Chương 1: Tổ hợp - Hồ Sỹ Trường

uốn chọn ra một bó hóa gồm 7 bông, hỏi có bao nhiêu cách
chọn bó hoa trong đó:
(a) Có đúng 1 bông hồng đỏ?
(b) Có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ?
Giải
(a) Có đúng 1 bông hồng đỏ.
- Trường hợp 1: 1 hồng đỏ, 1 hồng trắng, 5 hồng vàng.
+ Chọn 1 bông hồng đỏ từ 4 bông hồng đỏ, có C14 cách.
+ Chọn 1 bông hồng trắng từ 3 bông hồng trắng, có C13 cách.
+ Chọn 5 bông hồng vàng từ 5 bông hồng vàng, có C55 cách.
27
1.4 Tổ hợp GV: Hồ Sỹ Trường
Suy ra trường hợp này có C14 :C
1
3 :C
5
5 = 12 cách chọn.
- Trường hợp 2: 1 hồng đỏ, 2 hồng trắng, 4 hồng vàng.
+ Chọn 1 bông hồng đỏ từ 4 bông hồng đỏ, có C14 cách.
+ Chọn 2 bông hồng trắng từ 3 bông hồng trắng, có C23 cách.
+ Chọn 4 bông hồng vàng từ 5 bông hồng vàng, có C45 cách.
Suy ra trường hợp này có C14 :C
2
3 :C
4
5 = 60 cách chọn.
- Trường hợp 3: 1 hồng đỏ, 3 hồng trắng, 3 hồng vàng.
+ Chọn 1 bông hồng đỏ từ 4 bông hồng đỏ, có C14 cách.
+ Chọn 3 bông hồng trắng từ 3 bông hồng trắng, có C33 cách.
+ Chọn 3 bông hồng vàng từ 5 bông hồng vàng, có C35 cách.
Suy ra trường hợp này có C14 :C
3
3 :C
3
5 = 40 cách chọn.
Vậy số cách chọn có đúng 1 bông hồng đỏ là 12 + 40 + 60 = 112 cách.
(b) Có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ.
- Trường hợp 1: 3 hồng vàng, 4 hồng đỏ.
+ Chọn 4 bông hồng đỏ từ 4 bông hồng đỏ, có C44 cách.
+ Chọn 3 bông hồng vàng từ 5 bông hồng vàng, có C35 cách.
Suy ra trường hợp này có C44 :C
3
5 = 10 cách chọn.
- Trường hợp 2: 4 hồng vàng, 3 hồng đỏ.
+ Chọn 3 bông hồng đỏ từ 4 bông hồng đỏ, có C34 cách.
+ Chọn 4 bông hồng vàng từ 5 bông hồng vàng, có C45 cách.
Suy ra trường hợp này có C34 :C
4
5 = 20 cách chọn.
- Trường hợp 3: 3 hồng vàng, 3 hồng đỏ, 1 hồng trắng.
+ Chọn 3 bông hồng đỏ từ 4 bông hồng đỏ, có C34 cách.
+ Chọn 1 bông hồng trắng từ 3 bông hồng trắng, có C13 cách.
+ Chọn 3 bông hồng vàng từ 5 bông hồng vàng, có C35 cách.
Suy ra trường hợp này có C34 :C
1
3 :C
3
5 = 120 cách chọn.
Vậy số cách chọn có ít nhất 3 bông hồng đỏ, 3 bông hồng vàng là 120 + 20 + 10 = 150 cách.
Bài 6. Từ một tập thể 14 người gồm 6 nam và 8 nữ trong đó có An và Bình, người ta muốn
chọn một tổ công tác gồm có 6 người. Tìm số cách chọn trong mỗi trường hợp sau:
(a) Trong tổ phải có cả nam lẫn nữ?
(b) Trong tổ có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên hơn nữa An và Bình không đồng thời có mặt trong
tổ?
Giải
(a) Có cả nam lẫn nữ.
28
1.4 Tổ hợp GV: Hồ Sỹ Trường
Ta có số cách để chọn một tổ công tác gồm 6 người bất kì là C614.
Tiếp theo ta xét các trường hợp tổ công tác chỉ có hoặc tất cả nam hoặc tất cả nữ.
- Trường hợp 1: 6 nam.
Ta có số cách chọn là: C66 cách.
- Trường hợp 2: 6 nữ.
Ta có số cách chọn là: C68 cách.
Vậy ta có số cách chọn tổ công tác có cả nam lẫn nữ là C614 − C66 − C68 = 2974 cách.
(b) Trước tiên ta chọn tổ công tác gồm 1 tổ trưởng và 5 thành viên tuỳ ý.
Có 14 cách để chọn ra tổ trưởng và C513 cách để chọn 5 thành viên còn lại.
Vậy có 14:C513 cách để chọn ra một tổ công tác gồm 1 tổ trưởng và 5 thành viên.
Tiếp theo ta xét trường hợp tổ công tác này có cả An và Bình.
- Trường hợp 1: Nếu An hoặc Bình làm tổ trưởng.
