Chuyên đề 1: dãy số tự nhiên viết theo quy luật

 Chuyeân ñeà 1: DAÕY SOÁ TÖÏ NHIEÂN VIEÁT THEO QUY LUAÄT
DAÕY COÄNG
A. Mục tiêu
- Củng cố cho HS kiến thức về dãy số tự nhiên viết theo quy luật
- Rèn luyện cho HS kĩ năng tính tổng, tính số hạng thứ n
- Giáo dục ý thức tự giác, độc lập suy nghĩ
B. Chuẩn bị
- Tài liệu, hệ thống bài tập
C. Tiến trình dạy học
1) Ví du 1ï: Xeùt caùc daõy soá sau:
Daõy soá töï nhieân: 0; 1; 2; 3; …
Daõy soá leû: 1; 3; 5; …
Daõy caùc soá chia cho 3 dö 1: 1; 4; 7; 10;….
Trong caùc daõy soá treân, moãi soá haïng, keå töø soá haïng thöù hai, ñeàu lôùn hôn soá haïng ñứng lieàn tröôùc noù cuøng moät soá ñôn vò, soá ñôn vò naøy laø 1 ôû daõy a), laø 2 ôû daõy b), laø 3 ôû daõy c). Ta goïi caùc daõy treân laø daõy coäng.
2) Khaùi nieäm:
 Daõy coäng laø daõy soá coù moãi soá haïng (keå töø soá haïng thöù hai) ñeàu lôùn hôn soá haïng ñứng lieàn tröôùc noù cuøng moät soá ñôn vòù 
Xeùt daõy coäng 4; 7; 10; 13; 16; 19; …. 
	Hieäu giöõa hai soá lieân tieáp cuûa daõy laø 3. soá haïng thöù 6 cuûa daõy laø 19 = 4 + (6 - 1).3; soá haïng thöù 10 cuûa daõy laø: 4 + ( 10 – 1).3 = 31. 
Toång quaùt 1:
Neáu moät daõy coäng coù soá haïng ñaàu laø a1 vaø hieäu giöõa hai soá haïng lieân tieáp laø d
 thì soá haïng thöù n cuûa daõy ( kí hieäu laø an) baèng: an = a1 + (n – 1).d 
Ví duï2: a) Tìm soá haïng thöù 100 cuûa daõy soá: 1, 3, 5, 7, …..
	 b) Tìm soá haïng thöù 80 cuûa daõy soá : 4, 7, 10, 13, …
Giaûi: a) Soá haïng thöù 100 cuûa daõy soá: 1, 3, 5, 7, ….. laø: a100 = 1 + (100 – 1).2 = 199
	b) Soá haïng thöù 80 cuûa daõy soá: 4, 7, 10, 13,… laø: a80 = 4 + (80 – 1).3 = 241
Toång quaùt 2: 
Neáu moät daõy coäng coù n soá haïng, soá haïng ñaàu laø a1, soá haïng cuoái laø an 
Thì toång cuûa n soá haïng ñoù laø: S = 
Chuù yù; 
Daõy caùc soá töï nhieân lieân tieáp töø a ñeán b coù: (b – a ) + 1 soá
 Daõy caùc soá töï nhieân leõ (chaún) töø m ñeán n coù: (n – m): 2 + 1 soá
Ví duï 3: Tính toång caùc soá haïng cuûa daõy coäng sau: 4 + 7 + 10 +…. + 25 + 28 + 31 (goàm 10 soá)
Giaûi: S = 
Ví duï 4: a) Baïn Taâm phaûi duøng bao nhieâu chöõ soá ñeå ñaùnh soá trang saùch baèng caùc soá töï nhieân töø 1 -> 100. 
 b) Baïn Laâm ñaùnh soá trang moät cuoán saùch daøy 284 trang baèng daõy soá chaún 2, 4, 6, 8,….
 Bieát moãi chöõ soá vieát maát 1 giaây. Hoûi baïn Laâm caàn bao nhieâu phuùt ñeå ñaùnh soá trang saùch?
Giaûi: a) Baïn Taâm phaûi duøng: 9 + 90.2 + 1.3 = 192 chöõ soá.
 b) Daõy 2, 4, 6, 8 coù 4 soá, goàm 4 chöõ soá.
Daõy 10, 12, 14, 16,….98 coù: (98 – 10): 2 + 1 = 45 (soá) coù hai chöõ soá, goàm 45.2 = 90 chöõ soá.
