Bồi dưỡng Hàm số liên tục

 Hàm số liên tục
I/ Kiến thức cơ bản:
1/ Hàm số liên tục tại một điểm:
 Giả sử hàm số f xác định trên (a,b) và (a,b).Hàm số f được gọi là liên gọi là liên tục tại điểm x0 nếu:
Hàm số không liên tục tại x0 được gọi là gián đoạn tại x0
2/Hàm số liên tục trên một khoảng,một đoạn.
 +/ Hàm số f xác định trên (a,b) gọi là liên tục trên (a,b),nếu nó liên tục tại mọi điểm trên (a,b).
 +/ Hàm số f xác định trên gọi là liên tục trên ,nếu nó liên tục trên (a,b) và ,
3/ Tính chất
 +/ Định lý về giá trị trung gian của hàm số liên.
 Giả sử hàm số f liên tục trên .Nếu f(a) f(b),thì với mỗi số thực M nằm giữa f(a) và f(b),tồn tại ít nhất một điểm c (a,b) sao cho f(c) = M
 +/ Hệ quả : Nếu hàm số f liên tục trên và f(a)f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất c (a,b) sao cho f(c) = 0
Lưu ý :Một số kết quả quan trọng
 +/ Tổng,hiệu , tích , thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại điểm đó.(Trong trường hợp thương,giá trị của mẫu tại điểm phải khác 0)
 +/ Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỷ(thương của 2 đa thức) liên tục trên TXĐ của chúng
 +/ Các hàm số y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = cotgx liên tục trên TXĐ của chúng
II/Kỹ năng cơ bản
 +/ Chứng minh hàm số liên tục tại một điểm,trên một khoảng,trên một đoạn,nửa khoảng.
 +/ Vận dụng định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục để chứng minh sự tồn tại nghiệm của một phương trình
III/Một số ví dụ 
A.
Ví dụ 1.Xét tính liên tục của hàm số
 Tại điểm x=2.
Giải:
 +/ TXĐ : ,chứa điểm x = 2
 +/ 
 +/ Mà f(2) = 2
 Suy ra,hàm số liên tục tại điểm x = 2
Ví dụ 2.Xét xem các hàm số sau có liên tục trên hay không ?
1/ f(x)=
2/ f(x) = 
 3/ f(x) = 
4/ f(x) = 
Giải
1/ Hàm số có TXĐ là :R nên nó liên tục trên R,vì đây là hàm đa thức.
2/ Hàm số có TXĐ là : 
+/Vậy hàm số liên tục 
+/Điểm x=1,x=2 là điểm gián đoạn của hàm số
3/ Hàm số có TXĐ là :R\
+/Vậy hàm số liên tục trên R\
+/Điểm x=0,x=2 là điểm gián đoạn của hàm số.
4/ TXĐ của hàm số là : 
 +
 +/f(4) = 8
 Suy ra, hàm số liên tục tại x=4
 +/Mặt khác,với là hàm số liên tục (vì đây là hàm số 
 phân thức hữu tỷ,xác định tại mọi x )
 +/Vậy hàm số liên tục trên R
Ví dụ 3.Cho các hàm số f(x) chưa xác định tại x=0
1/ 
2/ 
Có thể cho f(0) giá trị bằng bao nhiêu để hàm số f(x) trở thành liên tục tại x = 0
Giải
1/ Đặt 
Ta tìm a để hàm số liên tục tại x=0
 +/TXĐ của hàm số :R,chứa x=o 
 +/f(0) = a
 +/
Vậy để hàm số liên tục tại x=0 ta phải có a=2
2/ Đặt 	
Ta tìm a để hàm số liên tục tại x=0
 +/TXĐ củahàm sô : ,chứa x=0 +/f(0)=a
 +/ 
Ta có :	
Do đó không tồn tại 
Vậy không có giá trị nào của f(0)=a để hàm số đã cho liên tục tại x=0
Ví dụ 4:Tìm a để hàm số
 liên tục trên R
Giải
 + TXĐ :R
 + Khi x<1 ,f(x)=là hàm số liên tục,vì đây là hàm đa thức.
 + Khi x>1 ,f(x)= là hàm số liên tục,vì đây là hàm đa thức.
 + Để hàm số liên tục trên R thìhàm số phải kiên tục tại x=1
 + Ta có f(1) = 2a-3
Hàm số liên tục tại x=1 
Vậy với thì hàm số liên tục trên R
Ví dụ 5.Chứng minh phương trình 
1/ 
2/ 
Giải
1/ Hàm số là hàm số liên tục trên R
 + Mặt khác 
 Vậy phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0,1)
2/ Hàm số là hàm số liên tục trên R
 +/ Mặt khác : 
 +/Vậy phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm phân biệt trong (-1;1).
Ví dụ 6.Chứng minh rằng phương trình
 có 3 nghiệm phân biệt.
Giải :
 +/ Hàm số liên tục trên 
 +/Ta có 
+/Chứng tỏ tồn tại để cho 
 Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 7.Chứng minh phương trình
 luôn có một nghiệm dương 
Giải:
 +/Hàm số f(x)=liên tục trên 
 +/Ta có, sao cho 
 +/Vì f(x) liên tục trên , 
 +/ Vậy phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm dương
B.Bài tập trăc nghiệm.
