Chuẩn kiến thức Hình học Lớp 12 - Thể tích khối đa diện - Trần Minh Hùng

g tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc 600. Tính diện tích tam giác SBC.
6) Mặt phẳng đi qua trục của hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh 2R.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính thể tích của khối trụ.
c) Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ.
7) Một khối nón có góc ở đỉnh bằng 1200 và có bán kính đáy bằng r . Tính diện tích của thiết diện đi qua hai đường sinh vuông góc với nhau.
8) Một khối lăng trụ đứng có chiều cao h và có đáy là một tam giác đều cạnh a. Tính thể tích của khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ này.
9) Một khối tứ diện đều có cạnh bằng a nội tiếp trong một khối nón. Tính thể tích của khối nón đó.
10) Một khối trụ gọi là nội tiếp trong một khối cầu nếu hai đường tròn đáy của khối trụ nằm trên mặt của khối cầu.
a) Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối trụ nội tiếp trong một khối cầu bán kính R nếu biết đường cao của khối trụ là h.
b) Tính giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ nội tiếp trong khối cầu bán kính R cho trước.
11) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.
a) Tính diện tích xung quanh và thể tích của của khối trụ có đường tròn của hai đáy ngoại tiếp các hình vuông ABCD và A’B’C’D’.
b) Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón có đỉnh là tâm O của hình vuông ABCD và đáy là đường tròn nội tếp hình vuông A’B’C’D’.
12) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua 8 
đỉnh của hình lập phương đã cho.
13) Cho tứ diện D.ABC có DA ^ (ABC) và DA = 5a, tam giác ABC vuông tại B và AB = 3a, BC = 4a.
	 Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua bốn đỉnh của tứ diện
14) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. 
Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua các đỉnh hình chóp.
15) Cho tứ diện D.ABC có DA ^ (ABC) và DA = 4a, tam giác ABC vuông tại B và AB = 6a, 
BC = 8a. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua bốn đỉnh A, B, C, D của tứ diện.
16) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ^ (ABCD) và SA = 2a, 
	 Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua 5 đỉnh S, A, B, C, D.
17) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. Xác định tâm và 
bán kính mặt cầu đi qua 5 đỉnh S, A, B, C, D.
18) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. 
Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ.
Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu tương ứng
19) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ^ (ABCD). Dựng mp(P) qua A và 
vuông góc với SC. Mặt phẳng (P) cắt SB, SC, SD tại B’, C’, D’.
CMR: 7 điểm A, B, C, D, A’, B’ C’, D’ luôn nằm trên một mặt cầu
Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu được tạo thành.
20) Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy bằng a, mặt bên hợp với đáy một góc bằng 600. 
Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ.
Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu tương ứng.
21) Cho hình chóp SABC có SA = SB = SC = a và có chiều cao h. 
Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ.
Tính diện tích mặt cầu đó
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I : HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1.Hệ tọa độ trong không gian
Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đội một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian.
Nếu ta lấy ba vectơ đơn vị lần lượt trên Ox, Oy, Oz thì:
2.Tọa độ của điểm và của vectơ.
M(x ; y ; z) 
Cho A(x1; y1; z1), B(x2; y2; z2) 
3.Vectơ bằng nhau. Tọa độ của vectơ tổng, hiệu.
Cho 
 * 
 * 
 * 
 * 
4.Hai vectơ cùng phương.
 . cùng phương (
5.Chia đọan thẳng theo tỉ số cho trước.
 .M chia đọan AB theo tỉ số k
 .M là trung điểm AB thì M
6.Tích vô hướng của hai vectơ.
 Cho hai vectơ 
 .
 .|
 .AB = 
 .
 .
7.Tích có hướng của hai vectơ.
 .[
 .
 .
 . cùng phương 
 . đồng phẳng 
8.Các ứng dụng. 
 .
 .
 .
9. Mặt cầu.
- Mặt cáu tâm I(a ; b ; c) có bán kính R có phương trình:
(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2
- Ngược lại, phương trình: x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d =0 là phương trình của mặt cầu nếu có điều kiện : a2 + b2 + c2 > d. Khi đó I( -a ; -b; -c) là tâm của mặt cầu và bán kính R = 
B.BÀI TÂP. 