Daõy 100, 102, 104, …284 coù: (284 – 100): 2 + 1 = 93(soá) coù 3 chöõ soá, goàm 93.3 = 279 (chöõ soá) 
Do ñoù baïn Laâm phaûi vieát taát caû: 4 + 90 + 279 = 373 (chöõ soá), heát 373 giaây hay 6 phuùt13 giaây.
LUYEÄN TAÄP
Baøi 1: Tính toång sau: 6 + 12 + 18 +….. + 1992
Giaûi: Toång 6 + 12 + 18 +….. + 1992 coù : (1992 - 6): 6 + 1 = 332 soá haïng.
 Vaäy toång: 6 + 12 + 18 +….. + 1992 = 
Baøi 2: Caàn bao nhieâu chöõ soá ñeå ñaùnh soá trang cuûa moät cuoán saùch coù taát caû laø:
358 trang.
1031 trang.
Giaûi: 
a) Muoán ñaùnh soá töø 1 ñeán 358( keå caû 358), Ta phaûi duøng:
	9 soá coù moät chöõ soá.
	(99 -10) + 1 = 90 soá coù hai chöõ soá.
	Vaø (358 – 100) + 1 = 259 soá coù ba chöõ soá.
	Vaây ta phaûi duøng: 9 + 90.2 + 259. 3 = 966 (chöõ soá).
b) Töông töï, Ta phaûi duøng: 9 + 90 .2 + 900 .3 + 32 .4 = 3017 chöõ soá ñeå ñaùnh soá trang cuûa moät cuoán saùch coù 1031 trang. 
Baøi 3: Ngöôøi ta vieát lieàn nhau daõy caùc soá töï nhieân 12345…..Hoûi chöõ soá chæ ñôn vò cuûa soá :
53 ñöùng ôû haøng thöù maáy?
328 ñöùng ôû haøng thöù maáy?
1587 ñöùng ôû haøng thöù maáy?
Giaûi: a) Töø soá 1 ñeán soá 53 ( keå caû 53) Coù: 9 + (53 -10 +1).2 = 97 chöõ soá . Vaäy 3 ôû haøng thöù 97.
 b) Vaäy 8 ôû haøng thöù 876.
	c) Vaäy 7 ôû haøng thöù 5241.
Baøi 4: Caàn bao nhieâu chöõ soá ñeå ñaùnh soá trang cuûa moät cuoán saùch coù taát caû laø:
752 trang.
1251 trang.
Giaûi: HS töï giaûi
Ñaùp soá: a) 2148 chöõ soá. 
3897 chöõ soá.
Baøi 5: Tính soá trang cuûa moät cuoán saùch. Bieát raèng ñeå ñaùnh soá trang cuûa cuoán saùch ñoù ngöôøi ta phaûi duøng 3897 chöõ soá?
Giaûi: Phaûi duøng 9 + 90.2 + 900.3 = 2889 chöõ soá ñeå vieát taát caû caùc trang coù 1, 2, vaø 3 chöõ soá. Vì 2889 < 3897 neân soá phaûi tìm laø soá coù 4 chöõ soá. Taát caû caùc soá coù 4 chöõ soá ñaõ vieát laø: (soá).
Soá thöù nhaát coù 4 chöõ soá laø 1000, vaäy soá thöù 252 coù 4 chöõ soá laø:1000 + 252 – 1 = 1251.
 Vaäy cuoán saùch coù 1251 trang.
Baøi 6*: Baïn Laâm ñaùnh soá trang moät cuoán saùch daøy 284 trang baèng daõy soá chaún 2, 4, 6, 8,….
 Giaûi:
Chöõ soá 300 cuûa daõy soá treân laø chöõ soá naøo?
Vieát daõy soá chaün töø 2 ñeán 98 phaûi duøng: 4 + 90 = 94 (chöõ soá), coøn laïi 300 - 94 = 206 (chöõ soá) ñeå vieát caùc soá chaün coù ba chöõ soá keå töø 100. 
Ta thaáy: 206:3 = 68 dö 2. Soá chaün thöù 68 keå töø 100 laø: 100 + (68 – 1) . 2 = 234. hai chöõ soá tieáp theo laø 2 vaø 3 thuoäc soá 236. Vaäy chöõ soá thöù 300 cuûa daõy laø chöõ soá 3 thuoäc soá 236.