Chọn những đáp án đúng cho những ví dụ sau
Vý dụ 8.Hàm số f(x) = có các điểm gián đoạn là:
A.x=1 và x=2 B.x=2 và x=2 C.x=1 và x=2 D.x=1 và x=2
Ví dụ 9.Hàm số f(x) = 
A.Liên tục trên B.Liên tục trên 
C.Liên tục trên D.Liên tục trên 
 Ví dụ10.Hàm số f(x)= liên tục trên .Khi đó a bằng
A.2 B.1 C.0 D.-1
Ví dụ 11.Để hàm số f(x) = xác định và liên tục tại x=0,cần phải cho f(0) giá trị là:
A.3 B.2 C.1 D.0
Ví dụ 12.Để hàm số :
 F(x)= liên tục trên ,giá trị của a là
A.-2 B.-3 C.2 D.3
Ví dụ 13.Mệnh đề nào sau đây sai
A.Hàm số y= liên tục trên 
B.Hàm số y= liên tục trên 
C.Hàm số y=tgx liên tục trên (0,).
D.Hàm số y= liên tục trên 
Ví dụ 14.Hàm số f(x)= liên tục tai x=0
Giá trị của m bằng:
A.m= B. C.0 D.1
Đáp án 
 VD8
 VD9
 VD10
 VD11
 VD12
 VD13
 VD14
 B
 D
 A
 C
 A
 C
 A
IV.Bài tập
A.Bài tập tự luận
Bài 1.Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng
1/ 
2/ 
3/ 
4/ 
Hướng dẫn
1/TXĐ của hàm số là ,nên hàm số liên tục trên 
2/ TXĐ của hàm số là hàm số liên tục trên .
3/TXĐ của hàm số là ,nên hàm số liên tục trên 
4/ TXĐ của hàm số là hàm số liên tục trên . 
Bài 2.Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm đã chỉ ra.
1/ f(x)= tại x= 1
2/ f(x)= tại x=1
3/ f(x)= tại x=0
4/ f(x)= tại x=3
Hướng dẫn
 1/ +/ TXĐ: 
2/ +/ TXĐ: 
3/ +/TXĐ: 
4/ +/ TXĐ: chứa x= 3 .
 +/ 
 +/ 
 +/ Vậy hàm số liên tục tại x=3
Bài 4: Tìm a,b để các hàm số sau liên tục trên .
HD:
1/ +/ TXĐ:
 +/ Hàm số liên tục khi x>2 và khi x<2 .
 +/ Hàm số liên tục trên Hàm số liên tục tại x=2.
 +/ Ta phải có 
 +/ Vậy giá trị phải tìm là a=1.
2/ +/ TXĐ:
 +/ Hàm số liên tục khi x>3 và khi x<3.
 +/ Hàm số liên tục trên Hàm số liên tục tại x=3. 
 +/ Ta phải có .
 +/ Vậy giá trị phải tìm là 
3/ +/ TXĐ:
 +/ Hàm số liên tục trên Hàm số liên tục tại x=1. 
 +/ Ta phải có 
 +/ Vậy giá trị phải tìm là 
4/ +/ TXĐ:
 +/ Hàm số liên tục trên Hàm số liên tục tại x=8.
 +/ Ta phải có 
 +/ Vậy a=1 là giá trị phải tìm.
Bài 4:Chứng minh rằng phương trình có ba nghiệm phân biệt trong khoảng .
 HD:
 +/ Hàm số liên tục trên .
+/ Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt trong khoảng .
Bài 5: CMR các phương trình sau có nghiệm.
HD:
1/ +/Hàm số 
 +/Ta có .
2/ +/Hàm số 
 +/Do 
Như vậy tức là phương trình đã cho luôn có nghiệm. 
Bài 6: CMR nếu thì phương trình
Có ít nhất một nghiệm trong khoảng .
HD:
+/ Đặt t=tanx, .
+/ Ta có pt 
+/ Để pt đã cho có nghiệm trên khoảng,pt phải có nghiệm thuộc khoảng .
+/ Nếu ta có :
 . 
 .
+/ Nếu thì . 
+/ Nếu c=0 khi đó .
 Từ giả thiết 
+/ Nếu a=0 ta có 
 Nếu b=c=0 
 Nếu thì ta có .
Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm trên ,. Bài 7: CMR phương trình sau có nghiệm m.
HD:
 1/ +/Hàm số liên tục trên ,m.
Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm trên.
 2/ +/Hàm số liên tục trên m.
.
+/ Ta có 
 .
 Do đó phương trình đã cho luôn có nghiệm trên .
3/ +/Hàm số liên tục trên .
+/Ta có 
 Nếu m=0 thì phương trình đã cho có nghiệm x=1,x=3.
 Nếu m thì 
 pt đã cho có nghiệm trên .
Vậy ta luôn có pt đã cho có nghiệm m.
B.Bài tập trắc nghiệm.
Bài 8: Hàm số có các điểm gián đoạn là :
A.x=1và x=0 B.x=0 và x=2
 C.x=1	D.x=1 và x=2
Bài 9: Hàm số nào sau đây liên tục trên .
A.y=	C.y=
B.y=xsinx	D.y=
Bài 10:Cho hàm số ,x0.Bổ xung giá trị bằng bao nhiêu để hàm số liên tục trên .
A.0 B.1 C. D.
Bài 11: Cho hàm số 
Liên tục tại x=1. Giá trị của a là:
A.3 B.2 C.1 D.0
Bài 12: Phương trình có nghiệm trên 
A. D.
B. C.
Bài 13 : Hàm số liên tục trên ,khi đó giá trị a là:
A.2 B. 2 C. 1 D.1
Bài 14: Hàm số liên tục trên khi đó bằng
A.0 B.1 C.2 D.3
Bài 15: : Cho hàm số 
Liên tục tại x=2. Giá trị của a là:
A. B. C. D.1
Bài 16: Hàm số 
Khi đó :
 A.Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ đọan 
 B. Hàm số liên tục trên .
 C.Hàm số liên tục trên \{1}.
 D.Hàm số liên tục trên \{0}.
Đáp án:
 B.8
B.9
B.10
B11
B
B
C
A
B12
B13
B14
B15
B16
B
C
D
C
B