Các chú ý và lời giải cho một số bài toán cơ bản

m 1  
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
 5
Vậy GTNN của 1 2A x x  lμ 1 xảy ra khi m = 1 
m. Tìm GTLN của    2 2 2 21 2 2 1x 1 x x 1 4x   
Ph−ơng trình đã cho lμ ph−ơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 
   2 22m 1 4.1. m 1 4m 4m 1 4m 4           224m 8m 4 1 2m 2 1       
Vì    2 22m 1 0với mọi m 2m 1 1 1 0với mọi m         nên ph−ơng trình luôn có hai 
nghiệm phân biệt x1 vμ x2 với mọi m 
Theo định lí Viet ta có :  1 2
1 2
x x 2m 1 (1)
x .x m 1 (2)
  
  
Ta có        222 2 2 2 2 2 2 21 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2A x 1 x x 1 4x x x 5x x x x 2x x 5 x x           (3) 
Thay (1) vμ (2) vμo (3) ta đ−ợc : 
         
2 2 2 2 2
22
A 2m 1 5 m 1 2 m 1 4m 4m 1 5m 10m 5 2m 2 m 4m 2
2 m 4m 4 2 m 2
                 
       
 Vì    2 2m 2 0 với mọi m A 2 m 2 2 với mọi m       
Dấu bằng xảy ra khi (m – 2)2 = 0 hay m = 2 
Vậy GTLN của    2 2 2 21 2 2 1A x 1 x x 1 4x    lμ 2 khi m = 2 
n. Khi ph−ơng trình có hai nghiệm x1 vμ x2 , 
 chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vμo m : 1 2
2 2
1 2 2 1
x 1 x 1
x x x x
  B 
Ph−ơng trình đã cho lμ ph−ơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 
   2 22m 1 4.1. m 1 4m 4m 1 4m 4           224m 8m 4 1 2m 2 1       
Vì    2 22m 1 0với mọi m 2m 1 1 1 0với mọi m         nên ph−ơng trình luôn có hai 
nghiệm phân biệt x1 vμ x2 với mọi m. Theo định lí Viet ta có :  1 2
1 2
x x 2m 1 (1)
x .x m 1 (2)
  
  
       
         
 
   
 
 
2 2
1 2 1 21 1 2 21 2
2 2 2 2 2 2
1 2 2 1 1 2 1 2
2 2
1 2 1 2 1 2
2 2 2
1 2
22 2
2 2 2
x x x xx 1 .x x 1 .xx 1 x 1
Ta có:
x x x x x x x x
x x x x 2x x 2m 1 2m 1 2 m 1
x x m 1
4 m 14m 4m 1 2m 1 2m 2 4m 8m 4
4
m 1 m 1 m 1
        
          
            
B
Vậy biểu thức B không phụ thuộc vμo giá trị của m. 
Đề bμi 2. Cho ph−ơng trình (m+1)x2 - 2(m+2)x + m + 5 = 0 
a. Giải ph−ơng trình với m = -5 
b. Tìm m để ph−ơng trình có nghiệm 
c. Tìm m để ph−ơng trình có nghiệm duy nhất 
d. Tìm m để ph−ơng trình có hai nghiệm phân biệt 
e. Tìm m để ph−ơng trình có hai nghiệm trái dấu 
f. *Tìm m để ph−ơng trình có hai nghiệm cùng d−ơng 
g. Tìm m để ph−ơng trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 + 3x2 = 4 
h. Tìm m để ph−ơng trình có hai nghiệm mμ tích của chúng bằng -1 
i. Khi ph−ơng trình có hai nghiệm x1 , x2 .Tính theo m giá trị của 2 21 2A x x  
j. Tìm m để A = 6 
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
 6
k. Tìm m để ph−ơng trình có hai nghiệm x1 , x2 trong đó có một nghiệm lμ 12 . Khi đó 
hãy lập ph−ơng trình có hai nghiệm lμ 1 2
2 1
6x 1 6x 1
vμ
3x 3x
  
Giải : 
a. Giải ph−ơng trình với m = -5 
Thay m = -5 vμo ph−ơng trình ta có : -4x2 + 6x = 0 
  x 02x 0 32x 2x 3 0 2x 3 0 x
2
          
Vậy với m = -5 , ph−ơng trình có hai nghiệm lμ 0 vμ 3
2
b. Tìm m để ph−ơng trình có nghiệm 
 Với m = -1 ph−ơng trình trở thμnh -2x + 4 = 0 x 2  . Ph−ơng trình có một 
nghiệm x = 2 
 Với m  -1 ph−ơng trình lμ ph−ơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = 
m+5 
    2' 2 2m 2 m 1 m 5 m 4m 4 m 6m 5 2m 1               
Ph−ơng trình có nghiệm khi 12m 1 0 m
2
     