CAÙC DAÕY KHAÙC
Ghi nhôù:
Toång cuûa n soá töï nhieân lieân tieáp baét ñaàu töø 1 baèng: 
 1 + 2 + 3 + …….+ n = 
Ví duï: Tìm soá haïng thöù 100 cuûa caùc daõy soá ñöôïc vieát theo quy luaät:
3, 8, 15, 24, 35,… (1)
3, 24, 63, 120, 195,… (2) 
1, 3, 6, 10, 15,…. (3)
2, 5, 10, 17, 26,… (4)
Giaûi: a) Daõy (1) coù theå vieát döôùi daïng: 1.3, 2.4, 3.5, 4.6, 5.7,…
	Moãi soá haïng cuûa daõy (1) laø tích cuûa hai thöøa soá, thöøa soá thöù hai lôùn hôn thöøa soá thöù nhaát 2 ñôn vò. Caùc thöøa soá thöù nhaát laøm thaønh moät daõy: 1, 2, 3, 4, 5, …; Daõy naøy coù soá haïng thöù 100 laø 100.
Soá haïng thöù 100 cuûa daõy (1) baèng: 100.102 = 10200.
	b) Daõy (2) coù theå vieát döôùi daïng: 1.3, 4.6, 7.9, 10.12, 13.15,…
Soá haïng thöù 100 cuûa daõy 1, 4, 7, 10, 13,… laø: 1 + (100 – 1 ).3 = 298.
Soá haïng thöù 100 cuûa daõy (2) baèng: 298 . = 89400.
c) Daõy (3) coù theå vieát döôùi daïng: 
Soá haïng thöù 100 cuûa daõy (3) baèng: 	
	d) Daõy (4) coù theå vieát döôùi daïng:
	1 + 12 , 1 + 22, 1 + 32, 1 + 42, 1 + 52….
Soá haïng thöù 100 cuûa daõy (4) baèng: 1 + 1002 = 10001
Baøi taäp: 
Ñeå ñaùnh soá trang moät cuoán saùch ngöôøi ta phaûi duøng taát caû 600 chöõ soá. Hoûi quyeån saùch ñoù coù bao nhieâu trang? 
Giaûi: 99 trang ñaàu caàn duøng 9.1 +90.2 = 189 Chöõ soá.
 999 trang ñaàu caàn duøng: 9.1 + 90.2 + 900.3 = 2889 chöõ soá 
 Vì: 189 < 600 < 2889 neân trang cuoái cuøng phaûi coù 3 chöõ soá. Soá chöõ soá ñeå ñaùnh soá caùc trang coù 3 chöõ soá la: ø 600 – 189 = 411 (chöõ soá)
 Soá trang coù 3 chöõ soá laø 411: 3 = 137 trang.
 Vaäy quyeãn saùch coù taát caû laø: 99 +137 = 236 trang.
 LUYEÄN TAÄP CHUNG 
1/ a) Tính toång caùc soá leõ coù hai chöõ soá.
 b) Tính toång caùc soá chaún coù hai chöõ soá.
2/ Tính toång: A = 3 + 7 + 11 + 15 + …. + 407
 B = 2 + 9 + 16 + 23 +… .. + 709
3/ Vieát lieân tieáp daõy soá töï nhieân töø 1 ñeán 100 taïo thaønh moät soá A. Tính toång caùc chöõ soá cuûa A.
Giaûi:
 1/ a) Taäp hôïp caùc soá leõ coù hai chöõ soá coù: (99 – 11):2 + 1 = 45 soá.
 Vaäy toång cuûa chuùng laø: S = 
 b) Taäp hôïp caùc soá chaún coù hai chöõ soá coù: (98 – 10 ):2 + 1 = 45 soá
 Vaäy toång cuûa chuùng laø: S = 
2/ Toång A coù (407 – 3 ):4 +1 = 102 soá haïng. Toång B coù: (709 – 2):7 + 1 = 102 soá haïng.
 Vaäy: 
3/ Theo ñeà baøi ta coù: A = 123456789101112…..9899100. Hay A = 0123456789101112….9899100.
 Töø 0 ñeán 99 coù 100 soá gheùp thaønh 50 caëp soá (0 vaø 99), (1 vaø 98),….; Moãi caëp coù toång caùc chöõ soá baèng 18. Toång caùc chöõ soá cuûa 50 caëp soá ñoù baèng 18.50 = 9.2.50 = 900. Theâm soá 100 coù toång caùc chöõ soá baèng 1. Vaäy toång caùc chöõ soá cuûa soá A laø: 900 + 1 = 901