Các phương pháp tính tích phân - Vũ Ngọc Vinh

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
A. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Dấu hiệu
Cách chọn
Đặt x = |a| sint; với 
hoặc x = |a| cost; với 
Đặt x = ; với 
hoặc x = ; với 
Đặt x = |a|tant; với 
hoặc x = |a|cost; với 
 hoặc 
Đặt x = acos2t
Đặt x = a + (b – a)sin2t
Đặt x = atant; với 
Bài 1: Tính 
Giải:
	Đặt x = cost, . dx = - sint dt
	Đổi cận: 
x
t
1
0
	Khi đó: = = = = =
	 = = . (v? nên sint )
Bài 2: Tính 
Giải:
	Đặt x = asint, . dx = acostdt
Đổi cận: 
x
0
a
t
0
	Khi đó: = = = =
 = = = 
Bài 3: Tính 
Giải:
	Đặt x = sint, . dx = costdt
	Đổi cận: 
x
0
1
t
0
	Khi đó: = = = = = = 
Bài 4: Tính 
Giải:
	Đặt t = t2 = 1 – x2 xdx = -tdt
	Đổi cận: 
x
0
1
t
1
0
	Khi đó: = = = = = 
Bài 5: Tính 
Giải:
	Đặt t = lnx dt = 
	Đổi cận: 
x
e
e2
t
1
2
	Khi đó: = = 
Bài 6: Tính 
Giải:
	Đặt t = x4 + 1 dt = 4x3dx 
	Đổi cận: 
x
0
1
t
1
2
	Khi đó: = 
Bài 7: Tính 
Giải:
	Đặt t = sinx ; 
	Đổi cận: 
x
0
t
0
1
	Khi đó: .
Bài 8: Tính 
Giải: 
Ta có: 
	Đặt t = cos4x ; 
	Đổi cận: 
x
0
t
1
	Khi đó: 
Bài 9: Tính 
Giải:
	Ta có: 
	Đặt t = sinx ; 
	Đổi cận: 
x
0
t
0
	Khi đó: 
Bài 10: Tính 
Giải:
	Đặt t = tanx ; 
	Đổi cận: 
x
0
t
0
1
	Khi đó: 
Bài 11: Tính 
Giải:
	Đặt t = sinx ; 
	Đổi cận: 
x
t
1
	Khi đó: 
Bài 12: Tính 
Giải:
	Đặt t = sinx ; 
	Đổi cận: 
x
t
0
1
	Khi đó: 
Bài 13: Tính 
Giải:
	Đặt t = sin2x ; 
	Đổi cận: 
x
t
0
1
	Khi đó: 
Bài 14: Tính 
Giải:
	Đặt t = 1 + cos2x ; 
	Đổi cận: 
x
t
2
1
	Khi đó: 
Bài 15: Tính 
Giải:
	Đặt t = tanx ; 
	Đổi cận: 
x
t
0
1
	Khi đó: 
Bài 16: Tính 
Giải:
	Đặt t = ; 
	Đổi cận: 
x
1
t
0
1
	Khi đó: 
Bài 17: Tính 
Giải:
	Đặt t = 
	Đổi cận: 
x
1
t
1
0
	Khi đó: 
Bài 18: Tính 
Giải:
 Ta có:
	Đặt với 
	Đổi cận: 
x
-1
0
t
0
	Khi đó: 
Bài 19: Tính 
Giải:
 Ta có: 
	Đặt với 
	Đổi cận: 
x
0
0
t
0
	Khi đó: 
Bài 20: Tính 
Giải:
	Đặt 
	Đổi cận: 
x
1
e
t
1
	Khi đó: 
Bài 21: Tính 
Giải:
	Đặt 
	Đổi cận: 
x
1
1
t
ln2
0
	Khi đó: 
Bài 22: Tính 
Giải:
	Đặt với 
	Đổi cận: 
x
0
t
0
	Khi đó: 
Bài 23: Tính 
Giải:
	Đặt 
	Ta tính: 
	Đổi cận: 
x
t
1
	Khi đó: 
Bài 24: Tính 
Giải:
	Đặt 
	Đổi cận: 
x
1
e
t
1
2
	Khi đó: 
Bài 25: Tính 
Giải:
	Đặt 
	Đổi cận: 
x
0
1
t
0
1
	Khi đó: 
Bài 26: Tính 
Giải:
	Ta có: 
	Đặt 
	Đổi cận: 
x
1
t
0
1
