Chủ đề tự chọn: Cực trị hình học

KM = 1/2EH
Do đó : chu vi EFGH = EF +FG +GH +EH =2(AI + IK + KM + MC)
Ta lại có : AI + IK + KM + MC ≥ AC 
Suy ra chu vi EFGH ≥ 2AC ( độ dài AC không đổi )
Chu vi EFGH nhỏ nhất bằng 2AC Û A,I,K,M,C thẳng hàng.
Khi đó ta có EH//AC,FG//AC, nên EF//DB , tương tự GH//DB .Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành có các cạnh song song với các đường chéo của hình chữ nhật ABCD (h.13).
Sử dụng các bất đẳng thức trong đường tròn.
C
C
a-Kiến thức cần nhớ:
h.14
h.15
h.16
h.17
C
D
A
B
O
O
A
O
B
C
D
D
A
B
A
B
C
D
D
H
K
a1) AB là đường kính , CD là dây bất kỳ Þ CD ≤ AB (h.14)
a2) OH,OK là các khoảng cách từ tâm đến dây AB và CD : 
AB ≥ CD Û OH ≤ OK (h.15)
a3) AB,CD là các cung nhỏ của (O) : AB ≥ CD Û (h.16)
a4) AB,CD là các cung nhỏ của (O) : AB ≥ CD Û (h.17)
b-Các ví dụ:
Ví dụ 7: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau ở A và B . một cát tuyến chung bất kỳ CBD (B nằm giữa C và D) cắt các đường tròn (O) và (O’) tại C và D . Xác định vị trí của cát tuyến CBD để DACD có chu vi lớn nhất.
h.18
A
B
C
D
D’
C’
O
O’
n
m
Giải:
sđ =sđ ; sđ =sđ
Þ số đo các góc DACD không đổi 
Þ DACD có chu vi lớn nhất khi một cạnh của nó lớn nhất , chẳng hạn AC là lớn nhất.
AC là dây của đường tròn (O) , do đó AC lớn nhất khi AC là đường kính của đường tròn (O), khi đó AD là đường kính của đường tròn (O’). Cát tuyến CBD ở vị trí C’BD’ vuông góc với dây chung AB.
O
A
B
P
P
H
A’
B’
A’
h.19
)
Ví dụ 8: Cho đường tròn (O) và một điểm P nằm trong đường tròn . Xác định dây AB đi qua P sao cho có giá trị lớn nhất .
Giải:
Xét tam giác cân OAB , góc ở đáy lớn nhất nếu góc ở đỉnh nhỏ nhất .
sđ 
Góc nhỏ nhất Û Cung nhỏ nhất Û dây AB nhỏ nhất Û Khoảng cách đến tâm OH lớn nhất.
Ta có OH ≤ OP 
OH =OP Û H ≡ P nên max OH = OP Û AB ^ OP 
Suy ra dây AB phải xác định là dây A’B’ vuông góc với OP tại P .
Sử dụng bất đẳng thức về lũy thừa bậc hai .
a-Kiến thức cần nhớ:
Các bất đẳng thức về lũy thừa bậc hai được sử dụng dưới dạng :
A2 ≥ 0 ; -A2 ≤ 0 
 	Do đó với m là hằng số , ta có :
f =A2 + m ≥ m ; min f = m với A = 0
f = - A2 + m ≤ m ; max f = m với A = 0
H
A
B
C
D
E
F
G
x
4-x
4-x
h.20
b-Các ví dụ:
Ví dụ 9: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4cm . Trên các cạnh AB, BC,CD,DA, lấy theo thứ tự các điểm E,F,G,H sao cho AE = BF = CG = DH . Tính độ dài AE sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất.
Giải:	
DAHE = DBEF = DCFG = DDGH
Þ HE = EF = FG = GH , HEF = 900
Þ HEFG là hình vuông nên chu vi EFGH nhỏ nhất khi HE nhỏ nhất .
Đặt AE = x thì HA = EB = 4-x
DHAE vuông tại A nên :
HE 2 = AE2 +AE2 = x2 + (4 - x)2  = 2x2 - 8x +16 = 2(x - 2)2 +8 ≥ 8
HE = =2 Û x = 2
Chu vi tứ giác EFGH nhỏ nhất bằng 8cm , khi đó AE = 2 cm .
Ví dụ 10: Cho tam giác vuông ABC có độ dài các cạnh góc vuông AB = 6 cm, AC = 8cm.M là điểm di chuyển trên cạnh huyền BC.Gọi D và E là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến AB và AC . Tính diện tích lớn nhất của tứ giác ADME.
Giải:	
h.21
A
B
D
x
8-x
E
M
ADME là hình chữ nhật .
Đặt AD = x thì ME = x
ME //AB Þ 
C
Þ AE = 8 -x
Ta có : SADME = AD .AE = x ( 8 -x ) = 8x - x2
	 = -(x - 3)2 +12 ≤ 12
SADME = 12 cm2 Û x =3 
Diện tích lớn nhất của tứ giác ADME bằng 12 cm2 ,khi đó D là trung điểm của AB , M là trung điểm của BC và E là trung điểm của AC.
