Bồi dưỡng HSG lớp 9 môn Toán - Chuyên đề: Số thực và căn bậc hai
) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.
5. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = a3 + b3.
6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : N = a + b.
7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)
8. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng :
(y + z) + (z + x) ≥ 3. (2) Nhân từng vế của (1) với (2) (do hai vế đều không âm) : 2 ≥ 9. Þ A ≤ max A = khi và chỉ khi x = y = z = . 36. a) Có thể. b, c) Không thể. 37. Hiệu của vế trái và vế phải bằng (a – b)2(a + b). 38. Áp dụng bất đẳng thức với x, y > 0 : (1) Tương tự (2) Cộng (1) với (2) = 4B Cần chứng minh B ≥ , bất đẳng thức này tương đương với : 2B ≥ 1 Û 2(a2 + b2 + c2 + d2 + ad + bc + ab + cd) ≥ (a + b + c + d)2 Û a2 + b2 + c2 + d2 – 2ac – 2bd ≥ 0 Û (a – c)2 + (b – d)2 ≥ 0 : đúng. 39. - Nếu 0 ≤ x - < ½ thì 0 ≤ 2x - 2 < 1 nên = 2. - Nếu ½ ≤ x - < 1 thì 1 ≤ 2x - 2 < 2 Þ 0 ≤ 2x – (2 + 1) < 1 Þ = 2 + 1 40. Ta sẽ chứng minh tồn tại các số tự nhiên m, p sao cho : ≤ a + 15p < Tức là 96 ≤ < 97 (1). Gọi a + 15 là số có k chữ số : 10k – 1 ≤ a + 15 < 10k Þ (2). Đặt . Theo (2) ta có x1 < 1 và < 1. Cho n nhận lần lượt các giá trị 2, 3, 4, , các giá trị của xn tăng dần, mỗi lần tăng không quá 1 đơn vị, khi đó sẽ trải qua các giá trị 1, 2, 3, Đến một lúc nào đó ta có = 96. Khi đó 96 ≤ xp < 97 tức là 96 ≤ < 97. Bất đẳng thức (1) được chứng minh. § 2. CĂN THỨC BẬC HAI - HẰNG ĐẲNG THỨC 42. a) Do hai vế của bất đẳng thức không âm nên ta có : | A + B | ≤ | A | + | B | Û | A + B |2 ≤ ( | A | + | B | )2 Û A2 + B2 + 2AB ≤ A2 + B2 + 2| AB | Û AB ≤ | AB | (bất đẳng thức đúng) Dấu “ = “ xảy ra khi AB ≥ 0. b) Ta có : M = | x + 2 | + | x – 3 | = | x + 2 | + | 3 – x | ≥ | x + 2 + 3 – x | = 5. Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi (x + 2)(3 – x) ≥ 0 Û -2 ≤ x ≤ 3 (lập bảng xét dấu) Vậy min M = 5 Û -2 ≤ x ≤ 3. c) Phương trình đã cho Û | 2x + 5 | + | x – 4 | = | x + 9 | = | 2x + 5 + 4 – x | Û (2x + 5)(4 – x) ≥ 0 Û -5/2 ≤ x ≤ 4 43. Điều kiện tồn tại của phương trình : x2 – 4x – 5 ≥ 0 Û Đặt ẩn phụ , ta được : 2y2 – 3y – 2 = 0 Û (y – 2)(2y + 1) = 0. 45. Vô nghiệm 46. Điều kiện tồn tại của là x ≥ 0. Do đó : A = + x ≥ 0 Þ min A = 0 Û x = 0. 47. Điều kiện : x ≤ 3. Đặt = y ≥ 0, ta có : y2 = 3 – x Þ x = 3 – y2. B = 3 – y2 + y = - (y – ½ )2 + ≤ . max B = Û y = ½ Û x = . 48. a) Xét a2 và b2. Từ đó suy ra a = b. b) . Vậy hai số này bằng nhau. c) Ta có : . Mà . 49. A = 1 - | 1 – 3x | + | 3x – 1 |2 = ( | 3x – 1| - ½ )2 + ¾ ≥ ¾ . Từ đó suy ra : min A = ¾ Û x = ½ hoặc x = 1/6 51. M = 4 52. x = 1 ; y = 2 ; z = -3. 