Các phương pháp tính tích phân sử dụng phổ biến

Phương pháp tính Tích phân
š&›
Mời Thầy cụ vào  để cú nhiều tư liệu cựng loại
I. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến:
Những phép đổi biến phổ thông:
- Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo luỹ thừa thì đặt t là phần bên trong dấu ngoặc nào có luỹ thừa cao nhất.
- Nếu hàm chứa mẫu số thì đặt t là mẫu số.
- Nếu hàm số chứa căn thức thì đặt t là phần bên trong dấu căn thức.
- Nếu tích phân chứa thì đặt .
- Nếu tích phân chứa thì đặt .
- Nếu tích phân chứa thì đặt .
- Nếu tích phân chứa thì đặt .
- Nếu tích phân chứa thì đặt .
- Nếu tích phân chứa thì đặt .
- Nếu tích phân chứa thì đặt .
- Nếu tích phân chứa thì đặt .
Bài tập minh hoạ:
1. 2. 3. 4. 
5. 6. 7. 8. 
9. 10.
II. Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần:
Công thức: . Như vậy việc chọn được u và dv có vai trò quyết định trong việc áp dụng phương pháp này.
Ta thường gặp ba loại tích phân như sau:
Loại 1: 
: Trong đó là đa thức bậc n. 
Ta phải tính n lần tích phân từng phần.
Loại 2: : Tính n lần tích phân từng phần.
Loại 3: Đây là hai tích phân mà tính tích phân này phải tính luôn cả tích phân còn lại. Thông thường ta làm như sau:
- Tính :Đặt . Sau khi tích phân từng phần ta lại có tích phân
.Ta lại áp dụng TPTP với u như trên.
- Từ hai lần TPTP ta có mối quan hệ giữa hai tích phân và dễ dàng tìm được kết quả.
Bài tập minh hoạ:
1. 2. 3. 
4. 5. 6. 
Ngoài ra ta xét thêm một vài bài tích phân áp dụng phương pháp TPTP nhưng không theo quy tắc đặt ở trên:
1. 2. 3. 4. 5. 
III. Tích phân hàm phân thức hữu tỷ: 
Phần 1: Tích phân hữu tỷ cơ bản.
1. a.Dạng: 
b.Dạng: 
c. Dạng: 
2. a.Dạng: 
- Nếu : 
- Nếu : 
- Nếu : Đặt 
3. Dạng: 
Phân tích: 
Bài tập minh hoạ:
1. 2. 3. 4. 
5. 6. 
Phần 2: Tích phân hữu tỷ tổng quát. 
- Bước 1: Nếu bậc của A(x) lớn hơn bậc của B(x): Chia chia A(x) cho B(x). Ta phải tính tích phân:
- Bước 2:
+ Nếu Q(x) chỉ toàn nghiệm đơn: , ta tìm sao cho :
+ Nếu Q(x) gồm cả nghiệm đơn và nghiệm bội: , ta tìm sao cho :
+ Nếu Q(x) gồm nhân tử bậc hai đơn và nhân tử bậc hai đơn:
, ta tìm sao cho :
+ Nếu Q(x) gồm nhân tử bậc hai đơn và nhân tử bậc hai bội:
, ta tìm sao cho :
Bài tập minh hoạ:
1. 2. 3. 
IV. Tích phân hàm vô tỷ đơn giản:
1.Dạng:  : Đổi 
2.Dạng: 
- Nếu a>0 : Tích phân có dạng  đặt u=atgt 
Hoặc chứng minh ngược công thức: 
-- Nếu a<0 : Tích phân có dạng  đặt u=asint 
3.Dạng: 
- Nếu : 
- Nếu : 
- Nếu : Với a>o: Đặt 
Hoặc chứng minh ngược công thức:
Với a<0: Đặt 
Bài tập minh hoạ:
1. 2. 3. 4. 
5. 6. 
4.Dạng Đặt 
BTMH: 1. 2. 
5.Dạng: Đặt với s là BCNN của n và q.
BTMH: 
V. Tích phân hàm số lượng giác:
1.Dạng: 
- Nếu f là hàm lẻ theo sinx: Đặt t=cosx.
- Nếu f là hàm lẻ theo cosx: Đặt t=sinx.
- Nếu f là hàm chẵn theo sinx và cosx: Đặt t=tgx.
Bài tập minh hoạ:
1. 2. 3. 4. 
2.Dạng: 
- Nếu m và n chẵn: Hạ bậc.
- Nếu m lẻ: Đặt t=cosx.
- Nếu n lẻ: Đặt t=sinx. 
Bài tập minh hoạ:
1. 2. 3. 4. 
3.Dạng: trong đó R là hàm hữu tỉ theo sinx, cosx.
 Đặt ; ; ; 
Cụ thể là hàm: 
Bài tập minh hoạ:
1. 2. 3. 
4.Dạng: 
Phân tích: (Tử số)=A.(Mẫu số)+B.(Mẫu số)’
Bài tập minh hoạ: 
5.Dạng: 
Phân tích: (Tử số)=A.(Mẫu số)+B.(Mẫu số)’+C
J là tích phân tính được.
Bài tập minh hoạ: 1. 2. 
VI. Phép đổi biến đặc biệt:
Khi sử dụng các cách tính tích phân mà không tính được ta thử dùng phép đổi biến:
.Thực chất của phép đổi biến này là nhờ tính chất chẵn lẻ của hàm số f(x).
Bài tập minh hoạ:
1. 2. 3. 4. 
Chứng minh rằng:
1. Nếu f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên thì:
2. Nếu f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên thì:
3. 4.