Tóm lại ph−ơng trình có nghiệm khi 1m
2
 
c. Tìm m để ph−ơng trình có nghiệm duy nhất 
 Với m = -1 ph−ơng trình trở thμnh -2x + 4 = 0 x 2  . P.trình có một nghiệm duy 
nhất x = 2 
 Với m  -1 ph−ơng trình lμ ph−ơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = 
m+5 
    2' 2 2m 2 m 1 m 5 m 4m 4 m 6m 5 2m 1               
Ph−ơng trình có nghiệm duy nhất khi 12m 1 0 m
2
     ( thỏa mãn ) 
Tóm lại ph−ơng trình có nghiệm duy nhất khi 1m 1 hoặc m
2
   
Chú ý : Tr−ờng hợp ph−ơng trình bậc hai có 0  cũng đ−ợc coi lμ có 
nghiệm duy nhất 
d. Tìm m để ph−ơng trình có hai nghiệm phân biệt 
 Với m = -1 ph−ơng trình trở thμnh -2x + 4 = 0 x 2  . P.trình có một nghiệm duy 
nhất x = 2 
 Với m  -1 ph−ơng trình lμ ph−ơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = 
m+5 
    2' 2 2m 2 m 1 m 5 m 4m 4 m 6m 5 2m 1               
Ph−ơng trình có hai nghiệm phân biệt khi 12m 1 0 m
2
     
Tóm lại ph−ơng trình có hai nghiệm phân biệt khi 1m vμ m 1
2
   
e. Tìm m để ph−ơng trình có hai nghiệm trái dấu 
 Với m = -1 ph−ơng trình trở thμnh -2x + 4 = 0 x 2  . P.trình có một nghiệm duy 
nhất x = 2 
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
 7
 Với m  -1 ph−ơng trình lμ ph−ơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = 
m+5 
Ph−ơng trình có hai nghiệm trái dấu khi ac < 0 
     
m 1 0 m 1 (vô nghiệm)m 5 0 m 5m 1 m 5 0 5 m 1
m 1 0 m 1
m 5 0 m 5
                           
Vậy với -5 < m < -1 thì ph−ơng trình có hai nghiệm trái dấu 
Chú ý : 
Giải BPT ( m + 1 )( m + 5 ) < 0 (1) có cách nhanh hơn nh− sau : 
Để (1) xảy ra thì m + 1 vμ m + 5 lμ hai số trái dấu. Ta luôn có m + 1 < m + 5 
nên (1) xảy ra khi  m + 1 0 m >-5     
Tr−ờng hợp chỉ cần biết kết quả của các BPT dạng nh− (1), hãy học thuộc từ 
“ngoμi cùng trong khác” vμ dịch nh− sau : ngoμi khoảng hai nghiệm thì vế 
trái cùng dấu với hệ số a, trong khoảng hai nghiệm thì vế trái khác dấu với 
hệ số a ( hệ số a lμ hệ số lũy thừa bậc hai của vế trái khi khai triển, nghiệm ở 
đây lμ nghiệm của đa thức vế trái ) 
Ví dụ với BPT (1) thì vế trái có hai nghiệm lμ -1 vμ -5 , dạng khai triển lμ m2 
+ 6m + 5 nên hệ số a lμ 1 >0. BPT cần vế trái < 0 tức lμ khác dấu với hệ số a 
nên m phải trong khoảng hai nghiệm, tức lμ -5 < m < -1. Còn BPT ( m + 1 )( 
m + 5 ) > 0 (2) sẽ cần m ngoμi khoảng hai nghiệm (cùng dấu với hệ số a), tức 
lμ m -1 
Một số ví dụ minh họa : 
          m 3 m 7 0 m 7hoặc m 3; 2m 4 3m 9 0 3 m 22m 6 1 m 0 1 m 3 ; 5 m 2m 8 0 m 4 hoặc m 5                         
f. *Tìm m để ph−ơng trình có hai nghiệm cùng d−ơng 
 Với m = -1 ph−ơng trình trở thμnh -2x + 4 = 0 x 2  . P.trình có một nghiệm duy 
nhất x = 2 
 Với m  -1 ph−ơng trình lμ ph−ơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = 
m+5 
    2' 2 2m 2 m 1 m 5 m 4m 4 m 6m 5 2m 1               
Ph−ơng trình có hai nghiệm cùng d−ơng khi 
        
 
    
1 1
m m 1
2m 1 00 2 2
ac 0 m 1 m 5 0 m 1 m 5 0 m 5hoặc m 1 2 I
b 2 m 2 m 2 m 1 0 m 2 hoặc m 1 30 0a m 1
1
m 5hoặc 1 m
2
                                               
