Các bài toán về nguyên lý đếm

ó 2! cách đảo vị trí 2 số 1 và 6 cạnh nhau. Vậy có 344.4. .2!A số có 
6 chữ số có hai số 1, 6 đứng cạnh nhau và không đứng đầu tiên. 
Bước 3: Vậy số các số thỏa mãn bài toán là: ( )5 4 36 5 46 2 4.4. 3312S A A A= − + = . 
C. Dạng 3. SỐ TẠO THÀNH CHỨA CHỮ SỐ LẶP LẠI 
Ví dụ: Có bao nhiêu số tự nhiên só 6 chữ số sao cho trong đó có 1 chữ số xuất 
hiện 3 lần, 1 chữ số khác xuất hiện 2 lần và 1 chữ số khác 2 chữ số trên. 
Lời giải: Nếu kể cả trường hợp chữ số 0 đứng đầu, lần lượt: 
Có 10 cách chọn chữ số xuất hiện 3 lần và có 36C cách chọn 3 trong 6 vị trí cho 
chữ số đó. Sau đó có 9 cách chọn chữ số xuất hiện 2 lần và có 23C cách chọn 2 
trong 3 vị trí còn lại cho chữ số đó. Tiếp theo có 8 cách chọn chữ số cho vị trí 
còn lại cuối cùng. Ta được số các số đó là: 3 2 3 26 3 6 310. .9. .8 720. .S C C C C= = . 
Do vai trò của 10 chữ số 0, 1,  9 là như nhau nên số các số có chữ số đứng 
đầu khác 0 thỏa mãn bài toán là: 3 26 3
9 648. .10 S C C= 
Bài toán tổng quát: Cho tập hợp gồm n chữ số, từ chúng viết được bao nhiêu 
số có m chữ số sao cho trong đó có một chữ số xuất hiện k lần, một chữ số 
khác xuất hiện q lần với k q m+ = . 
Cách giải: Ta xét hai bài toán nhỏ dưới đây: 
1) Nếu n chữ số đã cho có chứa chữ số 0. 
Bước 1: Nếu kể cả trường hợp chữ số 0 đứng đầu, ta thấy: 
Có n cách chọn chữ số xuất hiện k lần và có k
m
C cách chọn k trong m vị trí 
cho chữ số đó. Sau đó có ( )1n − cách chọn chữ số xuất hiện q lần cho q vị trí 
còn lại. Theo qui tắc nhân ta tính được số các số đó là: ( )1 k
m
S n n C= − 
Chương III. Tổ hợp, Xác suất và Số phức − Trần Phương 
256 
Bước 2: Vai trò của n chữ số như nhau nên số các số có chữ số đứng đầu khác 0 
thỏa mãn bài toán là: 1n S
n
−
2) Nếu n chữ số đã cho không chứa chữ số 0: ( )1 k
m
S n n C= − 
Bài 1. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số 
trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần còn mỗi chữ số khác có mặt đúng 1 lần. 
Giải 
Xét 8 chữ số hình thức 0, 1a, 1b, 1c, 2, 3, 4, 5. Ta sẽ lập số gồm 8 chữ số trên. 
Chữ số đầu tiên (hàng chục triệu) không thể là 0 nên có 7 cách chọn. Mỗi chữ 
số tiếp sau có thể là số bất kỳ trong 7 chữ số còn lại nên có 7! cách chọn. Như 
vậy tất cả có 7.7! số có 8 chữ số. Do1a = 1b = 1c = 1 nên các chữ số trên đã lặp 
lại 3! = 6 lần. Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là 7.7! 58803! = số. 
Bài 2. Cho tập hợp { }1, 2, 3, 4, 5, 6, 7A = 
a. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số có 12 chữ số sao cho chữ số 5 có mặt 
3 lần, chữ số 6 có mặt 4 lần còn lại chữ số khác có mặt 1 lần? 
b. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho có 1 chữ số lặp 
lại 4 lần; một chữ số khác lặp lại 2 lần và một chữ số khác với hai chữ số trên? 
