Các dạng bài tập về Đường Conic trong luyện thi Đại học

 Bài toán về đường cônic
Dạng 1: Viết phương trình chính tắc của elíp, hypebol, parabol khi biết các điều kiện xác định
- Phương trình chính tắc của elíp : , với b2 = a2 – c2;F1(-c;0), F2(c;0);
A1(-a;0), A2(a;0);B1(-b;0), B2(b;0) . Tâm sai e = < 1; Đường chuẩn x = ±
- Phương trình chính tắc của hypebol : , với b2 = c2 – a2;F1(-c;0), F2(c;0);
A1(-a;0), A2(a;0);Tâm sai e = < 1; Đường chuẩn x = ±;
Tiệm cận : y = ±x 
- Phương trình chính tắc của parabol :y2 = 2px ; F(;0), P(-;0).
Bài tập :
Bài 1: Viết phương trình chính tắc của elíp trong các trong các trường hợp sau:
a,Độ dài trục lớn là 12 và tiêu cự là 6
b,Tiêu cự 6 và tâm sai e = 
c,Độ dài trục nhỏ là 10 và tâm sai e = 
d,Khoảng cách giữa các đường chuẩn là 16 và độ dài trục lớn là 8
e,Khoảng cách giữa các đường chuẩn là 32, tâm sai e = 
Giải:
Phương trình chính tắc của elíp : , với b2 = a2 – c2
a,Độ dài trục lớn là 12 = 2a=>a = 6, tiêu cự 2c = 6 =>c = 3; với b2 = a2 – c2 =
 36 – 9 = 27. Vậy : Phương trình chính tắc của elíp : 
b, Tiêu cự 2c = 6 =>c = 3 và tâm sai e = = =>a =.c =.3 = 4=> b2 = a2 – c2 
= 16 – 9 = 7 Vậy : Phương trình chính tắc của elíp : 
c,Độ dài trục nhỏ 2b = 10=>b = 5, tâm sai e == =>c=a, mà :b2 = a2 – c2
= a2 – (a)2 (a)2 25 =.a2 a2 = 169=> a = 13 
Vậy : Phương trình chính tắc của elíp : 
d, Độ dài trục lớn 2a = 8=>a = 4, Khoảng cách giữa các đường chuẩn là 16 =>2 = 2 = 16=> = 8=>c = = 2.Từ đó: b2 = a2 – c2 = 16 – 4 = 12 
Vậy : Phương trình chính tắc của elíp : 
e, Khoảng cách giữa các đường chuẩn là 32, tâm sai e = nên ta có :
=>=> ,Từ dó : b2 = a2 – c2 = 64 – 16 = 48 
Vậy : Phương trình chính tắc của elíp : 
Bài 2: Viết phương trình chính tắc của hypebol trong các trong các trường hợp sau:
a,Tiêu cự bằng 10, trục ảo 8
b,Trục thực 16, tâm sai e = 
c,Khoảng cách giữa các đường chuẩn là và tiêu cự 26
d,Khoảng cách giữa các đường chuẩn là , tiêm cận y = ±x
Giải:
Phương trình chính tắc của hypebol , với b2 = c2 – a2
a,Theo giả thiết 2c = 10=> c = 5; 2b = 8=> b = 4; với a2 = c2 – b2 = 25 – 16 = 9
 Vậy : Phương trình chính tắc của hypebol : 
b, Theo giả thiết 2a = 16=>a = 8, tâm sai e = = =>c = a = .8 = 10=> b2 = c2 – a2 = 100 – 64 = 36. Vậy : Phương trình chính tắc của hypebol : 
c,Theo giả thiêt : 2c = 26 =>c = 13; 2 = 2 = => = => a2 = c = .13 = 25.Từ đó: b2 = c2 – a2 = 169 – 25 = 144 
Vậy : Phương trình chính tắc của hypebol : 
e, Theo giả thiêt : 2 = 2 = => = => c = .a2 
vì y = ±x =>=>b =.a, từ đó: b2 = c2 – a2 => c2 = a2 + b2 
(.a2)2 = a2 +a2 a = 13=>b = Vậy : Phương trình chính tắc của hypebol : 
Dạng 2: Tìm các yếu tố: tâm sai, tiêu điểm, đường chuẩn ... của đường cônic
Bài 1: Tìm độ dài các trục, tâm sai, tiêu điểm, toạ độ các đỉnh, đường chuẩn của elíp có pt:
a, b,4x2 + 9y2 = 25 c,9y2 + 25y2 = 1
Giải:
a, 
Ta có a2 = 16 =>a = 4=>độ dài trục lớn 2a = 8; b2 = 9 => b = 3=>độ dài trục nhỏ 2b = 6,
Với c2 = a2 – b2 = 16 – 9 = 7=>c = =>Tiêu điểm: F1(-;0) ,F2(;0)
tâm sai e = .Phương trình các đường chuẩn x = ± = ±
b, 4x2 + 9y2 = 25 
Ta có : a = =>độ dài trục lớn 2a = 5 , b = =>độ dài trục nhỏ 2b = 
Với c2 = a2 – b2 = =>c ==>Tiêu điểm: F1(-;0) ,F2(;0)
tâm sai e = .Phương trình các đường chuẩn x = ± = ±