Khi đó ta có C412 cách để chọn 4 thành viên còn lại.
Suy ra trường hợp này có 2:C412 cách chọn.
- Trường hợp 2: An và Bình đều là thành viên.
Khi đó ta có 12 cách để chọn ra tổ trưởng và C311 cách để chọn ra 3 thành viên còn lại.
Suy ra trường hợp này có 12:C311 cách chọn.
Vậy ta có số cách chọn tổ công tác gồm 1 tổ trưởng, 5 thành viên trong đó An và Bình
không đồng thời có mặt trong tổ là 14:C513 − 2:C412 − 12:C311 = 15048.
Dạng 3: Tìm số tổ hợp trong các bài toán hình học
Bài 1. Trong mặt phẳng cho n đường thẳng cắt nhau từng đôi một, nhưng không có 3
đường nào đồng quy. Hỏi có bao nhiêu giao điểm? Có bao nhiêu tam giác được tạo thành?
Giải
Ta có cứ hai đường thẳng cắt nhau sẽ cho 1 giao điểm.
Vậy số giao điểm là: C2n =
n(n− 1)
2
.
Cứ ba đường thẳng sẽ cho ta một tam giác. Vậy ta có số tam giác là: C3n =
n(n− 1)(n− 2)
6
.
Bài 2. Cho đa giác lồi có n cạnh (n ≥ 4)
(a) Tìm n để đa giác có số đường chéo bằng số cạnh?
(b) Giả sử 3 đường chéo cùng đi qua 1 đỉnh thì không đồng qui. Hãy tính số giao điểm
(không phải là đỉnh) của các đường chéo ấy?
Giải
(a) Ta có cứ 2 điểm của đa giác sẽ cho ta hoặc là 1 cạnh hoặc là 1 đường chéo của đa giác.
29
1.4 Tổ hợp GV: Hồ Sỹ Trường
Vậy ta có số đường chéo của một đa giác là C2n − n.
Theo giả thiết thì số đường chéo bằng số cạnh của đa giác nên ta có:
C2n − n = n⇔
n(n− 1)
2
− 2n = 0⇔ n2 − 5n = 0⇔
 n = 0
n = 5
Vậy ta có n = 5 là giá trị cần tìm.
(b) Giao điểm của 2 đường chéo của 1 đa giác lồi (không phải là đỉnh) chính là giao điểm
của 2 đường chéo một tứ giác mà 4 đỉnh của nó là 4 đỉnh của đa giác. Suy ra cứ 4 đỉnh của
đa giác sẽ cho ta 1 giao điểm của 2 đường chéo. Vậy số giao điểm phải tìm bằng số tứ giác
với 4 đỉnh thuộc n đỉnh của đa giác: C4n.
Bài 3. Cho hai đường thẳng song song (d1); (d2). Trên (d1) lấy 17 điểm phân biệt, trên (d2)
lấy 20 điểm phân biệt. Tính số tam giác có các đỉnh là 3 điểm trong số 37 điểm đã chọn trên
(d1) và (d2).
Giải
Để 3 điểm tạo thành 1 tam giác thì ta phải có 2 điểm thuộc (d1) và 1 điểm thuộc (d2) hoặc
2 điểm thuộc (d2) và 1 điểm thuộc (d1).
+ Trường hợp 1: 2 điểm trên (d1) và 1 điểm trên (d2).
Ta có C217 cách chọn 2 điểm trên (d1) và C
1
20 cách chọn 1 điểm trên (d2).
Suy ra trường hợp này có C217:C
1
20 = 2720 tam giác.
+ Trường hợp 2: 2 điểm trên (d2) và 1 điểm trên (d1).
Ta có C220 cách chọn 2 điểm trên (d2) và C
1
17 cách chọn 1 điểm trên (d1).
Suy ra trường hợp này có C220:C
1
17 = 3230 tam giác.
Vậy ta có số tam giác cần tìm là: 2720 + 3230 = 5950.
Bài 4. Cho mặt phẳng cho đa giác đều H có 20 cạnh. Xét các tam giác có ba đỉnh được lấy
từ các đỉnh của H.
(a) Có tất cả bao nhiêu tam giác như vậy? Có bao nhiêu tam giác có đúng hai cạnh là cạnh
của H?
(b) Có bao nhiêu tam giác có đúng một cạnh là cạnh của H? Có bao nhiêu tam giác không
có cạnh nào là cạnh của H?
Giải
(a) Đa giác đã cho có 20 cạnh, nên suy ra sẽ có 20 đỉnh.
Mà cứ 3 đỉnh thì sẽ cho ta 1 tam giác, nên ta có số tam giác cần tìm là: C320 = 1140.
Để có một tam giác có đúng 2 cạnh là cạnh của H thì ta phải lấy 3 đỉnh liên tiếp của H.
Từ đó ta suy ra có 20 tam giác có đúng 2 cạnh là cạnh của H.