	Khi đó: 
	Đặt 
	Đổi cận: 
x
0
1
t
0
	Vậy 
Bài 27: Tính 
Giải:
	Ta có: 
	Đặt 
	Đổi cận: 
x
1
2
t
3
Khi đó:	
Bài 28: Tính 
Giải: 
	Ta có: 
	Đặt 
	Đổi cận: 
x
0
2
t
2
3
	Khi đó: 
Bài 29: Tính 
Giải:
	Đặt 
	Đổi cận: 
x
0
ln2
t
1
2
	Khi đó: 
Bài 30: Tính 
Giải:
	Đặt 
	Đổi cận: 
x
1
4
t
1
2
	Khi đó: 
Bài 31: Tính 
Giải:
	Đặt 
	Đổi cận: 
x
0
1
t
0
	Khi đó: 
Bài 32: Tính 
Giải:
Bài 33: Tính 
Giải:
Bài 34: Tính 
Giải:
Bài 35: Tính 
Giải: 
Bài 36: Tính 
Giải: 
Bài 37: Tính 
Giải: 
Bài 38: Tính 
Giải: 
Bài 39: Tính 
Giải:
Đặt 
	Đổi cận: 
x
0
1
t
0
1
	Khi đó: 
Đặt 
	Đổi cận: 
t
0
1
y
	Khi đó: 
Đặt 
	Đổi cận: 
y
z
	Khi đó: 
Đặt 
	Đổi cận: 
z
u
Ta được: 
Bài 40: Tính 
Giải:
Đặt 
	Đổi cận: 
x
0
1
t
1
3
	Khi đó: 
Bài 41: Tính 
Giải:
Đặt 
	Đổi cận: 
x
-1
0
t
0
1
	Khi đó: 
Bài 42: Tính 
Giải:
Bài 43: Tính 
Giải:
	Ta có: 
Đặt 
	Đổi cận: 
x
0
1
t
1
4
	Khi đó: 
Bài 44: Tính 
Giải:
Đặt 
	Đổi cận: 
x
0
1
t
1
2
	Khi đó: 
Vậy 
Bài 45: Tính 
Giải:
	Ta có: 
Đặt 
	Đổi cận: 
x
0
t
2
	Khi đó: 
Bài 46: Tính 
Giải:
Bài 47: Tính 
Giải:
	Ta có: 
Đặt 
	Đổi cận: 
x
0
t
2
	Khi đó: 
Bài 48: Tính 
Giải:
	Ta có: 
Đặt 
	Đổi cận: 
x
0
t
2
	Khi đó:
Bài 49: Tính 
Giải:
Đặt 
	Đổi cận: 
x
0
t
1
2
	Khi đó: 
Bài 50: Tính 
Giải:
	Ta có: 
Đặt 
	Đổi cận: 
x
0
t
1
0
	Khi đó: 
Bài 51: Tính 
Giải:
	Ta có: 
Đặt 
	Đổi cận: 
x
0
t
|a|
|b|
	Khi đó: 
Bài 52: Tính 
Giải:
Đặt 
	Đổi cận: 
x
0
2
t
2
	Khi đó: 
Bài 53: Tính 
Giải:
Đặt 
	Đổi cận: 
x
4
t
4
5
	Khi đó: 
Bài 54: Tính 
Giải:
Đặt 
	Đổi cận: 
x
0
t
0
1
	Khi đó: 
Tính: 
Tính: 
Tính: (với t = tanu)
Vậy 
Bài 55: Tính 
Giải:
	Ta có: 
Đặt 
	Đổi cận: 
x
t
0
	Khi đó: 
Bài 56: Tính 
Giải:
	Ta có: 
Tính 
Đặt 
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta được:
Tính 
Vậy 
Bài 57: Tính 
Giải:
	Ta có: 
Đặt 
	Đổi cận: 
x
0
1
t
1
2
	Khi đó: 
Bài 58: Tính 
Giải:
Đặt 
	Đổi cận: 
x
-1
1
t
9
1
	Khi đó: 
Bài 59: Tính 
Giải:
Đặt 
	Đổi cận: 
x
1
9
t
0
-8
	Khi đó: 
Bài 60: Tính 
Giải:
Bài 61: Tính 
Giải:
Đặt 
	Đổi cận: 
x
0
1
t
1
e
	Khi đó: 
Bài 62: Tính 
Giải:
Đặt 
	Đổi cận: 
x
-2
1
t
1
6
	Khi đó: 
Bài 63: Tính 
Giải:
Đặt 
	Đổi cận: 
x
1
e
t
0
1
	Khi đó: 
Bài 64: Tính 
Giải:
Đặt 
	Đổi cận: 
x
3
5
t
3
9
	Khi đó: 
Bài 65: Tính 
Giải:
Bài 66: Tính 
Đặt 
	Đổi cận: 
x
0
1
t
0
1
	Khi đó: 
Đặt 
