Các phương pháp tính tích phân trong luyện thi Đại học

phân .
Giải
Đặt 
.
Vậy .
Ví dụ 5. Tính tích phân .
Giải
Đặt 
.
Vậy .
II. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Phương pháp giải toán
1. Dạng 1
 Giả sử cần tính tích phân , ta thực hiện các bước sau
Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:
Bước 2. Tính .
Ví dụ 1. Tính tích phân .
Giải
Bảng xét dấu
.
Vậy .
Ví dụ 2. Tính tích phân .
Giải
.
Bảng xét dấu
.
Vậy .
2. Dạng 2
Giả sử cần tính tích phân , ta thực hiện
Cách 1.
Tách rồi sử dụng dạng 1 ở trên.
Cách 2.
Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).
Ví dụ 1. Tính tích phân .
Giải
Cách 1.
.
Cách 2.
Bảng xét dấu
x
 –1 0 1 2
x
 – 0 + +
x – 1
 – – 0 +
.
Vậy .
3. Dạng 3
Để tính các tích phân và , ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số trên đoạn [a; b].
Bước 2. 
+ Nếu thì và .
+ Nếu thì và .
Ví dụ 1. Tính tích phân .
Giải
Đặt .
Bảng xét dấu
x
0 1 3 4
h(x)
 + 0 – 0 +
.
Vậy .
Ví dụ 2. Tính tích phân .
Giải
Đặt .
Bảng xét dấu
x
0 1 2
h(x)
 – 0 +
.
Vậy .
III. TÍCH PHÂN CỦA MỘT SỐ DẠNG HÀM VÔ TỈ.
1.Tích phân dạng: (với a 0)
Cách làm: 
Biến đổi về một trong các dạng ,sau đó thực hiện phép đổi biến tương ứng ta sẽ đưa về việc tính tích phân của hàm hữu tỉ.
 a) Đặt t = a.tgu (hoặc a.cotgu) với u (hoặc u).
 b) Đặt t = a.Sinu(hoặc a.Cosu) với u (hoặc u.
 c) Đặt t = (hoặc t = ) với u -(hoặc u-)
Chú ý công thức:
	 = +C (C là hằng số tuỳ ý)
Chứng minh:
	Đặt t = x + = 
Từ đó ta có : Vậy : = (ĐPCM)
	Với hàm hợp: (*)Trong đó u = u(x).
Ví dụ 1:Tính I = 
	I = 
	Đặt x-1 = Sint . Khi x =1 t = 0
 x =t = 
	và :
vậy I = = 
Ví dụ 2:Tính J = 
	Thông thường với tích phân dạng (a) và (c) ta sử dụng công thức (*) thì lời giải sẽ dễ dàng và ngắn gọn hơn.
	áp dụng công thức (*) ta có: J = = 
	= = = .
Ví dụ 3: Tính K = = 
Cách 1: Áp dụng công thức (*) ta có:
	K = = = .
Cách 2: Đặt 2x - 1 = 
Chú ý:
Nếu mẫu thức có thể khai căn được thì ta có thể giải bài toán một cách đơn giản hơn như sau: 
Ví dụ 4:Tính M = 
 M = =
 = = -
2.Tích phân dạng: 	Với a.A 0
	Cách làm:
Tách tích phân đã cho thành hai tích phân có chung mẫu là,một tích phân có tử là đạo hàm của tam thức bậc hai,một tích phân có tử là hằng số.
	Tức là tách: = 
Ví dụ 1:Tính I = 
	Ta có: I = = =
 = 
Ví dụ 2:Tính J = 
	Ta có: J = = 
 =+
	 = = 
3.Tích phân dạng: (Với )
	Cách làm: Đặt chuyển tích phân cần tính về tích phân dạng (a).
Ví dụ 1:Tính I = 
	Đặt = Khi x = 0 t = 1
 x = 1 t = 
	Và dx = -.Ta có: I = = = 
Ví dụ 2:Tính J = 
	Đặt x-1 = x = 
 Khi x = 2 thì t=1
 x = 3 thì t = 
	 và dx = -
Tích phân cần tính là: I = = 
	= = = 
Ví dụ 3:Tính K = 
	Đặt t = ex dt = exdx.Khi : x = 0 t = 1
	x = ln2 t = 2
 Ta có: K =
	Đặt u = ta có: 
Vậy K = = = 
Ví dụ 4:Tính N = 
Ta có : N = = N = 
Đặt t = Sin x thì : N = Lại đặt u = thì N = = 
	= = 
4.Tích phân dạng: Với bậc f(x)2,f(x) là đa thức.
	Cách làm:Tách = g(x). +
	Với g(x) là đa thức , bậc g(x)+1 = bậc f(x).
