Các chuyên đề Tích phân ôn thi Tốt nghiệp THPT

CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN
A./	CƠ SỞ LÝ THUYẾT : 
 Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp sau:
	1/	ĐỊNH NGHĨA : 
 Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) trên đoạn thì tích phân của f(x) trên đoạn 
được xác định bởi: 	 = F(x) = F(b) - F(a) (1) . 
Chú ý : Tích phân chỉ phụ thuộc vào f , a , b mà không phụ thuộc vào các kí hiệu biến số tích phân, vì vậy mà ta có thể viết : = = = ...... 
	2/	CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH : 
	 ; = - ; = k. ( k là hằng số ) 	 
 = ; = + ( Với a c b ).
Nếu f(x) 0 x thì 0 .	 
Nếu f(x) g(x) x thì 
Ta luôn có : . 
Nếu m f(x) M , x thì m(b - a) M( b - a) 
B/ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN : 
VẤN ĐỀ 1 : CÁCH TÌM TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 
	I./Cơng thức tính tích phân: 	 = F(x) = F(b) - F(a) 
VẤN ĐỀ 2 : CÁCH VIẾT VI PHÂN HOÁ TRONG TÍCH PHÂN 
	I./	Phương pháp : 
	Ta đã biết cơng thức tính vi phân: df(x) = f’(x).dx 
	Do đó muốn tìm tích phân : I = , ta có thể làm theo các bước sau: 
	+/	 Tìm hàm u(x) nào đó mà đạo hàm của u(x) sè có mặt trong các hàm 
	+/	 Sau đó xem u(x) là biến số tích phân (khi đó x không còn là biến số nửa ) .
 Tìm tích phân mới theo biến số mới.
II/	Bài tập áp dụng: 
Câu 1 : Tìm các tích phân sau: a/ b/ .dx	c/ 
	ĐSỐ : a/ - (1/6).cosx + C 	b/ 16/3	c/ (1/2).ln2x + C.
Câu 2 : Tìm các tích phân sau : a/ b/ 	c/ 
	ĐSỐ : a/ (1/2).ln2 + ln + C b/ (1/cosx) + C 	c/ 2. + C .
BÀI TẬP TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
1.	2. 2. 	3. 
 4. 	5. 6. 7. 
 8. 9. 10. 11. 
12.	13. 14. 	15. 
16. 	17. 18. 	19. 
20. 	21. 22. 	22. 
VẤN ĐỀ 3 : TÌM TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN ( DẠNG ĐƠN GIẢN ) 
I./	Phương pháp : 
	Cho tích phân : I = (1) 
	Để tính tích phân (1) theo cách đổi biến, ta có thể thực hiện theo các bước: 
	Bước 1 : 	Đặt t = (x) dt = ’(x).dx 
	Bước 2 : 	Đổi cận tương ứng 
	+/ x = a thì t = (a) 
	+/ x = b thì t = (b) 
	Bước 3 : 	Khi đó tích phân I được viết lại I = là tích phân cần tìm.
II/	Bài tập áp dụng : 
	Câu 1 : Tìm các tích phân sau : 
	a/ 	b/ 	c/ 	 
	Câu 2 : Tìm các tích phân sau : 
	a/ 	b/ 	c/ 	
C./ BÀI TẬP 
Câu 1 : Tìm các tích phân sau : a/ b/ c/ 
	ĐSỐ : a/ 1	b/ ln + C	c/ .......
Câu 2 : Tìm các tích phân sau : a/ b/ 	c/ 
	ĐSỐ : a/ + C	b/ (1/2).tg2x + C 	c/ 1/6 .
Câu 3 : Tìm các tích phân sau : a/ b/ 	c/ 
	HD : a/ 4/3	b/ ln + C	c/ Phân tích tử .......
Câu 4 : Tìm các tích phân sau : a/ b/ 	c/ 
	HD : a/ 2 + ...b/ (2/3). + C c/ (1/2).x2 – 2x + ln + C 
Câu 5 : Tìm các tích phân sau : 
	a/ , ( m , a) b/ 	c/ 
	HD : a/ .....	b/ (1/3).ln2	c/ 127/14 .
Câu 6 : Tìm các tích phân sau : a/ b/ 	c/ 
Câu 7 : Tìm các tích phân sau : a/ b/ c/ 
	HD : a/ 3/2	b/ (2/3).(2 - 1) 	c/ (1/4)( + 1) .
Câu 8 : Tìm các tích phân sau : 
	a/ 	b/ 	c/ 
	ĐSỐ : a/ 2()	b/ (1/2).(ln2)2	c/ - 7/2 .