1/ Cho . Tìm tọa độ , biết:
a) 
2/ Cho có điểm đầu là (1 ; -1 ; 3) và điểm cuối là (-2 ; 3 ; 5).
Trong các vectơ sau đây vectơ nào cùng phương với .
3/ Cho ba điểm A(2 ; 5 ; 3), B(3 ; 7 ; 4), C(x ; y ; 6). Tìm x, y để A, B, C thẳng hàng
4/ Cho hai điểm A(-1 ; 6 ; 6), B(3 ; -6 ; -2). Tìm M thuộc mp(Oxy) sao cho MA + MB nhỏ nhất.
5/ Chứng minh bốn điểm A(1 ; -1 ; 1), B(1 ; 3 ; 1), C(4 ; 3 ; 1), D(4 ; -1 ; 1) là các đỉnh của hình chữ nhật. Tính độ dài các đường chéo, xác định tâm của hình chữ nhật đó.Tính cosin của góc giữa hai vectơ 
6/ Tính tích có hướng biết.
7/ Tính biết.
.
8/ Chứng tỏ bốn điểm sau đây là bốn đinh của hình bình hành và tính diện tích của hình bình hành đó.
 A(1 ; 1 ; 1), B(2 ; 3 ; 4), C(6 ; 5 ; 2), D(7 ; 7 ; 5).
9/ Tìm trên Oy điểm cách đều hai điểm A(3 ; 1 ; 0) và B(-2 ; 4 ; 1).
10)/ Tìm trên mặt phẳng Oxz cách đều ba điểm A(1 ; 1 ; 1), B(-1 ; 1 ; 0), C(3 ; 1 ; -1).
11/ Cho hai điểm A(2 ; -1 ; 7), B(4 ; 5 ; -2). Đường thẳng AB cắt mp(Oyz) tại điểm M. Điểm M chia đọan AB theo tỉ số nào? Tìm tọa độ điểm M.
12/ Xét sự đồng phẳng của ba vectơ trong mỗi trường hợp sau.
a) 
b) 
13/ Cho ba vectơ 
Chứng minh không thẳng hàng.
Biểu thị theo ba vectơ .
14/ a) Cho . Tìm m để 
b) Cho . Tìm m để 
 c) Cho . Tìm cùng phương với , biết rằng .
15/ Trong không gian tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(1 ; 1 ; 0), B0 ; 2 ; 1), C(1 ; 0 ; 2),
 D(1 ; 1 ; 1).
Chứng minh bốn điểm không đồng phẳng. Tính thể tích tứ diện ABCD.
Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC, trọng tâm tứ diện ABCD.
Tính diện tích các mẳt của tứ diện.
Tính độ dài các đường cao của khối tứ diện.
Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
16/ Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 0 ; 1), C(2 ; 1 ; 1).
Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.
Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC.
Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành.
Tính độ dài đường cao ha của tam giác ABC.
Tính các góc của tam giác ABC.
Xác định tọa độ trực tâm của tam giác ABC.
Xác định tọa độ tâm đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC.
17/ Cho bốn điểm A(2 ; -1 ; 6), B(-3 ; -1 ; -4), C(5 ; -1 ; 0), D(1 ; 2 ; 1).
Chứng minh ABC là tam giác vuông. 
Tính bán kính đường tròn nội, ngọai tiếp tam giác ABC.
Tính độ dài đường phân giác trong của tam giác ABC vẽ từ đỉnh C.
18/ Cho tứ diện ABCD có đỉnh A(2 ; 1 ; -1), B(3 ; 0 ; 1), C(2 ; -1 ; 3) và D thuộc trục Oy. Biết VABCD = 5. Tính tọa độ đỉnh D.
19/ Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’B’ cạnh a.
Chứng minh A’C.
Gọi M là trung điểm AD, N là trung điểm BB’.Chứng minh A’C.
Tính cosin của góc giữa hai vectơ và .
Tính VA’CMN.
20/ Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:
Tâm I(1 ; 0 ; -1), đường kính bằng 8.
Đường kính AB với A(-1 ; 2 ; 1), B(0 ; 2 ; 3)
Tâm O(0 ; 0 ; 0) tiếp xúc với mặt cầu tâm I(3 ; -2 ; 4) và bán kính R = 1
Tâm I(2 ;-1 ; 3) và đi qua A(7 ; 2 ; 1).