Giải 
a. + Có 312C cách chọn vị trí cho 3 chữ số 5 
+ Có 49C cách chọn vị trí cho 4 chữ số 6. 
+ Có 5! cách xếp 5 chữ số còn lại vào 5 vị trí. 
Vậy có tất cả: 3 412 9. .5! 3326400C C = số cần tìm. 
b. Bước 1: Có 7 cách chọn chữ số lặp lại 4 lần từ 7 chữ số đã cho. 
 Có 47C cách chọn vị trí cho 4 chữ số này. 
Bước 2: Có 6 cách chọn chữ số lặp lại 2 lần từ 6 chữ số đã cho còn lại 
 Có 23C cách chọn vị trí cho 2 chữ số này. 
Bước 3: Có 5 cách chọn chữ số xuất hiện 1 lần từ 5 chữ số đã cho còn lại. 
Vậy số các số cần tìm là: 4 27 37. .6. .5 22050C C = số. 
Các bài toán về nguyên lý đếm 
257 
II.2. CÁC DẠNG BÀI TOÁN SỐ HỌC TÍCH HỢP SỰ VẬT, HIỆN TƯỢNG 
A. Dạng 1: BÀI TOÁN CHỌN VẬT 
1) Đặc trưng của bài toán: 
Chọn một tập hợp gồm có k phần tử từ n phần tử khác nhau, k phần tử không 
có tính chất gì thay đổi nếu như hoán vị k vị trí của nó. Đây chính là đặc điểm 
để nhận dạng sử dụng công thức tổ hợp. 
2. Phương pháp: 
Bước 1: Liệt kê các tính chất có thể có của tập con cần chọn 
Bước 2: Phân chia trường hợp (nếu có) 
Bước 3: Tính số cách chọn bằng cách dựa vào công thức k
n
C . 
Bước 4: Dùng quy tắc nhân và quy tắc cộng ⇒ kết quả của bài toán 
Bài 1. Một hộp đựng 7 viên bi xanh; 5 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng. 
a) Có bao nhiêu cách lấy ra 7 viên bi đủ 3 màu, trong đó có 3 viên bi xanh và 
nhiều nhất 2 viên bi đỏ? 
b) Có bao nhiêu cách lấy ra 8 viên bi có đủ 3 màu? 
Giải 
a) Xét hai trường hợp sau: 
TH1: Có 1 viên bi đỏ: khi đó có 15C cách lấy 1 viên bi đỏ; có 
3
7C cách lấy ra 3 
viên bi xanh và có 34C cách lấy ra 3 viên bi vàng. Vậy có 
1 3 3
5 7 4. .C C C cách lấy ra 
7 viên bi trong đó có 3 bi xanh, 1 bi đỏ và 3 bi vàng. 
TH2: Có 2 viên bi đỏ: khi đó có 25C cách lấy 2 viên bi đỏ; có 
3
7C cách lấy ra 3 
viên bi xanh và có 24C cách lấy ra 2 viên bi vàng. Vậy có 
2 3 2
5 7 4. .C C C cách lấy ra 
7 viên bi trong đó có 3 bi xanh, 2 bi đỏ và 2 bi vàng. 
Vậy có tất cả: 1 3 3 2 3 25 7 4 5 7 4 2800C C C C C C+ = cách. 
b) Bước 1: Tính số cách lấy ra 8 viên bi bất kỳ: có 816C cách 
Bước 2: Tính số cách lấy ra 8 viên bi không có màu vàng mà chỉ có hai màu 
xanh và đỏ: 7 1 6 2 5 3 4 4 3 57 5 7 5 7 5 7 5 7 5 495C C C C C C C C C C+ + + + = 
Chương III. Tổ hợp, Xác suất và Số phức − Trần Phương 
258 
Bước 3: Tính số cách lấy ra 8 viên bi không có màu đỏ mà có hai màu xanh và 
vàng: 7 1 6 2 5 3 4 47 4 7 4 7 4 7 4 165C C C C C C C C+ + + = 
Bước 4: Tính số cách lấy ra 8 viên bi không có màu xanh mà chỉ có hai màu đỏ 
và vàng: 5 3 4 45 4 5 4 9C C C C+ = 
Vậy có tất cả: ( )816 495 165 9 12201C − + + = cách. 