Câu 9 : Tìm các tích phân sau : 
	a/ 	b/ 	c/ 
	ĐSỐ : a/ (1/3e).(e2 - 1) 	 b/ (4/3).( - 1)	c/ ln2 .
	ĐSỐ : a/ 2()	b/ (1/2).(ln2)2	c/ - 7/2 .
Câu 10 : Tìm các tích phân sau : 
	a/ ,(a 0 ,m 1) b/ 	c/ 	d/ 	e/ 	f/ 
	HD : a/ Đặt t = ...	b/ 5 c/ ..........	d/ Đặt ...	f/ 8 .
VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
 Cơng thức tích phân từng phần : hay 
 Tích phân từng phần các hàm sớ dễ phát hiện u và dv
 @ Dạng 1 Đặt 
 @ Dạng 2: Đặt 
@ Dạng 3: 
Ví dụ 1: tính các tích phân sau
 a/ đặt b/ đặt 
 c/
 Tính I1 bằng phương pháp đởi biến sớ
Tính I2 = bằng phương pháp từng phần : đặt 
VẤN ĐỀ 5 : TÍCH PHÂN HÀM VƠ TỶ: Trong ®ã R(x, f(x)) cã c¸c d¹ng: 
+) R(x, ) §Ỉt x = a cos2t, t  ; +) R(x, ) §Ỉt x = hoỈc x = 
+) R(x, ) §Ỉt t =  ; +) R(x, f(x)) = Víi ()’ = k(ax+b)
	Khi ®ã ®Ỉt t = , hoỈc ®Ỉt t = 
+) R(x, ) §Ỉt x = , t  ; +) R(x, ) §Ỉt x = , t
+) R Gäi k = BCNH(n1; n2; ...; ni) §Ỉt x = tk 
VẤN ĐỀ 6: MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT:
Bµi to¸n më ®Çu: Hµm sè f(x) liªn tơc trªn [-a; a], khi ®ã: 
	VÝ dơ: +) Cho f(x) liªn tơc trªn [-] tháa m·n f(x) + f(-x) = , 
TÝnh: ; TÝnh 
Bµi to¸n 1: Hµm sè y = f(x) liªn tơc vµ lỴ trªn [-a, a], khi ®ã: = 0.
VÝ dơ: TÝnh:	
Bµi to¸n 2: Hµm sè y = f(x) liªn tơc vµ ch½n trªn [-a, a], khi ®ã: = 2
	VÝ dơ: TÝnh 	
Bµi to¸n 3: Cho hµm sè y = f(x) liªn tơc, ch½n trªn [-a, a], khi ®ã: (1b>0, a)
	VÝ dơ: TÝnh: 	
Bµi to¸n 4: NÕu y = f(x) liªn tơc trªn [0; ], th× 
	VÝ dơ: TÝnh 	
Bµi to¸n 5: Cho f(x) x¸c ®Þnh trªn [-1; 1], khi ®ã: 
	VÝ dơ: TÝnh	
Bµi to¸n 6: 	
	VÝ dơ: TÝnh 	
Bµi to¸n 7: NÕu f(x) liªn tơc trªn R vµ tuÇn hoµn víi chu k× T th×: 
	VÝ dơ: TÝnh	
C¸c bµi tËp ¸p dơng:
1. 	2. 3. 	4. 
5. 6. 7. 8. (tga>0)
TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
1.(A2004): T1 = 2.(B2004): T2 = 3.(D2004): T3 = 
4.(A2005): T4 = 5.(B2005): T5= 6.(D2005): 7. T7 = 8. T8 = 
9. T9 = 10. T10 = 11. T11 = 
12. T12 = 13. T13 = 
 a. TÝnh T13 víi m = 1.
 b. TÝnh T13 theo m víi m < -3.
