Các dạng bài tập luyện thi Đại học, Cao đẳng Chuyên đề Số phức

 1. Số phức 
1. Định nghĩa số phức 
Mỗi biểu thức dạng a + bi ; ∈,a b \ , 2 1i = − đ−ợc gọi là một số phức. 
Đối với số phức z = a + bi, ta nói a là phần thực, b là phần ảo của z. 
Tập hợp các số phức kí hiệu là .^ { }2, , 1 .a bi a b i= + ∈ = −^ \ 
2. Số phức bằng nhau 
Hai số phức là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng t−ơng ứng bằng nhau. 
+ = + ⇔ = = .a bi c di a c b dvà 
3. Biểu diễn hình học số phức 
Điểm M(a ; b) trong một hệ toạ độ vuông góc của mặt phẳng đ−ợc gọi là 
điểm biểu diễn số phức z = a + bi 
4. Môđun của số phức 
Độ dài của vectơ OM
JJJJG
 đ−ợc gọi là môđun của số phức z và kí hiệu là |z|. Vậy 
+ = +2 2 .a bi a b 
5. Số phức liên hợp 
Cho số phức .z a bi= + Ta gọi a bi− là số phức liên hợp của z và kí hiệu là .z a bi= − 
y .z z= 
y .z z= 
Bài tập 
1. Tính phần thực và phần ảo của số phức z, biết : 
a) = − π1z i ; b) 2z i= − ; c) 2 2z = ; 
d) = −7 ;z i e) = − 2( 2 3 )z i ; f) = − +(2 )(3 )z i i i ; 
g) = + − −3 3(2 ) (3 )z i i ; h) = + 10(1 )z i ; k) = − 2010(1 )z i . 
2. Tìm các số thực x và y, biết : 
a) (3 2) (2 1) ( 1) ( 5)x y i x y i− + + = + − − ; 
b) (1 2 ) 3 5 (1 3 )− − = + −x i y i ; 
c) + + − = − + + + +(2 ) (2 ) ( 2 3) ( 2 1) .x y y x i x y y x i 
 3. Trên mặt phẳng toạ độ tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện : 
a) Phần thực của z bằng −2 ; 
b) Phần ảo của z bằng 3 ; 
c) Phần thực của z thuộc khoảng (−1 ; 2) ; 
d) Phần ảo của z thuộc đoạn [1 ; 3] ; 
e) Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [−2 ; 2]. 
4. Tính z , với 
a) 2 3= − +z i ; b) 2 3z i= − ; 
c) 5z = − ; d) 3.=z i 
5. Tìm ,z biết : 
a) 1 2= −z i ; b) 2 3= − +z i ; 
c) z = 5 ; d) 7 .z i= 
2. Cộng, trừ, nhân và CHIA số phức 
1. Phép cộng và phép trừ 
( ) ( ) ( ) ( ) ;
( ) ( ) ( ) ( ) .
a bi c di a c b d i
a bi c di a c b d i
+ + + = + + +
+ − + = − + − 
2. Phép nhân 
( )( ) ( ) ( ) .a bi c di ac bd ad bc i+ + = − + + 
3. Phép chia hai số phức 
Chia số phức c + di cho số phức a + bi khác 0 là tìm số phức z sao cho 
c + di = (a + bi)z. Số phức z đ−ợc gọi là th−ơng trong phép chia c + di cho 
a + bi và kí hiệu là 
c diz
a bi
+= + . 
ắ Chú ý 
Trong thực hành, để tính th−ơng c di
a bi
+
+ , ta nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của a + bi. 
Bài tập 
1. Thực hiện các phép tính sau: 
a) (3 5 ) (2 4 )i i− + + ; b) ( 2 3 ) ( 1 7 )i i− − + − − ; 
c) (4 3 ) (5 7 )i i+ − − ; d) (2 3 ) (5 4 ).i i− − − 
2. Tính ,α β+ α β− với : 
a) 3, 2iα β= = ; b) 1 2 , 6i iα β= − = ; 
c) 5 , 7i iα β= = − ; d) 15, 4 2 .iα β= = − 
 3. Thực hiện các phép tính sau : 
a) (3 2 )(2 3 )i i− − ; b) ( 1 )(3 7 )i i− + + ; 
c) 5(4 3 )i+ ; d) ( 2 5 ).4 .i i− − 
4. Tính 3,i 4,i 5.i 
Nêu cách tính ni với n là một số tự nhiên tuỳ ý. 