(b) Để có một tam giác có đúng một cạnh của H, ta chọn một cạnh của H và một điểm của
30
1.4 Tổ hợp GV: Hồ Sỹ Trường
H mà không nằm gần với 2 điểm đầu mút của cạnh đã chọn. Suy ra với mỗi cạnh trên H, ta
có thể chọn 16 điểm (trừ ra 2 điểm đầu mút của cạnh đã chọn và 2 điểm gần với 2 điểm đã
chọn) để ghép với cạnh đó tạo thành một tam giác có đúng 1 cạnh của H.
Mà trên H ta có thể chọn được 20 cạnh.
Vậy số tam giác có đúng 1 cạnh của H là : 16.20 = 320.
Suy ra số tam giác không có cạnh nào là cạnh của H là: 1140 - 20 - 320 = 800 (tam giác).
Bài tập đề nghị
Câu 1. Chứng minh các hệ thức sau:
(a) Ckn + 4C
k−1
n + 6C
k−2
n + 4C
k−3
n + C
k−4
n = C
k
n+4 (4 ≤ k ≤ n)
(b) Cpn+1 =
n+ 1
p
Cp−1n .
(c) k(k − 1)Ckn = n(n− 1)Ck−2n− 2 (2 < k < n).
Câu 2. Giải các phương trình sau:
(a) Cx+410+x = C
2x−10
10+x . (b) x
2 − Cx4 :x+ C23 :C13 = 0. (c) A2x−2 + Cx−2x = 101.
(d) Cx+38+x = 5A
3
x+6. (e) C
1
x + 6C
2
x + 6C
3
x = 9x
2 − 14.
ĐS: (a) x = 14. (b) x = 3. (c) x = 10. (d) x = 17. (e) x = 7.
Câu 3. Giải các bất phương trình sau:
(a)
Cn−3n−1
A4n+1
<
1
14P3
. (b)
Pn+5
(n− k)! ≤ 60A
k+2
n+3. (c) C
4
n−1 − C3n−1 −
5
4
A2n−2 < 0.
ĐS: (a) n ≥ 6. (b) (0; 0); (1; 0); (1; 1); (2; 2); (3; 3). (c) n = 6; 7; 8; 9; 10.
Câu 4. Cho đa giác đều A1A2 : : : A2n(n ≥ 2) nội tiếp đường tròn (O). Biết rằng số tam giác
có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1; A2; : : : ; A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh
là 4 trong 2n điểm A1; A2; : : : ; A2n. Tìm n. (Đề tuyển sinh ĐH - CĐ Khối D - Năm 2005)
ĐS: C22n = 20C
2
n ⇔ n = 8.
Câu 5. Trong một môn học, thầy giáo có có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10
câu trung bình, 15 câu dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề
gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ ba loại câu hỏi (khó,
trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2. (Đề tuyển sinh ĐH - CĐ Khối B - Năm
2004).
ĐS: C215:C
2
10:C
1
5 + C
2
15:C
1
10:C
2
5 + C
3
15:C
1
10:C
1
5 = 56875.
Câu 6. Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu
cách phân công đội về giúp đỡ ba tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ. (Đề
tuyển sinh ĐH - CĐ Khối B - Năm 2005).
ĐS: C13 :C
4
12:C
1
2 :C
4
8 :C
1
1 :C
4
4 = 207900.
31
1.4 Tổ hợp GV: Hồ Sỹ Trường
Câu 7. Tính giá trị biểu thứcM =
A4n+1 + 3A
3
n
(n+ 1)!
, biết rằng C2n+1+2C
2
n+2+2C
2
n+3+C
2
n+4 = 149.
(Đề tuyển sinh ĐH - CĐ Khối D - Năm 2005).
ĐS: n = 5;M =
3
4
Câu 8. Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 4). Biết rằng, số tập con gồm 4 phần tử của A
bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm k ∈ {1; : : : ; n} sao cho số tập con gồm k
phần tử của A là lớn nhất. (Đề tuyển sinh ĐH - CĐ Khối B - Năm 2006).
ĐS: k = 9.
Câu 9. Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh
lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh làm nhiệm vụ, sao cho 4
học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy? (Đề
tuyển sinh ĐH - CĐ Khối D - Năm 2006).
ĐS: C412 − C25 :C14 :C13 − C15 :C24 :C13 − C15 :C14 :C23 = 225.
Câu 10. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau trong đó chữ số đứng trước phải
lớn hơn chữ số đứng sau?
ĐS: C410 = 210.
32
1.5 Nhị thức Newton GV: Hồ Sỹ Trường
1.5 Nhị thức Newton
1.5.1 Công thức khai triển nhị thức Newton:
Với mọi n ∈ N và với mọi cặp số a; b ta có:
(a+ b)n =
n∑
k=0
Ckna
n−kbk
1.5.2 Tính chất:
(1) Số các số hạng của khai triển bằng n+ 1.
(2) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n.
(3) Số hạng tổng quát (thứ k + 1) có dạng: Tk+1 = C
k
na
n−kbk (k = 0; 1; 2; : : : ; n).
(4) Các hệ số củ