, chọn m>0 sao cho: 
2 2
2
2
1
12
16
1
a b
m
a b
a
mb
Ta dùng BĐT Côsi cho 17 số, trong đó 16 số là 
2
1
16b
 và số a2: 
16
2 2 2
17
2 2 2
1 1 1
16. 17
16 16
a a a
b b b
1 16
17 17
2
322
17
1 17
2
a b
a
b
Dấu đẳng thức xảy ra khi a=1/2 
1 16
17 17
2
322
17
1 17
2
b c
b
c
1 16
17 17
2
322
17
1 17
2
c a
c
a
Suy ra: 
1 16 1 16 1 16
17 17 17 17 17 17
32
17
17
2
f a b b c c a 
155
1717
32 32
17 17
3 17 3 17 3 17
2
2
2 2
f abc 
Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1/2 
GTNN của f là 
3 17
2
38. Cho a>0, b>0, c>0 và 2 2 2 1a b c . Tìm 
GTNN của 
1
f a b c
abc
HD: Dự đoán: 
1
a b c
3
 và 
1
.
a b c
m abc
2
1
9m
a bc
Mặt khác 2 2 2 23
1
1 3 ( )
3 3
a b c abc abc 
4
1 8 1 8
4
9 9 9 9
f a b c abc
abc abc abc abc
4 4 3 3 3.8
8 4 3
3 93
f abc 
GTNN của f là 4 3 khi 
1
a b c
3
39. Cho x>0, y>0 và 1x y . Tìm GTNN của 
1 1
x y
f
x y
HD: 
x y x y
f y x x y
y x y x
2 2f x y x y x y (1) 
Mặt khác 
1 1 1 1
( )
y x
f x y
y x x y
 (2) 
(1) và (2) cho ta: 
24
4
1 1 2 2
2
2
f
x y xy x y
2 2 2 2f f 
Dấu đẳng thức xảy ra khi 
1
2
x y 
40. Cho x>0, y>0, z>0. Tìm GTNN của 
x y z y z z x x y
f
y z z x x y x y z
HD: 
4 4 4
3
4
x y z y z z x x y
f
y z z x x y x y z
y z z x x y
x y z
66 . . . . .
4 4 4
3
4
x y z y z z x x y
f
y z z x x y x y z
y z z x x y
x y z
3
3
4
y z z x x y
f
x x y y z z
6
3 9 15
3 .6 . . . . . 3
4 2 2
y z z x x y
f
x x y y z z
Dấu đẳng thức xảy ra khi x=y=z 
GTNN của f là 
15
2
41. Cho 4 số dương x,y,z,t. Tìm GTNN của 
x y z t
f
y z t z t x t x y x y z
y z t z t x t x y x y z
x y z t
HD: 
9 9 9 9
8
9
x y z t
f
y z t z t x t x y x y z
y z t z t x t x y x y z
x y z t
y z t z t x t x y x y z
x y z t
8 4
1 8
8.
99
y z t z t x t
f
x x x y y y z
x y x y z
z z t t t
8 8 8 32 40
.12
3 9 3 3 3
f 
Dấu đẳng thức xảy ra khi x=y=z=t. 
GTNN của f là 
40
3
42. Cho x>0, y>0. Tìm GTNN của 
1 1
4 4
x y
f
y x
HD: 
4554
1
4 4 4
xyx x y
y y y
4554
1
4 4 4
x yy x y
x x x
5
525 25
16 16
xy
f
xy
Dấu đẳng thức xảy ra khi x=y, GTNN của f là 
25
16
43. Cho x>0, y>0, z>0. Tìm GTNN của 
2 2 2
1 1 1
3 3 3
x y z
f
y z x
HD:
2 3552 2 3
1
3 3 3
x yx x y
y y y
2 3552 2 3
1
3 3 3
y zy y z
z z z
5 2 32 2 3 5
1
3 3 3
z z x z x
x x x
5
5125 125
27 27
xyz
f
xy
Dấu đẳng thức khi x=y=z, GTNN của f là 
125
27
44. Cho x>0. Tìm GTNN của 1f x
x
HD: 3
3
1 1 1 3
3
42 2 4
x
f x x
xx x x
Dấu đẳng thức xảy ra khi 
3
1 1
2 4
x x
x
GTNN của f là 
3
3
4
45. Cho x>0, y>0. Tìm GTNN của 
2
33
x x y
f
x y x
HD: Dự đoán x=y. Đặt 3
x y
t
x
thì 
2
1
f t
t
Dự đoán 
2 3
3
1
2
2
t
t m m t
t
2 2 3
1 1 3
2 2 4
t t
f t
t t
Dấu đẳng thức xảy ra khi t= 3 2 , tức là x=y 
GTNN của f là 
3
3
4
46. Cho a>0, b>0, c>0. Tìm GTNN của 
4 4 4
a b c b c c a a b
f
b c c a a b a b c
HD: Đặt 4
a
x
b c
, 4
b
y
c a
, 4
c
z
a b
Dự đoán 
4
1
2
a b c x y z 
2 2 2
1 1 1
f x y z
x y z
2 2 2
1 1 1 1
1
2 2
x x
x
x kx k x
3
2 2
1 1 1 1
3 1
4
x
x k k x
với 4
2 3
1 2
2 8
2
x
k
kx x
3
2 2 244 4 4
1 1 1 1 3 1 1
3 1 1
8 8 2 8 2 2 2 8
x
x x x
Tương tự với y và z, suy ra 
2 2 24 4
9 1 1 1 1
1
2 2 2 8
f
x y z
63
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 ( )( )( )
3