Sử dụng bất đẳng thức Cô-si .
a-Kiến thức cần nhớ:
 Bất đẳng thức Cô-si :Với x ≥ 0 ; y ≥ 0 ta có :
 	 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y
Bất đẳng thức Cô-si thường được sử dụng dưới các dạng sau :
+ Dạng 1: 	Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y
+ Dạng 2: 	;
 ;
 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y
+ Dạng 3:Với x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; x +y không đổi thì xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y
 + Dạng4: Với x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; xy không đổi thì x+y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y
b-Các ví dụ:
Ví dụ 11: Cho đoạn thẳng AB, điểm M di chuyển trên đoạn thẳng ấy . Vẽ các đường tròn có đường kính MA và MB . Xác định vị trí của điểm M để tổng diện tích của hai hình tròn có giá trị nhỏ nhất .
·
·
O
O’
A
M
B
x
y
h.22
Giải : 
Đặt MA =x , MB = y
Ta có : x + y =AB (0 < x,y < AB)
Gọi S và S’ theo thứ tự là diện tích của hai hình tròn có đường kính là MA và MB .
Ta có :
S +S’ = = p.
Ta có bất đẳng thức : nên :
S +S’=
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y
Do đó min (S+S’) = .Khi đó M là trung điểm của AB.
Ví dụ 12: Cho điểm M nằm trên đoạn thẳng AB .Vẽ về một phía của AB các tia Ax và By vuông góc với AB . Qua M có hai đường thẳng thay đổi luôn vuông góc với nhau và cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D . Xác định vị trí của các điểm C,D sao cho tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất .
A
B
M
a
b
C
x
y
D
a(
a
h.23
Giải : 
Ta có : SMCD = MC.MD
Đặt MA = a , MB = b
MC = , MD = 
SMCD = 
Do a,b là hằng số nên SMCD nhỏ nhất Û 2sina.cosa lớn nhất .
Theo bất đẳng thức 	2xy £ x2 +y2 	ta có :
2sina.cosa £ sin2a +cos2a = 1 	nên	 SMCD ≥ ab
SMCD = ab Û sina = cosa Û sina = sin(900-a) Û a = 900-a Û a = 450 
Û DAMC và DBMD vuông cân.
Vậy min SMCD = ab .Khi đó các điểm C,D được xác định trên tia Ax ; By sao cho AC = AM , BD = BM .
Ví dụ 13: Cho DABC , điểm M di động trên cạnh BC . Qua M kẻ các đường thẳng song song với AC và với AB , chúng cắt AB và AC theo thứ tự ở D và E.Xác định vị trí của điểm M sao cho hình bình hành ADME có diện tích lớn nhất.
A
B
C
M
x
y
D
K
H
E
1
2
h.24
Giải : 
SADME lớn nhất Û lớn nhất 
Kẻ BK ^ AC cắt MD ở H.
SADME = MD . HK
SABC = AC . BK
Đặt MB = x , MC = y , 
MD//AC ta có : 	; 
Theo bất đẳng thức 	Þ . 	
Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y
Vậy 	maxSADME =SABC khi đó M là trung điểm của BC.
Ví dụ 14: Cho D ABC vuông cân có cạnh huyền BC = a . Gọi D là trung điểm của AB. Điểm E di chuyển trên cạnh AC. Gọi H,K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ D, E đến BC . Tính diện tích lớn nhất của hình thang DEKH . Khi đó hình thang trở thành hình gì ?
Giải:
Ta có : 
2SDEKH = (DH +EK).HK = ( BH +KC ) .HK
Mà (BH + KC) +HK =BC = a không đổi 
Nên (BH + KC) .HK lớn nhất ÛBH + KC) = HK = 
A
D
D
B
H
K
C
E
h.25
Do đó :
max SDEKH =
Khi đó đường cao HK = suy ra :
KC = BC -BH –HK = a - - = 
Do đó DH = HB = , EK = KC = . 
Hình thang DEKH là hình chữ nhật , E là trung điểm của AC.
Sử dụng tỉ số lượng giác.
A
B
C
a
c
b
h.26
a-Kiến thức cần nhớ:
Hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông
+ b = a.sinB = a.cosC
+ b = c.tgB = c.cotgC
b-Các ví dụ:
Ví dụ 15: Chứng minh rằng trong các tam giác cân có cùng diện tích tam giác có cạnh đáy nhỏ hơnlà tam giác có góc ở đỉnh nhỏ hơn.
h.27
A
B
C
H
Giải:
Xét các tam giác ABC cân tại A có cùng diện tích S. Kẻ đường cao AH . Đặt = a
DAHC vuông tại H, ta có :
 , 
AH = HC .cotg =BC.cotg
Do đó : S = BC.AH = BC.BC.cotg =BC2cotg
Þ BC = 
Do S không đổi nên :
BC nhỏ nhất Û tg nhỏ nhất Û nhỏ nhất Û a nhỏ nhất Û nhỏ nhất 
Ví dụ 16: Cho hình chữ nhật ABCD. Trên các cạnh BC,CD lần lượt lấy các điểm K,M sao cho BK : KC = 4 : 1, CM : MD = 4 : 1.Tìm tỉ số AB : BC để số đo góc lớn nhất . 