5. Tính : 
a) 2(2 3 )i+ ; b) 3(2 3 ) .i+ 
6. Thực hiện các phép chia sau : 
a) 
2
3 2
i
i
+
− ; b) 
1 2
2 3
+
+
i
i
 ; c) 
5
2 3
i
i− ; d) 
5 2
.
i
i
−
7. Tìm nghịch đảo 
1
z
 của số phức z : 
a) z =1 2i+ ; b) z = 2 3i− ; c) z = i ; d) z =5 3.+ i 
8. Thực hiện các phép tính sau : 
a) 2 (3 )(2 4 )i i i+ + ; b) 
2 3(1 ) (2 )
2
i i
i
+
− + ; 
c) 3 2 (6 )(5 )i i i+ + + + ; d) 5 44 3 .
3 6
i
i
i
+− + + 
9. Giải các ph−ơng trình sau : 
 a) − + + = +(3 2 ) (4 5 ) 7 3 ;i x i i b) + − = −− (2 3 ) 5 2 );4 3
x
i i
i
 c) ( + = −(3 2 ) 1i z z ; d) − − =(2 ) 4 0i z 
3. Ph−ơng trình bậc hai 
1. Căn bậc hai 
a) Căn bậc hai của số thực 
Căn bậc hai của số thực a >0 là a± . 
Căn bậc hai của số thực a < 0 là ± i a . 
b) Căn bậc hai của số phức 
( , )z x yi x y= + ∈\ là căn bậc hai của số phức ( , , 0)w a bi a b b= + ∈ ≠\ khi và chỉ khi 2 ,z w= tức là 
2 2
2( )
2 .
x y a
x yi a bi
xy b
⎧ − =+ = + ⇔ ⎨ =⎩
2. Ph−ơng trình bậc hai 
a) Ph−ơng trình bậc hai với hệ số thực 
Cho ph−ơng trình bậc hai 2 0ax bx c+ + = với a, b, c ∈\ , a ≠ 0. Xét biệt số 2 4b ac∆ = − 
• Khi 0∆ = , ph−ơng trình có một nghiệm thực x = 
2
b
a
− ; 
 • Khi 0∆ > , có hai căn bậc hai (thực) của ∆ là ± ∆ và ph−ơng trình có hai nghiệm thực 
phân biệt, đ−ợc xác định bởi công thức 
1,2 2
bx
a
− ± ∆= ; 
• Khi 0∆ < ph−ơng trình không có nghiệm thực vì không tồn tại căn bậc hai thực của ∆ . 
Tuy nhiên, trong tr−ờng hợp 0∆ < , nếu xét trong tập hợp số phức, ta vẫn có hai căn bậc hai ảo của 
∆ là ± ∆i . Khi đó, ph−ơng trình có hai nghiệm phức đ−ợc xác định bởi công thức 
1,2 2
b i
x
a
− ± ∆= . 
b) Ph−ơng trình bậc hai với hệ số phức 
Cho ph−ơng trình bậc hai 2 0az bz c+ + = với a, b, c ∈^ , a ≠ 0. Xét biệt số 2 4b ac∆ = − 
• Khi 0∆ = , ph−ơng trình có một nghiệm z = 
2
b
a
− ;; 
• Khi 0∆ ≠ , ph−ơng trình có hai nghiệm 1,2 ,2
bx
a
− ± δ= δ là căn bậc hai của .∆ . 
Nhận xét. Trên tập hợp số phức, mọi ph−ơng trình bậc hai đều có hai nghiệm (không nhất thiết phân 
biệt). 
Tổng quát, ng−ời ta đã chứng minh đ−ợc rằng mọi ph−ơng trình bậc n ≥ 1 
n n
o n na x a x ... a x a
−
−+ + + + =11 1 0 , 
trong đó a0, a1, , an ∈ ^ , a0 ≠ 0 đều có n nghiệm phức (các nghiệm không nhất thiết phân biệt). 
