Các bài toán trong tam giác qua các kì thi Đại học

nh: 1 1 1+ +
a b c
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ a b c
1 1 1+ +
h h h
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
 . 3.≥
Lời giải. 
 để ý rằng aha = 2S ⇔ 1
ah
 = 
2
a
S
Suy ra: 1
ah
 + 1
bh
 + 1
ch
 = 1 ( )
2
a b c
S
+ + 
Bài toán 9. (ĐH&CĐ- A2003- TK2) 
 4
Tính các góc của tam giác ABC biết rằng: 
4 ( )
2 3 3sin sin sin
2 2 2 8
p p a bc
A B C
− ≤⎧⎪⎨ −=⎪⎩
trong đó BC = a, CA = b, Ab = c, p = 
2
a b c+ + . 
Lời giải. 
4 ( ) (1)
2 3 3sin sin sin (2)
2 2 2 8
p p a bc
A B C
− ≤⎧⎪⎨ −=⎪⎩
(1) 4.⇔
2
a b c+ +
2
b c a+ − bc ≤ ⇔
2 2( )b c a
bc
+ − ≤ 1⇔ 2 (1 cos )bc A
bc
+ ≤ 1 
 cos⇔ 2
2
A 1/4 sin≤ ⇔ 2
2
A 3
4
≥ ⇔ sin
2
A 3
2
≥ 
 VT(2) = sin
2
A sin
2
B sin
2
C = 1
2
sin
2
A ( cos cos
2 2
B C B C− +− ) 
 ≤ 1
2
sin
2
A (1 sin
2
A− ) = 21 1(sin )
2 2 2
A 1
4
⎡ ⎤− − −⎢ ⎥⎣ ⎦ 
 = 1
8
 - 
21 1sin
2 2 2
A⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ ≤ 
2
1 1 3 1 2 3 3
8 2 2 2 8
⎛ ⎞ −− − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Dấu = khi chỉ khi: 
cos 1
2
3sin
2 2
B C
A
−⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩
⇔ A = 1200, B = C = 300. 
Bài toán 10. (ĐH&CĐ- D2003- TK1) 
Tìm các góc A, B, C của tam giác ABC để biểu thức: 
 Q = sin2A + sin2B - sin2C 
đạt giá trị nhỏ nhất. 
Lời giải. 
Ta có Q = 1 (1 cos 2 )
2
A− + 1 (1 cos 2 )
2
B− - - sin2C = 1 - cos(A+B)cos(A-B) - sin2C 
 = 1 + cosCcos(A-B) - sin2C = [ ]2 21cos cos( ) cos ( )
4
C A B A B− − − 1
4
≥ − +
 minQ = - 1
4
 khi chỉ khi 
cos( ) 1
1cos
2
A B
C
− =⎧⎪⎨ = −⎪⎩
⇔ A = B = 300, C = 1200. 
Bài toán 11. (ĐH&CĐ- D2003- TK2) 
Xác định dạng tam giác ABC biết rằng: 
 (p - a)sin2A + (p - b)sin2B = csinAsinB 
Lời giải.
 5
(p - a)sin2A + (p - b)sin2B = csinAsinB ⇔ (p - a)a2 + (p - b)b2 = abc 
⇔ ( )p a a
bc
− + ( )p b b
ca
− = 1 ⇔ ( ) .p p a a
bc
− + ( ) .p p b b
ca
− = p 
⇔
2 2( ) .b c a a
bc
+ − + 
2 2( ) .a c b b
ca
+ − = p ⇔ a(1 + cosA) + b(1 + cosB) = a + b + c 
⇔ acosA + bcosB = c sin2A + sin2B = 2sinC ⇔ ⇔ sin(A - B) = 1. 
Bài toán 12. (ĐH&CĐ- A2004) 
Cho tam giác ABC không tù, thoả mãn điều kiện: 
 cos2A + 2 2 cosB + 2 2 cosC = 3. 
Tính các góc của tam giác. 
Lời giải. 
Cách 1. 
Đặt M = cos2A + 2 2 cosB + 2 2 cosC - 3 
 = 2cos2A - 1 + 2 2 .2cos
2
B C+ cos
2
B C− 
 = 2cos2A + 4 2 .sin
2
A cos
2
B C− - 4 ≤ 2cos2A + 4 2 .sin
2
A - 4 
 ≤ 2cosA + 4 2 .sin
2
A - 4 
= 2(1 - 2sin2
2
A ) + 4 2 .sin
2
A - 4 = - 2( 2 .sin
2
A - 1)2 ≤ 0 
 M = 0 ⇔
2cos cos
cos 1
2
1sin
2 2
A A
B C
A
⎧⎪ =⎪ −⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩
 A = 90⇔ 0, B = C = 450. 