Tìm các hệ số của g(x) và số bằng phương pháp hệ số bất định.
Ví dụ 1:Tính M = 
Tách : = +
Lấy đạo hàm hai vế ta có:
	 + + 
Đồng nhất hệ số ta có : 
Vậy M = +
	 = + 
Ví dụ 2:Tính N = 
	Ta có : = + (1)
	Lấy đạo hàm hai vế của (1) và quy đồng ta có:
	x3-x +1 = (2A.x+B)(x2+2x+2) +(Ax2+Bx+C)(x-1) +D
Đồng nhất hệ số ta có: 3A = 1	A=
	5A+2B =0	B= -
	4A+3B+C =-1	C=
	2B +C+D =1	D=
Vậy có: M = + 
	= + 
Ví dụ 3:Tính P = 
	Để áp dụng được ví dụ 2 ta làm như sau:Tách tích phân cần tính thành hiệu của hai tích phân:
	P = = =
	P = - = N - = 
	 = = 
 = .
5.Tích phân dạng: với 
	Cách làm:Đặt ta sẽ đưa về tính tích phân của hàm hữu tỉ.
Ví dụ :Tính I = 
	Ta thấy đặt t = 
	Khi 
Vậy ta có: I = = = = 
 = = =
6.Tích phân dạng: Với 
	Cách làm: Cách 1: Đặt 
	 Cách 2: Đặt 
	Với cách đặt trên ta sẽ đưa tích phân cần tính thành tích phân đơn giản hơn.
Ví dụ :Tính J = 
	Ta thực hiện theo cách đặt 2: Đặt 
	Khi đó 
Vậy J = = 
	Đặt Khi 
	 Vậy : J = = 
 = = = 
7.Tích phân dạng: 
	Cách làm: Đặt Với k là BCNN của m và n.
Ví dụ1 :Tính I = 
	Đặt 
	I = = 
	 = 
Tích phân này dễ dàng tính được.
Ví dụ2 :Tính J = 
	Đặt 
 J = = = 
	 = 
Đồng nhất hệ số ta có: 
Vậy J = = 
	= = 
Tính L bằng cách đặt Ta có đáp số là: I = .
8.Tích phân dạng: (p,q,r là các phân số)
	a)Nếu q nguyên đặt x= ts với s là BCNN của mẫu số r và p.
	b)Nếu nguyên đặt với s là mẫu của phân số q.
	c) Nếu +q nguyên đặt với s là mẫu số của phân số q.
Ví dụ1 :Tính I = 
	Viết tích phân cần tính ở dạng sau: I = = 
Vì q=-3 nguyên nên đặt x= t4 ta có dx=4t3dt
I = ==
 = 	=
 = .
Ví dụ 2 :Tính J = 
	Ta có: J = Vì nguyên nên đặt a-x2 = t2
 Vậy J = = -
	= .
Ví dụ 3 :Tính N = 
	Ta có: N = = 
Do vì nguyên nên ta đặt hay 
Vậy N = = = =
	 = = (Tích phân này dễ dàng tính được).
9.Các phép thế Euler:
	a) Đặt = ± Nếu >0
	b) Đặt =± Nêú c>0
	c) Đặt = Nếu x0 là nghiệm của TTB2
Ví dụ 1 :Tính M = 
	a=1 >0 Sử dụng phép thế thứ nhất đặt 
	Suy ra: 
	Với 
	 (Chú ý rằng )
Ta có: I = = -
Ví dụ 2 :Tính P = 
	Tam thức bậc hai x2+3x+2 có nghiệm là -1.Theo phép thế thứ ba,đặt 
	; 
	 vậy 
Khi đó: P = = 
 = +-+-
 = .
Ví dụ 3 :Tính L = 
	Vì c = 4 >0 có thể sử dụng phép thế thứ hai.
	Đặt 
Chuyển việc tính tích phân trên về việc tính tích phân 
10.Một số bài toán khác:
	Ngoài các dạng trên thì có những bài có thể áp dụng trực tiếp công thức tích phân,hoặc sử dụng một số phép biến đổi đơn giản.Sau đây là một số ví dụ:
Ví dụ 1: Tính I1 = Đặt 
Ví dụ 2: Tính I2 = Đặt 
Ví dụ 3: Tính I3 = Đặt 
	Có thể trình bày như sau: I3 = = = 
Ví dụ 4: Tính I4 = 
	Ta có : I4 = = = 
Ví dụ 5: Tính 
Cách1:	Sử dụng phương pháp lấy tích phân từng phần
	Đặt 
Cách 2: Đặt x =2Sint (Vì đây là tích phân dạng 1-b)
	 Đáp số:
Ví dụ 6: Tính 
Dùng phương pháp lấy tích phân từng phần với .