 Đó là định lí cơ bản của Đại số học. 
bài tập 
1. Tìm các căn bậc hai phức của các số sau : 
−7 ; −8 ; −12 ; −20 ; −121; − i ; 4i ; 1 4 3i+ ; 1 2 6 .i− − 
2. Giải các ph−ơng trình sau trên tập hợp số phức : 
a) 23 2 1 0;x x− + − = b) 27 3 2 0x x+ + = ; c) 25 7 11 0x x− + = . 
3. Giải các ph−ơng trình sau trên tập hợp số phức : 
a) 4 2 6 0x x+ − = ; b) 4 27 10 0x x+ + = ; c) 4 22 3 5 0x x+ − = . 
4. Giải các ph−ơng trình sau trên tập hợp số phức : 
a) 2 1;z z= + b) 2 2 5 0z z+ + = ; c) 2 (1 3 ) 2(1 ) 0.z i z i+ − − + = . 
5. Cho a, b, c ∈ \ , a ≠ 0, 1 2,z z là hai nghiệm (thực hoặc phức) của ph−ơng trình 2 0ax bx c+ + = . 
Hãy tính 1 2z z+ và 1 2.z z theo các hệ số a, b, c. 
6. Cho z = a + bi là một số phức. Hãy tìm một ph−ơng trình bậc hai với hệ số thực nhận z và z làm 
nghiệm. 
7. Giải các ph−ơng trình sau trên ^ : 
a) 2 3( )( 1)( ) 0z i z z i− + + = ; b) 2 2 2( ) 4( ) 12 0.z z z z+ + + − = 
 4. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG 
1. Số phức dưới dạng lượng giỏc 
a) Acgumen của số phức z ≠ 0 
 Cho số phức z ≠ 0. Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z. Số đo (radian) của mỗi 
gúc lược giỏc tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là acgumen của z. 
b) Dạng lượng giỏc của số phức 
Dạng z = )sin(cos ϕϕ ir + (r > 0) laứ daùng lửụng giaực cuỷa z = a + bi (a, b )0, ≠∈ zR 
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
+=
⇔
r
b
r
a
bar
ϕ
ϕ
sin
cos
22
 + ϕ laứ moọt acgumen cuỷa z. 
 + ),( OMOx=ϕ 
2. Nhaõn chia soỏ phửực dửụựi daùng lửụùng giaực 
Neỏu (cos sin ) , ' '(cos ' sin '), 0, ' 0z r i z r i r rϕ ϕ ϕ ϕ= + = + ≥ ≥ thỡ : 
 a) )'sin()'[cos('.'. ϕϕϕϕ +++= irrzz ] 
 b) [cos( ') sin( ')], ' 0.
' '
z r i r
z r
ϕ ϕ ϕ ϕ= − + − > 
3. Coõng thửực Moa-vrụ 
 )sin(cos)]sin(cos[ ϕϕϕϕ ninrir nn +=+ , *Nn∈ 
4. Caờn baọc hai cuỷa soỏ phửực dửụựi daùng lửụùng giaực 
Caờn baọc hai cuỷa soỏ phửực z = r(cos )sinϕϕ i+ (r > 0) laứ 
(cos sin )
2 2
r iϕ ϕ+ và (cos sin ) [cos( ) sin( )]
2 2 2 2
r i r iϕ ϕ ϕ ϕπ π− + = + + + . 
bài tập 
1. Viết cỏc số phức sau dưới dạng lượng giỏc 
a) 1 3i− b) 1 i+ c) (1 3)(1 )i i− + d) 2 ( 3 )i i− 
e) 1 3
1
i
i
−
+ f) 
1
2 2i+ g) sin cos ,z iϕ ϕ ϕ= + ∈\ h) 
2sin 2sin .
2
i ϕϕ + 
2. Viết dưới dạng đại số cỏc số phức sau 
a) cos45 sin 45o oi+ b) 2(cos sin )
6 6
iπ π+ c) ( )3 cos120 sin120o oi+ 
3. Thực hiện cỏc phộp tớnh 
a) ( )3 cos120 sin120o oi+ (cos45 sin 45 )o oi+ b) ( )2 cos18 sin18o oi+ (cos72 sin 72 )o oi+ .