14.(C§SPA04) T14 = 15.(C§SP B¾c Ninh 2004) T15 = 
16. (C§SP B×nh Ph­íc 2004) T16 = 17. (C§SP Kon Tum 2004) T17 = 
 18. (C§SP Hµ Nam A2004) T18 = 19. (C§SP Hµ Nam A2004) T19 = 
20. (C§ GTVT 2004) T20 = 21. (C§ KTKT I A2004) T21 = 
 22. (C§ A2004) T22 = 
23. (C§ KTKH §µ N½ng 2004) T23 = 24. (C§ 2005) T24 = 
25. (C§ XD sè 3- 2005)
 T25 = 26. (C§ GTVT 2005) T26 = 
27. (C§ KTKT I - 2005) T27 = 28. (C§ TCKT IV - 2005) T28 = 
29. (C§ TruyỊn h×nh A2005) T29 = 30. (C§ SP TP. HCM 2005) T30 = 
31. (C§ KTKT CÇn Th¬ A2005) T31 = 32. (C§ Sp VÜnh Long 2005)T32 = 
33. (C§ SP BÕn Tre 2005) T33 = 
34. (C§ SP Sãc Tr¨ng A2005)T34 = 
35. (C§ SP Sãc Tr¨ng 2005) T35 = 
36.(C§ Céng ®ång VÜnh Long A05) T36 = 
37. (C§ C«ng NghiƯp Hµ Néi 2005)T37 = 
38. (C§ SP Hµ Nam 2005)T38 = 39. (C§ KT TC 2005)T39 = 
40. (C§ SP VÜnh Phĩc 2005) T40 = 
41. (C§ SP Hµ Néi 2005) T41 = 
42. (C§ SP Kon Tum 2005) T42 = 
43. (C§ KTKH §µ N½ng 2005) T43 = 
44. (C§ SP Qu¶ng Nam 2005) T44 = 
45. (C§ Y tÕ Thanh Ho¸ 2005) T45 = 
46. (C§ SP Qu¶ng B×nh 2005)
 T46 = 
47. (C§ SP Qu¶ng Ng·i 2005)
 T47 = 
48. T48 = 
49. T49 = 
50. T50 = 
51. T51 = 
52. T52 = 
53. T53 = 
54. (2002) T54 = 
55. (2002) T55 = 
56.(2002)T56 =
57.T57 =
58. (2002) T58 = 
59. T59 = 
60. T60 = 
61. (B2003) T61 = 
62. T62 = 
63.T63 = 
Dơc hµnh viƠn, tÊt tù nhÜ
64. T64 = 
65. (D2003) T65 = 
66. T66 = 
67. (C§ SP VÜnh Phĩc A2002)
 T67 = 
68. (C§ SP Hµ TÜnh A, B2002)
 T68 =
69. (C§ SP Hµ TÜnh AB2002)
 T69 = 
70. (C§ SP KT I 2002)
 Cho In = vµ 
 Jn = 
Víi n nguyªn d­¬ng
a. TÝnh Jn vµ chøng minh bÊt ®¼ng
thøc In 
b. TÝnh In+1 theo In vµ t×m 
71. (C§ SP Qu¶ng Ng·i 2002)
 T71 = 
72. (C§ SP Nha Trang 2002)
 T72 = 
73. (C§ KTKT H¶i D­¬ng A2002)
 T73 = 
74. (C§ KT Hµ T©y 2002)
 T74 = 
75. (C§ KTKT Th¸i B×nh 2002)
 T75 = 
76. (C§ SP KT Vinh 2002)
 T76 = 
77.(C§ A, D2003) T77 =
78. (C§ M, T 2003)
 T78 = 
79. (C§ GTVT 2003)
 T79 = 
80.(C§ GTVT2003)T80 =
81. (C§ GTVT II 2003)
 Cho hai hµm sè f(x), g(x) x¸c ®Þnh, liªn tơc vµ cïng nhËn gi¸ trÞ trªn ®o¹n [0 ; 1]. Chøng minh:
82. (C§ GTVT II 2003, tham kh¶o)
 T82 = 
83. (C§ TCKT IV 2003) Cho 2 sè nguyªn d­¬ng m, n víi m lµ sè lỴ. TÝnh theo m, n tÝch ph©n:
 T83 = 
84. (C§ TCKT IV tham kh¶o 2003)
a. Cho f(x) lµ hµm liªn tơc trªn ®o¹n [0 ; 1]. Chøng minh r»ng:
b. B»ng c¸ch ®Ỉt , h·y tÝnh c¸c tÝch ph©n:
vµ 
85. (C§ KhÝ t­ỵng thủ v¨n A2003)
 T85 = 
86. (C§ N«ng - L©m 2003)
 T86 = 
87. (C§ SP Phĩ Thä A2003)
 T87 = 
88. (C§ SP KonTum A2003) B»ng c¸ch ®Ỉt , h·y tÝch tÝch ph©n:
 T88 = 
89. (C§ SP T©y Ninh 2003)
a. TÝnh tÝch ph©n: T89=
b. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cđa hµm sè F(t) ®Þnh bëi:
 F(t) = 
90. (C§ SP Trµ Vinh D2003)
a. 
b.