( Cho công thức biến đổi tg( x +y )= )
Giải:
A
B
C
D
M
M
K
x
y
h.28
Đặt , ( x + y < 900 )
lớn nhất Û + nhỏ nhất 
Û x + y nhỏ nhất Û tan (x + y) nhỏ nhất 
Giả sử AB : BC = 1 : m ( m> 0)
tg x = 
tg y = 
tg( x +y )= = =
tg (x + y) nhỏ nhất Û nhỏ nhất 
Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:
 ≥ 
Dấu đẳng thức xảy ra Û Û m = 
Vậy x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi m =
Do đó lớn nhất khi và chỉ khi AB : BC = 2 : 1
Phần 3: Bài tập ôn luyện
Bài 1 : Cho hình vuông ABCD . Hãy xác định đường thẳng d đi qua tâm hình vuông sao cho tổng các khoảng cách từ bốn đỉnh của hình vuông đến đường thẳng đó là :
Lớn nhất
h.29
A
B
M
C
D
D’
A’
O
N
H
C’
B’
d
Nhỏ nhất 
Hướng dẫn:
Xét trường hợp d cắt hai cạnh đối BC và AD (h.29)
Gọi m là tổng các khoảng cách từ bốn đỉnh hình vuông đến D.
m =2(AA’ +BB’)
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và A’B’
Suy ra : m = 4MN do đó:
m lớn nhất Û MN lớn nhất
m nhỏ nhất Û MN nhỏ nhất
a) MN £ MO Þ m lớn nhất Û M≡O Û d//AB
b)kẻ MH ^ OB . Chứng minh MN ≥MH Þ MN nhỏ nhất Û N ≡H Û d≡BD hoặc d ≡AC.
Bài 2 : Cho DABC vuông cân tại A các điểm D,E theo thứ tự di chuyển trên các cạnh AB ,AC sao cho BD = AE . Xác định vị trí các điểm D,E sao cho :
DE có độ dài nhỏ nhất .
A
B
D
C
E
M
I
h.30
Tứ giác BDEC có diện tích lớn nhất .
Hướng dẫn: (h.30)
a)Gọi M là trung điểm của BC .
DBDM = DAEM Þ
Þ
Gọi I là trung điểm của DE .
DE = DI+IE =AI + IM ≥ AM
Min DE = AM Û I là trung điểm của AM
Û D là trung điểm của AB và E là trung điểm của AC
 b)Đặt AE = x, AB =AC =a thì AD = a - x , SADE = 
SBDEC nhỏ nhất Û SADE lớn nhất Û x(a - x) lớn nhất
Do x +( a- x) = a không đổi nên x( a - x) lớn nhất Û x = a - x Û x = a/2
Khi đó D là trung điểm của AB và E là trung điểm của AC
Bài 3 : Cho D ABC vuông tại A có BC = a , diện tích là S . Gọi m là trung điểm của BC . Hai dường thẳng thay đổi qua M và vuông góc với nhau cắt các cạnh AB , AC ở D ,E .Tìm :
Giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng DE .
h.31
A
B
C
M
D
O
E
Giá trị nhỏ nhất của diện tích D MDE
Hướng dẫn:
a) (h.31)Gọi O là trung điểm của DE
Ta có OA = OD =OE = OM 
Þ DE = OA + OM ≥ AM = 
minDE = a/2 Û O là trung điểm của AM 
h.32
A
B
C
M
D
K
E
H
Û D là trung điểm của AB và E là trung điểm của AC
b) (h.32)Kẻ MH ^ AB , MK ^ AC 
ME ≥ MK , MD ≥ MH .
2SMDE = MD.ME ≥ MH.MK =. =
minSMDE = Û D ≡ H và E ≡ K
Bài 4 : Cho điểm m di chuyển trên đoạn thẳng AB .Vẽ các tam giác đềuAMC và BMD về một phía của AB . Xác định vị trí của M để tổng diện tích hai tam giác đều tren là nhỏ nhất .
h.33
K
A
B
M
D
C
1
2
x
y
Hướng dẫn: (h.33)
Gọi K là giao điểm của AC và BD .
Các tam giác AMC ,BMD đồng dạng với DAKB
Đặt AM = x ,BM = y , AB = a ta có :
;
Þ
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y
Do đó : min (S1 +S2) = Û M là trung điểm của AB.
Bài 5 : Cho tam giác nhọn ABC có các cạnh a,b,c tương ứng đường cao AH =H. Hãy dựng hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong tam giác ABC sao cho nó có diện tích lớn nhất . Biết M ÎAB ; N Î AC ; P,Q Î BC.
h.34
A
M
B
Q
H
P
C
N
y
I
h-x
Hướng dẫn: (h.34)
Gọi I là giao điểm của A