Ta có kết quả là :
Ví dụ 7: Tính 
	Đặt ta có: =
Ví dụ 8: Tính 
	Đặt 
Ta có: 
Vậy : = 
Ví dụ 9: Tính 	
 Đặt 
Ta có: =
 = = ./
BÀI TẬP VẬN DỤNG
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. (Đặt ) 8.
9. 10)
Tích phân dạng: (với a 0) Trang 1
Tích phân dạng: 	Với a.A 0 Trang 3 
Tích phân dạng: (Với ) Trang 3
Tích phân dạng: Với bậc f(x)2,f(x) là đa thức. Trang 5
Tích phân dạng: với Trang 6
Tích phân dạng: Với Trang 6
Tích phân dạng: Trang 7
Tích phân dạng: Trang 8
Các phép thế Euler: Trang 9
CHUYÊN ĐỀ 2:
 BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN
Phương pháp giải toán
1. Dạng 1
Để chứng minh (hoặc ) ta chứng minh (hoặc ) với .
Ví dụ 1. Chứng minh .
Giải
Với .
2. Dạng 2
Để chứng minh ta chứng minh với .
Ví dụ 2. Chứng minh .
Giải
Với 
.
Vậy .
3. Dạng 3
Để chứng minh ta thực hiện các bước sau
Bước 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [a; b] ta được .
Bước 2. Lấy tích phân .
Ví dụ 1. Chứng minh .
Giải
Với .
Vậy .
Ví dụ 2: Chứng minh .
Giải
Với 
.
Vậy .
Ví dụ 3. Chứng minh .
Giải
Xét hàm số ta có
.
Vậy .
4. Dạng 4 (tham khảo)
Để chứng minh (mà dạng 3 không làm được) ta thực hiện
Bước 1. Tìm hàm số g(x) sao cho .
Bước 2. Tìm hàm số h(x) sao cho .
Ví dụ 1. Chứng minh .
Giải
Với 
.
Đặt 
.
Vậy .
Ví dụ 2. Chứng minh .
Giải
Với 
.
Vậy .
CHUYÊN ĐỀ 3:
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG:
 I. Kiến thức : 
 TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Diện tích hình thang cong
Cho hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường và trục hoành là .
Phương pháp giải toán
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân .
Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi và Ox.
Giải
Do nên
.
Vậy (đvdt).
Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi và Ox.
Giải
Bảng xét dấu
x
0 1 3
y
 – 0 + 0
.
Vậy (đvdt).
2. Diện tích hình phẳng
2.1. Trường hợp 1.
Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường là .
Phương pháp giải toán
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số trên đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân .
2.2. Trường hợp 2.
Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường là . Trong đó là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình .
Phương pháp giải toán
Bước 1. Giải phương trình .
Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số trên đoạn .
Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân .
Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , .
Giải
Đặt 
 (loại).
Bảng xét dấu
x
0 1 2
h(x)
 – 0 + 0
.
Vậy (đvdt).
Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường .
Giải
Đặt 
.
Bảng xét dấu
x
1 2 3
h(x)
0 + 0 – 0
.
Vậy (đvdt).
Chú ý:
Nếu trong đoạn phương trình không còn nghiệm nào nữa thì ta có thể dùng công thức .
Ví dụ 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi .
Giải
Ta có 
.
Vậy (đvdt).
Ví dụ 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi và trục hoành.
Giải
Ta có 
.
Vậy (đvdt).
Ví dụ 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi và .
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm
.
Bảng xét dấu
x
0 1 3 5
 + 0 – 0 +
.
Vậy (đvdt).
Ví dụ 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi .
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm
Bảng xét dấu
x
0 1 3
 – 0 +
.
Vậy (đvdt).
Chú ý:
Nếu hình phẳng được giới hạn từ 3 đường trở lên thì vẽ hình (tuy nhiên thi ĐH thì không có).
BÀI TẬP
Tính diện tích của các hình phẳng sau:
1) (H1): 	2) (H2) : 	3) (H3):
4) (H4):	5) (H5):	6) (H6):
7) (H7):	 8) (H8) : 	9) (H9): 
10) (H10): 11) 	 12) 
CHUYÊN ĐỀ 4.
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY.
I. KIẾN THỨC
 II. TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
1. Trường hợp 1.
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường , , và quay quanh trục Ox là .
Ví dụ 1. Tính thể tích hình cầu do hình tròn quay quanh Ox.
Giải
Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là .
Phương trình 
.
Vậy (đvtt).
2. Trường hợp 2.
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường , , và quay quanh trục Oy là .
Ví dụ 2. Tính thể tích hình khối do elip quay quanh Oy.
Giải
Tung độ giao điểm của (E) và O