53. P = | 5x – 2 | + | 3 – 5x | ≥ | 5x – 2 + 3 – 5x | = 1. min P = 1 Û . 54. Cần nhớ cách giải một số phương trình dạng sau : . a) Đưa phương trình về dạng : . b) Đưa phương trình về dạng : . c) Phương trình có dạng : . d) Đưa phương trình về dạng : . e) Đưa phương trình về dạng : | A | + | B | = 0 g, h, i) Phương trình vô nghiệm. k) Đặt = y ≥ 0, đưa phương trình về dạng : | y – 2 | + | y – 3 | = 1 . Xét dấu vế trái. l) Đặt : . Ta được hệ : . Từ đó suy ra : u = z tức là : . 55. Cách 1 : Xét . Cách 2 : Biến đổi tương đương Û (x2 + y2)2 – 8(x – y)2 ≥ 0 Û (x2 + y2)2 – 8(x2 + y2 – 2) ≥ 0 Û (x2 + y2)2 – 8(x2 + y2) + 16 ≥ 0 Û (x2 + y2 – 4)2 ≥ 0. Cách 3 : Sử dụng bất đẳng thức Cauchy : (x > y). Dấu đẳng thức xảy ra khi hoặc 62. = = . Suy ra điều phải chứng minh. 63. Điều kiện : . Bình phương hai vế : x2 – 16x + 60 6. Nghiệm của bất phương trình đã cho : x ≥ 10. 64. Điều kiện x2 ≥ 3. Chuyển vế : ≤ x2 – 3 (1) Đặt thừa chung : .(1 - ) ≤ 0 Û Vậy nghiệm của bất phương trình : x = ; x ≥ 2 ; x ≤ -2. 65. Ta có x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1 Û (x2 + y2)2 – 4(x2 + y2) + 3 = - x2 ≤ 0. Do đó : A2 – 4A + 3 ≤ 0 Û (A – 1)(A – 3) ≤ 0 Û 1 ≤ A ≤ 3. min A = 1 Û x = 0, khi đó y = ± 1. max A = 3 Û x = 0, khi đó y = ± . 66. a) ½ ≤ x ≠ 1. b) B có nghĩa Û . 67. a) A có nghĩa Û b) A = với điều kiện trên. c) A < 2 Û < 1 Û x2 – 2x < 1 Û (x – 1)2 < 2 Û - < x – 1 < Þ kq 68. Đặt = a. Ta sẽ chứng minh 20 chữ số thập phân đầu tiên của là các chữ số 9. Muốn vậy chỉ cần chứng minh a < < 1. Thật vậy ta có : 0 < a < 1 Þ a(a – 1) < 0 Þ a2 – a < 0 Þ a2 < a. Từ a2 < a < 1 suy ra a < < 1. Vậy . 69. a) Tìm giá trị lớn nhất. Áp dụng | a + b | ≥ | a | + | b |. A ≤ | x | + + | y | + 1 = 6 + Þ max A = 6 + (khi chẳng hạn x = - 2, y = - 3) b) Tìm giá trị nhỏ nhất. Áp dụng | a – b | ≥ | a | - | b . A ≥ | x | - | y | - 1 = 4 - Þ min A = 4 - (khi chẳng hạn x = 2, y = 3) 70. Ta có : x4 + y4 ≥ 2x2y2 ; y4 + z4 ≥ 2y2z2 ; z4 + x4 ≥ 2z2x2. Suy ra : x4 + y4 + z4 ≥ x2y2 + y2z2 + z2x2 (1) Mặt khác, dễ dàng chứng minh được : Nếu a + b + c = 1 thì a2 + b2 + c2 ≥ . Do đó từ giả thiết suy ra : x2y2 + y2z2 + z2x2 ≥ (2). Từ (1) , (2) : min A = Û x = y = z = § 3. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG 71. Làm như bài 8c (§ 2). Thay vì so sánh ta so sánh và . Ta có : . 72. Cách 1 : Viết các biểu thức dưới dấu căn thành bình phương của một tổng hoặc một hiệu. Cách 2 : Tính A2 rồi suy ra A. 73. Áp dụng : (a + b)(a – b) = a2 – b2. 