Các bài toán luyện tập học sinh lớp 11

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP HỌC SINH LỚP XI
Bài 1.Trong hình thang nội tiếp một đường tròn bán kính r. 
Tìm diện tích hình thang nếu biết các góc kề với đáy lớn bằng a và b. 
Giải:
Рис. 1
Trả lời: .
Giả sử АВ – là đáy lớn của hình thang АВСD, ÐDAB = a, ÐCBA = b (xem hình.1). 
Kẻ đường cao của hình thang DP và CQ, chúng bằng đường kính của đường tròn nội tiếp. 
Tam giác ADP và BCQ – vuông, bởi thế , . Vì hình thang ngoại tiếp được, nên АВ + CD = AD + BC. 
Suy ra
 = . 
Bài 2. Góc a, b và g của tam giác thỏa mãn đẳng thức cos3a + cos3b + cos3g = 1. Chứng minh một trong ba góc của tam giác đó bằng 120°.
Giải:
Không làm mất tính tổng quát, giả sử a £ b £ g , khi đó a và b – góc nhọn.
 Biến đổi đẳng thức đã cho:
 cos3a + cos3b + cos3g = 1 
Û cos3a + cos3b = 1 – cos3g 
 Û = . 
Vì g = 180° – (a + b), то .
Suy ra
Û 
 Û . 
vì 0 < a < 90° và 0 < b < 90°, nên и . 
Suy ra, . 
Thế mà a + b < 180°, nên: Û . 
thì còn g = 120°, là điều phải chúng minh..
Bài 3. Đường cao của tam giác vuông chia tam giác thành hai tam giác có chu vi bằng m và n. Tính chu vi của tam giác đã cho.
Giải:
Trả lời: .
Giả sử АВС – tam giác vuông, СН – là đường cao ( xem hình 2). 
Cách 1
Từng tam giác ACH và СBH đồng dạng với tam giác АВС (theo trường hợp hai góc). 
Рис. 2
Hệ số đồng dạng tương ứng và . 
Tỷ số chu vi của tam giác đồng dạng bằng tỷ số đồng dạng nên ta có và , ở đó Р – chu vi của tam giácа АВС. 
Theo lý thuyết Pythagore = 1, 
Suy ra, = 1, vậy .
Cách 2
Đặt: ÐСВA = ÐAСН = b; СН = h ( xem hình 2).
Khi đó = = = m (1); 
	 = = = n (2). 
Chia (1) cho (2) ta có , khi đó .
 Ta biết 0 < b < 90°, nên: ; .
Rút h từ biểu thức (1) và thay giá trị sin, cos tìm được ta có
 = .
	Khi đó
 	 = 
	= 
	= 
	= .
Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Giải:
Trả lời: 2.
Khảo sát hàm số . Nó xác định trong đoạn [0; 1]. 
Cách1
Ta biết công thức , ở đó , . Khi đó . 
Hàm này có giá trị lớn nhất với a = 0, f(0) = 2. 
Cách 2
Ta chúng minh rằng với tất cả giá trị của аÎ[0; 1] thì . 
Giả sử , . 
Theo bất đẳng thức giữa trùng bình công và trung bình bình phương của hai số không âm ta có 
 ta biết Û ,
như vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi а = 0, vì thế 2 – là giá trị lớn nhất của biểu thức
Bất đẳng thức có thể chứng minh cách khác như: 
 Giả sử x + y > 2, khi đó 2x2 + 2y2 ³ (x + y)2 > 4, nên x2 + y2 > 2. 
Tương tự , 2x4 + 2y4 ³ (x2 + y2)2 > 4, suy ra x4 + y4 > 2. 
 và nếu: x4 + y4 = 1 + a + 1 – a = 2 thì ta nhận được điều ngược lại
 vậy .
Bài 5. Trong tam giác nhọn АВС từ chân đường cao hạ các đường vuông góc DM và DN đến cạnh АВvà ВС. 
Tính góc АВС, nếu MN = m; BD = h.
Giải:
Trả lời: arcsin.
Рис. 3
Vì tam giác BMD и BND – vuông, nên tứ giác MBND có thể nội tiếp đường tròn đường kính BD (xem hình. 4). 
Khảo sát tam giác MBN, nội tiếp đường tròn.
theo định lý hàm số Sin ta có . 
vì ÐABC – nhọn, nên ÐABC = ÐMBN = arcsin.
Bài 6: Giả sử hai góc nhọn của tam giác thỏa mán đẳng thức:.
Khi đó có thể tính được góc thư ba của tam giác không?
Giải:
Trả lời: 90°.
Biến đổi
Û 
Û . 
vì góc a và b – nhọn, nên sina > 0 và sinb > 0.
Giả sử sina – cosb > 0, thì ta có sina > cosb = sin(90° – b).
Vì 0 90° – b, 
Bởi thế cosa < cos(90° – b) = sinb, nên ta có cosa – sinb < 0
 và như thể là đẳng thức không thể xảy ra
Tương tựu ta cung nhận được điều ngược lại sina – cosb < 0. 
Vậy chỉ còn là sina – cosb = sinb – cosa = 0, thành thử a + b = 90°. 
 ---------------------------------------------