Cách 2. 
Từ giả thiết suy ra: cos2A + 2 2 cosB + 2 2 cosC - 3 = 0 
 1 - 2sin⇔ 2A + 4 2 cos
2
B C+ cos
2
B C− - 3 = 0 
⇔ sin2A - 2 2 sin
2
A cos
2
B C− + 1 = 0 
Vì tam giác ABC không tù nên 0 < A/2 ≤ π /4. Suy ra sin
2
A > 0, cos
2
A ≥ 2 /2 
Do đó: sinA = 2 sin
2
A cos
2
A ≥ 2 sin
2
A 
⇒0 = sin2A - 2 2 sin
2
A cos
2
B C− + 1 2sin≥ 2
2
A - 2 2 sin
2
A cos
2
B C− + 1 
 6
⇒
2
22 sin cos 1 cos
2 2 2
A B C B C− −⎛ ⎞− + −⎜ ⎟⎝ ⎠ ≤ 0 
⇒ cos
2
B C− = 1 và sin
2
A = 1/ 2 . 
Cách 3. 
M = 2cos2A - 1 + 4 2 cos
2
B C+ cos
2
B C− - 3 ≤ 2
2
21 2sin
2
A⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ 4 2 sin 2
A - 4 
 = 8t4 - 8t2 + 4 2 t - 2, t = sin
2
A 2(0; ]
2
∈ 
Đặt g(t) = 8t4 - 8t2 + 4 2 t - 2, t 2(0; ]
2
∈ 
Suy ra: g'(t) = 32t3 - 16t + 4 2 , g"(t) = 96t2 - 16 = 0 ⇔ t = 6
6
(do t > 0) 
Sự biến thiên của g(t): 
Từ đó: ming'(t) = g'( 6 /6) = - 16 6 /9 + 4 > 0. Suy ra g(t) đồng biến trên 
2(0; ]
2
 ⇒ g(t) g(≤ 2 /2) = 0. Vậy M ≤ 0. 
 M = 0 cos⇔
2
B C− = 1 và sin
2
A = 1/ 2 . 
Cách 4. 
 Từ một điểm trong tam giác ABC vẽ các véc tơ đơn vị hướng ra ngoài và vuông 
góc các cạnh BC, CA, AB lần lượt là 1e
JG
, 2e
JJG
, 3e
JG
. 
Xét bình phương vô hướng: 
 0 ≤ (2 + 1e
JG
2 2e
JJG
 + 2 3e
JG
)2 = 8 - 4 2 coC - 4 2 coB - 4cosA 
⇔ 2cosA + 2 2 coC + 2 2 coB ≤ 4 
⇔ 2cosA - 1 + 2 2 coC + 2 2 coB ≤ 3 
Ta có 2cos2A - 1 2cosA - 1 ≤
Nên 2cos2A - 1 + 2 2 coC + 2 2 coB ≤ 2cosA - 1 + 2 2 coC + 2 2 coB ≤ 3 
⇔ cosA + 2 2 coC + 2 2 coB ≤ 3 
Dấu = khi chỉ khi 
2
1 2 3
cos A = cosA (0 < A )
2
2 2 2 0e e e
π⎧ ≤⎪⎨⎪ + + =⎩
JG JJG JG G ⇔
2 1
cos 0
2 (2 2
A
e e
=⎧⎪⎨ = − +⎪⎩ 3 )e
JJG JG JG 
 ⇔
0
1 3
90
2 6 4 2 .
A
e e
⎧ =⎪⎨ = +⎪⎩
JG JG ⇔
090
2 6 4 2 cos
A
B
⎧ =⎪⎨ = −⎪⎩
Cách 5. 
cos2A + 2 2 cosB + 2 2 cosC - 3 = 0 
⇔ cos2A = - 2 2 cosB - 2 2 cosC +3 
 7
⇔ cos2A + 2cos2B + 2cos2C = 2cos2B - 2 2 cosB + 2cos2C - 2 2 cosC +3 
⇔ cos2A + 1 + cos2B + 1 + cos2C = ( 2 cosB - 1)2 + ( 2 cosC - 1)2 + 1 
⇔ 2 - 1 - 4cosA cosB cosC = ( 2 cosB - 1)2 + ( 2 cosC - 1)2 + 1 
⇔ - 4cosA cosB cosC = ( 2 cosB - 1)2 + ( 2 cosC - 1)2 
 - 4cosA cosB cosC ≤0 ( ABC không tù) 
Suy ra: ( 2 cosB - 1)2 + ( 2 cosC - 1)2 - 4cosA cosB cosC ≤ 0 
⇔ 2 cos 2 cos 1
cos cos cos 0
B C
A B C
⎧ = =⎪⎨ =⎪⎩
Bài toán 13. (CĐ Y Tế Nghệ An - 2004) 
Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta luôn có: 
 cos2A + cos2B + cos2C = 1 - 2 cosAcosBcosC 
Lời giải. 