74. Ta chứng minh bằng phản chứng. a) Giả sử tồn tại số hữu tỉ r mà = r Þ 3 + 2 + 5 = r2 Þ . Vế trái là số vô tỉ, vế phải là số hữu tỉ, vô lí. Vậy là số vô tỉ. b), c) Giải tương tự. 75. a) Giả sử a > b rồi biến đổi tương đương : Û . Vậy a > b là đúng. b) Bình phương hai vế lên rồi so sánh. 76. Cách 1 : Đặt A = , rõ ràng A > 0 và A2 = 2 Þ A = Cách 2 : Đặt B = Þ B = 0. 77. . 78. Viết . Vậy P = . 79. Từ giả thiết ta có : . Bình phương hai vế của đẳng thức này ta được : . Từ đó : x2 + y2 = 1. 80. Xét A2 để suy ra : 2 ≤ A2 ≤ 4. Vậy : min A = Û x = ± 1 ; max A = 2 Û x = 0. 81. Ta có : . . 82. Xét tổng của hai số : = = . 83. = = . 84. Từ Þ . Vậy x = y = z. 85. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 1 và ai ( i = 1, 2, 3, n ). 86. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với hai số a + b ≥ 0 và 2 ≥ 0, ta có : . Dấu “ = “ xảy ra khi a = b. 87. Giả sử a ≥ b ≥ c > 0. Ta có b + c > a nên b + c + 2 > a hay Do đó : . Vậy ba đoạn thẳng lập được thành một tam giác. § 4. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG 88. a) Điều kiện : ab ≥ 0 ; b ≠ 0. Xét hai trường hợp : * Trường hợp 1 : a ≥ 0 ; b > 0 : . * Trường hợp 2 : a ≤ 0 ; b < 0 : . b) Điều kiện : . Với các điều kiện đó thì : . Nếu 0 < x < 2 thì | x – 2 | = -(x – 2) và B = - . Nếu x > 2 thì | x – 2 | = x – 2 và B = 89. Ta có : . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: . Vậy . Đẳng thức xảy ra khi : . 93. Nhân 2 vế của pt với , ta được : Û 5/2 ≤ x ≤ 3. 94. Ta chứng minh bằng qui nạp toán học : a) Với n = 1 ta có : (*) đúng. b) Giả sử : (1) c) Ta chứng minh rằng (*) đúng khi n = k + 1 , tức là : (2) Với mọi số nguyên dương k ta có : (3) Nhân theo từng vế các bất đẳng thức (1) và (3) ta được bất đẳng thức (2). Vậy " n Î Z+ ta có 95. Biến đổi tương đương : (đúng). 96. Điều kiện : Xét trên hai khoảng 1 2. Kết quả : 105. Cách 1 : Tính A. Cách 2 : Tính A2 Cách 3 : Đặt = y ≥ 0, ta có : 2x – 1 = y2. Với y ≥ 1 (tức là x ≥ 1), . Với 0 ≤ y < 1 (tức là ≤ x < 1), . 108. Nếu 2 ≤ x ≤ 4 thì A = 2. Nếu x ≥ 4 thì A = 2. 109. Biến đổi : . Bình phương hai vế rồi rút gọn, ta được : . Lại bình phương hai vế rồi rút gọn : (2 – y)(x – 2) = 0. Đáp : x = 2 , y ≥ 0 , x ≥ 0 , y = 2. 110. Biến đổi tương đương : (1) Û a2 + b2 + c2 + d2 + 2 ≥ a2 + c2 + 2ac + b2 + d2 + 2bd Û ≥ ac + bd (2) * Nếu ac + bd < 0, (2) được chứng minh. * Nếu ac + bd ≥ 0, (2) tương đương với : (a2 + b2)(c2 + d2) ≥ a2c2 + b2d2 + 2abcd Û a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 ≥ a2c2 + b2d2 + 2abcd Û (ad – bc)2 ≥ 0 (3). Bất đẳng thức (3) đúng, vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh. 111. Cách 1 : Theo bất đẳng thức Cauchy : . Tương tự : . Cộng từng vế 3 bất đẳng thức : Cách 2 : Theo BĐT Bunhiacôpxki : (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) ≥ (ax + by + cz)2. Ta có : ≥ ≥ Þ . 