      
Chú ý : 
Để tìm nghiệm của hệ bất ph−ơng trình (I) ta lấy nháp vẽ một trục số, điền 
các số mốc lên đó vμ lấy các vùng nghiệm. Sau đó quan sát để tìm ra vùng 
nghiệm chung vμ kết luận. Việc lμm đó diễn tả nh− sau : 
5 2 1 1
(1)
(2) (2) 
(3) (3) 
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
 8
ở hình trên các đ−ờng (1) ; (2) ; (3) lần l−ợt lμ các đ−ờng lấy nghiệm của các bất 
ph−ơng trình (1) ; (2) ; (3) trên trục số. Qua đó ta thấy m<-5 hoặc -1 < m < 1
2
 lμ 
các giá trị chung thỏa mãn cả ba bất ph−ơng trình (1) ; (2) ; (3) nên đó lμ tập 
nghiệm của hệ bất ph−ơng trình (I) 
g. Tìm m để ph−ơng trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 + 3x2 = 4 
 Với m = -1 ph−ơng trình trở thμnh -2x + 4 = 0 x 2  . P.trình có một nghiệm duy 
nhất x = 2 
 Với m  -1 ph−ơng trình lμ ph−ơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = 
m+5 
    2' 2 2m 2 m 1 m 5 m 4m 4 m 6m 5 2m 1               
Ph−ơng trình có hai nghiệm x1 , x2 khi nó lμ ph−ơng trình bậc hai có 0  
Tức lμ  m 1m 1 12m 1 0 m
2
      
Khi đó theo đề bμi vμ định lí Viet ta có 
   
 
 
1 2
1 2
1 2
2 m 2b
x x 1
a m 1
c m 5
x .x 2
a m 1
x 3x 4 3
           
Từ (1) vμ (3) ta có hệ ph−ơng trình 
1 2 1 2 1
1 2
1 2 2 2 2
2m 4 2m 4 2m 4 m m 4
2m 4 x x x x x
x x m 1 m 1 m 1 m 1 m 1
m 1 2m 4 m m
x 3x 4 2x 4 x x
m 1 m 1 m 1
                                         
Thay vμo (2) ta có ph−ơng trình : 
      
 2 2
m 4 m m 5
. m 4 .m m 5 m 1 do m 1
m 1 m 1 m 1
5
m 4m m 5m m 5 2m 5 0 m thỏa mãn
2
          
           
Vậy 5m
2
  lμ giá trị cần tìm. 
h. Tìm m để ph−ơng trình có hai nghiệm mμ tích của chúng bằng -1 
 Với m = -1 ph−ơng trình trở thμnh -2x + 4 = 0 x 2  . P.trình có một nghiệm duy 
nhất x = 2 
 Với m  -1 ph−ơng trình lμ ph−ơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = 
m+5 
    2' 2 2m 2 m 1 m 5 m 4m 4 m 6m 5 2m 1               
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
 9
Ph−ơng trình có hai nghiệm x1 , x2 khi nó lμ ph−ơng trình bậc hai có 0  
Tức lμ   m 1m 1 1 12m 1 0 m
2
      
Khi đó theo định lí Viet ta có x1.x2 = 
m 5
m 1

 
Vậy để ph−ơng trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn tích hai nghiệm bằng -1 thì m phải 
thỏa mãn điều kiện (1) vμ  m 5 1 m 5 m 1 m 3 thỏa mãn
m 1
           
Vậy m = -3 lμ giá trị cần tìm. 
i. Khi ph−ơng trình có hai nghiệm x1 , x2 .Tính theo m giá trị của 2 21 2A x x  
 Với m = -1 ph−ơng trình trở thμnh -2x + 4 = 0 x 2  . P.trình có một nghiệm duy 
nhất x = 2 
 Với m  -1 ph−ơng trình lμ ph−ơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = 
m+5 
    2' 2 2m 2 m 1 m 5 m 4m 4 m 6m 5 2m 1               
Ph−ơng trình có hai nghiệm x1 , x2 khi nó lμ ph−ơng trình bậc hai có 0  
Tức lμ   m 1m 1 1 12m 1 0 m
2
      
 Khi đó theo định lí Viet : 
   
 
1 2
1 2
2 m 2b
x x 1
a m 1
c m 5
x .x 2
a m 1
         
   
    
     
2
22 2 2 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2
2 2 2
2 m 52m 4
Ta có A x x x 2x x x 2x x x x 2x x
m 1 m 1
2m 4 2 m 5 m 1 4m 16m 16 2m 12m 10 2m 4m 6
m 1 m 1 m 1
        