Chú ý: Từ bước 2 ta có thể tính theo cách sau: 
Bước 2: Tính số cách lấy ra 8 viên bi trong tổng số 12 viên xanh và đỏ: 812C 
Bước 3: Tính số cách lấy ra 8 viên bi trong tổng số 11 viên xanh và vàng: 811C 
Bước 4: Tính số cách lấy ra 8 viên bi trong tổng số 9 viên đỏ và vàng: 89C 
Vậy có tất cả: 8 8 8 816 12 11 9( ) 12201C C C C− + + = cách. 
Bài 2. Có 8 con tem và 5 bì thư. Chọn ra 3 con tem để dán vào 3 bì thư, mỗi bì 
thư dán 1 con tem. Hỏi có bao nhiêu cách dán? 
Giải 
Chọn 3 con tem có 38C cách; Chọn 3 bì thư có 
3
5C cách 
Một con tem có thể dán vào bì thư nào cũng được trong 3 bì lấy ra nên có tất 
cả: 3 38 53! 3360C C = cách. 
Bài 3. Trên một giá sách có 10 cuốn sách giáo khoa và 7 cuốn sách tham khảo. 
a) Có bao nhiêu cách lấy 6 cuốn trong đó có 2 cuốn sách giáo khoa? 
b) Có bao nhiêu cách lấy 7 cuốn trong đó có ít nhất 4 cuốn sách giáo khoa? 
Giải 
a) Có 210C cách lấy bất kỳ 2 cuốn trong 10 cuốn sách giáo khoa; Có 47C cách 
chọn 4 cuốn còn lại trong 7 cuốn sách tham khảo. Vậy có 2 410 7 1575C C = cách. 
b) Có 4 310 7C C cách chọn trong đó có 4 cuốn SGK và 3 cuốn sách tham khảo 
Có 5 210 7C C cách chọn trong đó có 5 cuốn SGK và 2 cuốn sách tham khảo. 
Có 6 110 7C C cách chọn trong đó có 6 cuốn SGK và 1 cuốn sách tham khảo. 
Có 7 010 7C C cách chọn trong đó có 7 cuốn SGK và 0 cuốn sách tham khảo. 
Vậy có 4 3 5 2 6 1 7 010 7 10 7 10 7 10 7 14232C C C C C C C C+ + + = cách. 
Các bài toán về nguyên lý đếm 
259 
B. Dạng 2: BÀI TOÁN CHỌN NGƯỜI 
Bài 1. Lớp 11A của Tuấn có 11 học sinh nam và 18 học sinh nữ. 
a. Có bao nhiêu cách chọn ra một đội văn nghệ gồm 10 người đủ nam và nữ. 
b. Chọn ra một tổ trực nhật gồm 13 người, trong đó có 1 tổ trưởng. Hỏi có bao 
nhiêu cách chọn nếu Tuấn luôn có mặt trong tổ và chỉ là thành viên? 
Giải 
a. Bước 1: Chọn 10 người bất kì trong 29 người cả nam và nữ có 1029C cách 
Bước 2: Chọn 10 người đều là nam có 1011C cách 
Bước 3: Chọn 10 người đều là nữ có 1018C cách 
Vậy có 10 10 1029 11 18 19986241C C C− − = cách chọn. 
b. Do Tuấn luôn có mặt trong tổ nên chỉ chọn thêm 12 người trong 28 người 
còn lại. Có 128C cách chọn 1 tổ trưởng và 
11
27C cách chọn 11 thành viên còn lại. 