Tâm I(-2 ; 1 ; – 3) và tiếp xúc mp(Oxy).
Tâm I(-2 ; 1 ; -3) và tiếp xúc trục Oy
Tâm I(-2 ; 1 ; -3) và bán là OI.
21/ Trong các phương trình sau phương trình nào là phương trình của mặt cầu.
x2 + y2 + z2 -2x – 6y – 8z + 1 = 0
x2 + y2 + z2 – 2y = 0
2x2 + 2y2 + 2z2 – 2x – 4y + 6z - 2 = 0
x2 + y2 + z2 – 3x + 4y – 8z + 25 = 0
22) Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:
 a) Đi qua ba điểm A(1 ; 2 ; -4), B(1 ; -3 ; 1), C( 2 ; 2 ; 3) và có tâm nằm trên mp(Oxy).
 b) Đi qua hai điểm A(3 ; -1 ; 2), B(1 ; 1 ; -2) và có tâm thuộc trục Oz.
 c) Đi qua bốn điểm A(1 ; 1 ; 1), B(1 ; 2 ; 1), C(1 ; 1 ; 2), D(2 ; 2 ; 1).
23/ Cho phương trình x2 + y2 + z2 – 4mx + 4y + 2mz + m2 + 4m = 0.Tìm m để nó là phương trình một mặt cầu và tìm m để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất.
II.PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
* vectơ được gọi là VTPT của mp( nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với mp(, viết tắt là 
* Nếu không cùng phương và các đường thẳng chứa chúng song song với (hoặc nằm trên) một mp(( còn gọi là cặp vectơ chỉ phương của mp() thì :
là một VTPT của mp(.
2. Phương trình tổng quát:
Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2 
VTPT A ; B ; C)
3. mp
4. Trường hợp đặc biệt. Cho mp(: Ax + By + Cz + D = 0. Khi đó:
* D = 0 (đi qua gốc tọa độ.
* C = 0 , D song song với trục Oz
 C = D = 0 chứa trục Oz.
* B = C = 0 , D song song với mp(Oyz).
* B = C = D = 0 chính là mp(Oyz)
( Các trường hợp khác suy ra tương tự).
5. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng. 
Cho hai mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0 và : A’x + B’y + C’z + D’ = 0.
Chú ý: Ta quy ước nếu một “ phân số” nào đó có “ mẫu số “ bằng 0 thì “tử số “cũng bằng 0.
6. Phương trình theo đọan chắn của mặt phẳng. 
Mp( cắt Ox tại A(a ; 0 ; 0), cắt Oy tại B(0 ; b ; 0), cắt Oz tại C(0 ; 0 ; c) có phương trình là:
7. Góc của hai mặt phẳng.
Cho hai mặt phẳng : Ax + By + Cz + D = 0 và : A’x + B’y + C’z + D = 0
Gọi là góc của hai mặt phẳng, ta có:
8. Khỏang cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Cho mp(: Ax + By + Cz + D = 0 và điểm M0(x0 ; y0 ; z0 ). Khi đó:
d(M0, () = 
II.BÀI TẬP.
1.Trong mỗi trường hợp sau viết phương trình mặt phẳng (P).
a) Qua điểm M0(x0 ; y0 ; z0) và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Oxz).
b) Qua các hình chiếu của điểm M0(x0 ; y0 ; z0) với( x0.y0.z0 ), lên các Ox, Oy, Oz.
c) Qua điểm M0(x0 ; y0 ; z0) với (x0y0z0 và lần lượt chứa các trục Ox ; Oy ; Oz.
2. Trong mỗi trường hợp sau , viết phương trình mặt phẳng (P).
a) Đi qua ba điểm A(-1 ; 2 ; 3), B(2 ; -4 ; 3), C(4 ; 5 ; 6)
b) Đi qua điểm M0(1 ; 3 ; - 2) và vuông góc với trục Oy.
c) Đi qua M0(2; -1 ; 3) và vuông góc với BC với B(0 ; 2 ; 1), C(1 ; 4 ; 1)
d) Đi qua M(1 ; 3 ; 2) và song song với mặt phẳng 2x – y + z + 4 = 0.
e) Đi qua hai điểm A(3 ; 1 ; -1), B(2 ; -1 ; 4) và vuông góc với mặt phẳng 
x – y + 2z = 0
g) Đi qua M0(