112. a) Ta nhìn tổng a + 1 dưới dạng một tích 1.(a + 1) và áp dụng bđt Cauchy : Tương tự : Cộng từng vế 3 bất đẳng thức : . Dấu “ = ” xảy ra Û a + 1 = b + 1 = c + 1 Û a = b = c = 0, trái với giả thiết a + b + c = 1. Vậy : . b) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki với hai bộ ba số : Þ ≤ 3(a + b + b + c + c + a) = 6Þ 113. Xét tứ giác ABCD có AC ^ BD, O là giao điểm hai đường chéo. OA = a ; OC = b ; OB = c ; OD = d với a, b, c, d > 0. Ta có : AC = a + b ; BD = c + d. Cần chứng minh : AB.BC + AD.CD ≥ AC.BD. Thật vậy ta có : AB.BC ≥ 2SABC ; AD.CD ≥ 2SADC. Suy ra : Suy ra : AB.BC + AD.CD ≥ 2SABCD = AC.BD. Vậy : . Chú ý : Giải bằng cách áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki : (m2 + n2)(x2 + y2) ≥ (mx + ny)2 với m = a , n = c , x = c , y = b ta có : (a2 + c2)(c2 + b2) ≥ (ac + cb)2 Þ ≥ ac + cb (1) Tương tự : ≥ ad + bd (2) . Cộng (1) và (2) suy ra đpcm. 114. Lời giải sai : . Phân tích sai lầm : Sau khi chứng minh f(x) ≥ - , chưa chỉ ra trường hợp xảy ra f(x) = - Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi . Vô lí. Lời giải đúng : Để tồn tại phải có x ≥ 0. Do đó A = x + ≥ 0. min A = 0 Û x = 0. 115. Ta có . Theo bất đẳng thức Cauchy : nên A ≥ 2 + a + b = . min A = khi và chi khi . 116. Ta xét biểu thức phụ : A2 = (2x + 3y)2. Nhớ lại bất đẳng thức Bunhiacôpxki : (am + bn)2 ≤ (a2 + b2)(m2 + n2) (1) Nếu áp dụng (1) với a = 2, b = 3, m = x, n = y ta có : A2 = (2x + 3y)2 ≤ (22 + 32)(x2 + y2) = 13(x2 + y2). Vói cách trên ta không chỉ ra được hằng số α mà A2 ≤ α. Bây giờ, ta viết A2 dưới dạng : A2 = rồi áp dụng (1) ta có : Do A2 ≤ 25 nên -5 ≤ A ≤ 5. min A = -5 Û max A = 5 Û 117. Điều kiện x ≤ 2. Đặt = y ≥ 0, ta có : y2 = 2 – x. 118. Điều kiện x ≥ 1 ; x ≥ 1/5 ; x ≥ 2/3 Û x ≥ 1. Chuyển vế, rồi bình phương hai vế : x – 1 = 5x – 1 + 3x – 2 + (3) Rút gọn : 2 – 7x = . Cần có thêm điều kiện x ≤ 2/7. Bình phương hai vế : 4 – 28x + 49x2 = 4(15x2 – 13x + 2) Û 11x2 – 24x + 4 = 0 (11x – 2)(x – 2) = 0 Û x1 = 2/11 ; x2 = 2. Cả hai nghiệm đều không thỏa mãn điều kiện. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 119. Điều kiện x ≥ 1. Phương trình biến đổi thành : * Nếu x > 2 thì : , không thuộc khoảng đang xét. * Nếu 1 ≤ x ≤ 2 thì : . Vô số nghiệm 1 ≤ x ≤ 2 Kết luận : 1 ≤ x ≤ 2. 120. Điều kiện : x2 + 7x + 7 ≥ 0. Đặt = y ≥ 0 Þ x2 + 7x + 7 = y2. Phương trình đã cho trở thành : 3y2 – 3 + 2y = 2 Û 3y2 + 2y – 5 = 0 Û (y – 1)(3y + 5) = 0 Û y = - 5/3 (loại) ; y =
File đính kèm:
- Boi duong hoc sinh gioi lop 9 co dap an dung choca lop 10.doc