Cách 1. cos2A + cos2B + cos2C = 1 cos 2
2
A+ + 1 cos 2
2
B+ + cos2C = 
= 1 + cos(A+B)cos(A-B) + cos2C = 1 - cosC[cos(A-B) - cosC] = 
= 1 - cosC[cos(A-B) + cos(A+B)] = 1 - 2 cosAcosBcosC 
Cách 2. 1 - 2 cosAcosBcosC = 1 - cosC[cos(A-B) + cos(A+B)] = 
1 - cosC[cos(A-B) - cosC] = 1 + cos(A+B)cos(A-B) + cos2C = 
= 1 + 1
2
(cos2A + cos2B) + cos2C = 1+ 1
2
 (2cos2A - 1) + 1
2
(2cos2B - 1) = 
= cos2A + cos2B + cos2C. 
Bài toán 14. (CĐSP Hải Dương - B2005) 
Cho tam giác ABC có các góc A, B, C thoả sinC = 2sinBsinAtan C
2
. 
Chứng minh rằng tam giác ABC cân. 
Lời giải. 
sinC = 2sinBsinAtan C
2
⇔ 2cos sin sin
2
C A B= ⇔ 22cos cos( ) cos
2
C A B C= − + 
⇔ cos(A-B) = 1 A - B = 0. ⇔
Bài toán 15. (Bộ Quốc phòng- A2005) 
Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn điều kiện 1 a + cotA = 
sinA c - b
 thì 
tam giác ABC là tam giác vuông. 
Lời giải. 
1 a + cotA = 
sinA c - b
 ⇔ 1+ cosA sinA=
sinA sinB - sinC
 ⇔
22cos 2sin cos
2 2 2
A
C2sin cos 2sin sin
2 2 2 2
A A
A A A B= − ⇔ sin sin2 2
A B C−= ⇔ A + C = B B = ⇔
2
π 
Bài toán 16. (CĐKTKTHải Dương -A2005) 
 8
 Các góc của tam giác ABC thoả mãn điều kiện : 
 sin2A + sin2B + sin2C = 3(cos2A + cos2B + cos2C) 
Chứng minh rằng tam giác ABC đều. 
Lời giải. 
 sin2A + sin2B + sin2C = 3(cos2A + cos2B + cos2C) ⇔ 
⇔ sin2A + sin2B + sin2C = 9
4
 ⇔ 21 cos 2 1 cos 2 9sin
2 2 4
A B C− − + = ⇔ +
⇔ 1 + cos(A - B) cosC + 1 - cos2C = 9
4
⇔ 
⇔ 4cos2C - 4cos(A - B)cosC + 1 = 0 ⇔ 
⇔ [2cosC - cos(A - B)]2 + 1- cos2(A - B) = 0 ⇔ 
2cos cos( ) 0
,
cos( ) 1 6
C A B
A B C
A B
π− − =⎧⇔ ⇔⎨ − =⎩ = = 
Bài toán 17. 
 Tam giác ABC thoả (1 - cosA)(1 - cosB)(1 - cosC) = cosAcosBcosC 
Chứng minh tam giác ABC đều. 
Lời giải. 
 Để ý rằng 1 - cosA > 0, 1 - cosB > 0, 1 - cosC > 0. 
Suy ra cosAcosBcosC > 0 
(GT) ⇔ 1 cos 1 cos 1 cos. .
cos cos cos
A B C 1
A B C
− − − = . Đặt x = tan
2
A , y = tan
2
B , z = tan
2
C 
1 cos 1 cos 1 cos. . 1
cos cos cos
A B C
A B C
− − − = ⇔ 221
x
x− . 2
2
1
y
y− . 2
2
1
z
z− = 
1
xyz
⇔ tanA.tanB.tanC = cot
2
A cot
2
B cot
2
C 
⇔ tanA + tanB + tanC = cot
2
A + cot
2
B + cot
2
C (1) 
Ta chứng minh tanA + tanB + tanC cot≥
2
A + cot
2
B + cot
2
C . Dấu đẳng thức xảy 
ra chỉ khi A = B = C. Thật vậy: 
tanA + tanB = sin 2sin 2sin
cos cos cos( ) cos( ) 1 cos
C C C
A B A B A B C
= ≥+ + − − = 2c . ot 2
C
Dấu đẳng thức khi chỉ khi A = B 
Tương tự: tanB + tanC ≥ 2cot
2
A . Dấu đẳng thức khi chỉ khi B = C 
 tanC + tanA ≥ 2cot
2
B . Dấu đẳng thức khi chỉ khi C = A 
Suy ra: tanA + tanB + tanC cot≥
2
A + cot
2
B + cot
2
C . 