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta được:
B. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Tích phân các hàm số dạng P(x)sinax; P(x)cosax; P(x)eax trong đó P(x) là một đa thức Đặt 
Tích phân các hàm số dạng P(x)lnx trong đó P(x) là một đa thức Đặt 
Bài 1: Tính 
Đặt 
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
Bài 2: Tính 
Đặt 
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
Bài 3: Tính 
Đặt 
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
	Tiếp tục tính: 
Đặt 
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
Vậy I = e - 2
Bài 4: Tính 
Đặt 
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
Bài 5: Tính 
	Ta có: 
Tính 
Đặt 
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
Vậy 
Bài 6: Tính 
Giải:
	Ta có: 
	Đặt 
	Đổi cận: 
x
0
t
0
1
	Khi đó:
Đặt 
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
Vậy I = 2
Bài 7: Tính 
Đặt 
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
Bài 8: Tính 
Đặt 
	Đổi cận: 
x
0
1
t
1
2
	Khi đó:
Đặt 
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
Vậy 
Bài 9: Tính 
Đặt 
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
Bài 10: Tính 
Đặt 
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần
Bài 11: Tính 
Đặt 
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần
Tính 
Đặt 
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần
Suy ra: 
Bài 12: Tính 
Ta có: 
Tính: 
Đặt 
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần
Tính: 
 Vậy 
C. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH GIÁN TIẾP
Bài 1: Tính 
Giải:
	Đặt 
	Đổi cận: 
x
t
0
	Khi đó: 
Vậy 
Bài 2: Tính 
Giải:
	Đặt 
	Đổi cận: 
x
t
0
	Khi đó: 
Vậy 
Bài 3: Tính các tích phân: và 
Ta có: 
Từ đó suy ra: và 
Bài 4: Tính 
Giải:
	Đặt 
	Đổi cận: 
x
t
0
	Khi đó: 
Vậy 
Bài 5: Tính 
Giải:
	Đặt 
	Đổi cận: 
x
t
0
	Khi đó: 
Vậy 
Bài 6: Tính 
Giải:
	Đặt 
	Đổi cận: 
x
t
	Khi đó: 
 (do )
Đặt 
	Đổi cận: 
t
y
	Khi đó: 
Bài 7: Tính 
Giải:
	Đặt 
	Đổi cận: 
x
t
0
	Khi đó: 
D. THAM KHẢO ĐỀ THI ĐẠI HỌC 2010
1. Khối B – 2010.
Tính tích phân I = 
Giải. 
; 
x
1 e
u
0 1
2. Khối D – 2010.
Tính tích phân 
Giải.
	;	Đặt ; 
	Tính I2 : Đặt t = lnx Þ 
	x = 1 ; t = 0; x = e ; t = 1.	. Vậy 
3. Khối A – 2010
Tính tích phân : 
Giải.
; 
 = = = . 
Vậy I =