Vậy có 1 1128 26. 216332480C C = cách chọn. 
Bài 2. Một trường trung học có 7 thầy dạy Toán, 6 thầy dạy Lý và 4 thầy dạy 
Hóa. Chọn từ đó ra một đội có 5 thầy dự đại hội. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 
để có đủ 3 bộ môn? 
Giải 
Chọn 1 thầy dạy Toán, 1 thầy dạy Lý, 3 thầy dạy Hóa có 1 1 23 5 8C C C cách 
Chọn 1 thầy dạy Toán, 2 thầy dạy Lý, 2 thầy dạy Hóa có 1 2 27 6 4C C C cách 
Chọn 1 thầy dạy Toán, 3 thầy dạy Lý, 1 thầy dạy Hóa có 1 3 17 6 4C C C cách 
Chọn 2 thầy dạy Toán, 1 thầy dạy Lý, 2 thầy dạy Hóa có 2 1 27 6 4C C C cách 
Chọn 2 thầy dạy Toán, 2 thầy dạy Lý, 1 thầy dạy Hóa có 2 2 17 6 4C C C cách 
Chọn 3 thầy dạy Toán, 1 thầy dạy Lý, 1 thầy dạy Hóa có 3 1 17 6 4C C C cách 
Vậy có tất cả: 1 1 3 1 2 2 1 3 1 2 1 2 2 2 1 3 1 17 6 4 7 6 4 7 6 4 7 6 4 7 6 4 7 6 4C C C C C C C C C C C C C C C C C C+ + + + + 
168 630 560 756 1260 840 4214= + + + + + = cách chọn. 
Chương III. Tổ hợp, Xác suất và Số phức − Trần Phương 
260 
Số cách chọn 5 thầy bất kì trong 17 thầy là: 517C 
Số cách chọn 5 trong 13 thầy dạy Toán và Lý là: 513C 
Số cách chọn 5 trong 11 thầy dạy Toán và Hóa là: 511C 
Số cách chọn 5 trong 10 thầy dạy Lý và Hóa là: 510C 
Vậy số cách chọn có đủ cả 3 bộ môn là: 5 5 5 517 13 11 10 4187C C C C− − − = cách 
6188 1287 462 252− − − 
Bài 3. Lớp 12A của Tiến có 30 học sinh. 
a. Hãy chọn trong lớp Tiến một tổ trực nhật có 11 người, trong đó có 1 tổ 
trưởng và còn lại các thành viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu Tiến luôn có 
mặt trong tổ? 
b. Hãy chọn trong lớp Tiến một đội văn nghệ có 8 người, trong đó có 1 đội 
trưởng, 1 thư ký và các thành viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu Tiến luôn 
có mặt trong đội? 
Giải 
a. Khi Tiến luôn có mặt trong tổ thì Tiến có thể là tổ trưởng hoặc thành viên. 
Xét 2 trường hợp sau: 
TH1: Nếu Tiến là tổ trưởng thì có 1029C cách chọn 10 thành viên còn lại 
TH2: Nếu Tiến là thành viên thì có 129C cách chọn tổ trưởng và có 
9
28C cách 
chọn 9 thành viên còn lại suy ra có 1 929 28.C C cách chọn 
Vậy có tất cả: 10 1 929 29 28. 20030010+200300100=220330110C C C+ = cách chọn. 
Chú ý: Có 1029C cách chọn 10 thành viên còn lại để có tổ trực nhật 11 người 
trong đó có Tiến. Có 11 cách chọn 1 trong số đó làm tổ trưởng do đó số cách 
chọn là: 102911. 220330110C = cách. 
b. Có 729C cách chọn 7 thành viên còn lại để được đội văn nghệ 8 người trong 
đó có Tiến. Có 8 cách chọn đội trưởng và ứng với mỗi cách lại có 7 cách chọn 
thư kí. Vậy tổng số cách chọn là: 72956. 87403680C = 
Các bài toán về nguyên lý đếm