 9
 Dấu đẳng thức xảy ra chỉ khi A = B = C. 
BÀI TẬP LÀM THÊM 
Bài toán 18. 
 Tam giác ABC nhọn thoả 
2tan
2
sin
2
A
A + 
2tan
2
sin
2
A
A + 
2tan
2
sin
2
A
A = 18 
Chứng minh tam giác ABC đều. 
Lời giải. 
 Cách 1. Ta chứng minh 
2tan
2
sin
2
A
A + 
2tan
2
sin
2
B
B + 
2tan
2
sin
2
C
C ≥ 18. Dắu đẳng thức xảy ra 
chỉ khi A = B = C. Thật vậy: 
Ta có 
2a
x
 + 
2a
x
 + 
2a
x
≥ 
2(a b c)
x y z
+ +
+ + với a, b, c thực và x, y, z thực dương. 
Dấu đẳng thức xảy ra chỉ khi a b c
x y z
= = 
2tan
2
sin
2
A
A + 
2tan
2
sin
2
B
B + 
2tan
2
sin
2
C
C ≥
( )2tan tan tan
sin sin sin
2 2 2
A B C
A B C
+ +
+ +
 ≥
2(3 3)
3
2
= 18 
Dấu đẳng thức xảy ra chỉ khi tan
sin
2
A
A = 
tan
sin
2
B
B = 
tan
sin
2
C
C và A = B = C . 
Cách 2. Ta có: 
( )2222
2
sin
2
sin
2
sin2
sin
2
sin
2
sin tgCtgBtgA
C
Ctg
B
Btg
A
AtgCBA ++≥
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++ 
⇒ ( )
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2222
CBA
tgCtgBtgA
C
Ctg
B
Btg
A
AtgP
++
++≥++= 
Vì: 33≥++ tgCtgBtgA ; 
2
3
2
sin
2
sin
2
sin ≤++ CBA 
Do đó: ( ) 18
2
sin
2
sin
2
sin
2
≥
++
++
CBA
tgCtgBtgA 2 2 2 18
sin sin sin
2 2 2
tg A tg B tg CP A B C⇒ = + + ≥ . 
 10
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều. 
Bài toán 19. 
Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có: 
 cos A
x
 + cos B
y
 + cosC
z
 ≤ 
2 2
2
2x y z
xyz
+ + ; x, y, z > 0. 
Lời giải. 
 cos A
x
 + cos B
y
 + cosC
z
 ≤ 
2 2
2
2x y z
xyz
+ + 
⇔ 2yzcosA + 2xzcosB + 2xycosC≤ x2 + y2 + z2
⇔ 2yzcosA + 2xzcosB - 2xycos(A + B) ≤ x2 + y2 + z2
⇔ 2yzcosA + 2xzcosB - 2xycosAcosB + 2xysinAsinB ≤ x2(sin2B + cos2B) + 
 + y2(sin2A + cos2A)+ z2
⇔ (xcosB + cosA - z)2 + (xsinB - ysinA)2 ≥ 0. 
Dấu đẳng thức xảy ra chỉ khi 
sin
cos cos 0 sin
sin sin 0 sin sincos cos
sin sin
x A
x B y A z y B
x B y A A Cz y B y A y
B B
⎧ =⎪+ − =⎧ ⎪⇔⎨ ⎨− =⎩ ⎪ = + =⎪⎩
⇔ x : y : z = sinA : sinB : sinC. 
áp dụng 1: Tính các góc của tam giác ABC biết rằng 
 F = 3 cosA + 3(cosB + cosC) đạt giá trị lớn nhất. 
áp dụng 2: Tính các góc của tam giác ABC biết rằng 
 1
3
cosA + 1
4
cosB + 1
5
cosC = 5
12
Bài toán 20. 
Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có: 
 11
sin A
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
11
sin B
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
11
sin C
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠ ≥ 
2
22
3
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Lời giải. 
 Trước hết ta chứng minh: Với x, y, z > 0 và x + y + z ≤ S. 
 Khi đó 11
x
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
11
y
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
11