Hình học không gian − Hệ thức lượng trong tam giác

trung điểm của AD và BC và G là trọng tâm tam giác SAB.
	ⓐ Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJG).
	ⓑ Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJG). Thiết diện là hình gì? Tìm điều kiện đối với AB và CD để thiết diện là hình bình hành. 
	② Chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (α): 
	F Ta chứng minh a không nằm trong mặt phẳng (α) và song song với đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (α).
	● Ví dụ1: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. 
	ⓐ Gọi O và O’ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF. Chứng minh OO’ song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE).
	ⓑ M, N là hai điểm lần lượt nằm trên hai cạnh AE, BD sao cho . Chứng minh MN song song với (CDE).
	● Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD. 
	a) Chứng minh MN song song với các mặt (SBC) và (SCD).
	b) Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh SB, SC đều song song với mp(MNP).
	③ Chứng minh hai mặt phẳng song song:
	F Để chứng minh mp(P) song song mặt phẳng (Q) ta có thể c/m theo các cách sau: 
	+ Chứng minh mp(P) chứa hai đường thẳng cắt nhau và song song với mp(Q).
	+ Chứng minh (P) // (R) và (Q) // (R).
	● Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SD.
	ⓐ Chứng minh rằng (OMN) song song với (SBC).
	ⓑ Gọi P, Q là trung điểm của AB và ON. Chứng minh rằng PQ // (SBC).
	● Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD.A”B’C’D’.
	ⓐ Chứng minh hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) song song nhau.
	ⓑ Chứng minh đường chéo AC’ đi qua các trong tâm G1, G2 của hai tam giác BDA’ và B’D’C.
	Ⓓ QUAN HỆ VUÔNG GÓC: 
	▪ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).
	▪ Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là mặt phẳng đi qua trung điểm của AB và vuông góc với AB → Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là tập hợp tất cả các điểm cách đều hai điểm A, B. 
	▪ Trục của tam giác ABC là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC) → Trục của tam giác ABC là tập hợp các điểm trong không gian cách đều ba đỉnh A, B, C.
▪ Mặt phẳng nào vuông góc một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại. 
	▪ Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. 
	▪ Đường thẳng nào vuông góc với một trong hai mặt phẳng song thì cũng vuông góc với mặt phẳng còn lại 
	▪ Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song nhau. 
	▪ Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với (P) thì cũng vuông góc với a.
	▪ Định lý ba đường vuông góc: 
	Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong (P). Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P).
	▪ Nếu một mặt chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc nhau. 
	▪ Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc nhau thì bất cứ đường thẳng a nào nằm trong (P), vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vuông góc với (Q).
	▪ Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba. 
▪ Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Đường thẳng c cắt cả a và b đồng thời vuông góc với cả a và b được gọi là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b. 	
	▪ Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) là góc giữa a và hình chiếu của nó trên mặt phẳng (P) (a không vuông góc với (P)).
	▪ Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng a và b lần lượt vuông góc với (P) và (Q) F Gọi Δ là giao tuyến của (P) và (Q) để tính góc giữa (P) và (Q) ta tính góc với I Δ, IA nằm trên (P), IB nằm trên (Q); IA Δ, IB Δ, từ đó suy ra góc cần tìm. Góc giữa hai m.phẳng thỏa .
ð Các dạng toán:
	① Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và chứng minh hai đường thẳng vuông góc:
	F Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) ta có thể thực hiện theo các cách sau:
	+ Chứng minh a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng (P).
	+ Chứng minh a song song với đường thẳng b mà b vuông góc với (P).
	+ Chứng minh a là trục đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC với A, B, C thuộc mặt phẳng (P).
	+ Sử dụng định lý: “Nếu a chứa trong mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt phẳng (P) và a vuông góc với giao tuyến của (Q) và (P).
	+ Chứng minh a là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với (P).
	F Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc nhau ta có thể thực hiện theo các cách sau:
	+ Chứng minh đường thẳng này vuông góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng kia.
	+ Nếu hai đường thẳng đó cắt nhau thì có thể áp dụng các kiến thức của hình học phẳng để chứng minh.
	● Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O; SA vuông góc với đáy. Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB, SC, SD.
	a) Chứng minh rằng BC vuông góc với mặt phẳng (SAB); CD vuông góc với mặt phẳng (SAD); BD vuông góc với mặt phẳng (SAC).
	b) Chứng minh AH, AK cùng vuông góc với SC. Từ đó suy ra ba đường thẳng AH, AI, AK cùng nằm trong một mặt phẳng.
	c) Chứng minh rằng HK vuông góc với mặt phẳng (SAC). Từ đó suy ra HK vuông góc với AI.
	● Ví dụ 2: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng: 
	ⓐ BC vuông góc với (OAH).
	ⓑ H là trực tâm của tam giác ABC.
	ⓒ .
② Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc:
	F Chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia hoặc chứng minh góc giữa hai mặt phẳng là 900. 
	● Ví dụ: Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt phẳng (ABC), (ABD) cùng vuông góc với đáy DBC. Vẽ các đường cao BE, DF của tam giác BCD; đường cao DK của tam giác ACD.
	a) Chứng minh AB vuông góc với mặt phẳng (BCD).
	b) Chứng minh hai mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với mặt phẳng (ADC).
	c) Gọi O và H lần lượt là trực tâm của hai tam giác BCD và ACD. Chứng minh OH vuông góc với mặt phẳng (ADC).
Bài tập: 
	① Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB, OBC, OCA là các tam giác vuông đỉnh O. Gọi lần lượt là góc hợp bởi các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng: .
	② Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
	ⓐ Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
	ⓑ Mặt phẳng qua A và vuông góc với SC lần lượt cắt SB, SC, SD tại B’, C’, D’. Chứng minh B’D’ song song với BD và AB’ vuông góc với SB.
	③ Tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc với BC, AD = a và khoảng cách từ D đến BC là a. Gọi H là là trung điểm của BC và I là trung điểm của AH.
	ⓐ Chứng minh BC (ADH) và DH = a.
	ⓑ Chứng minh DI (ABC).
	ⓒ Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AD và BC
	④ Cho hình thang ABCD có và là các góc vuông, AD = 2a, AB = BC = a. S là điểm nằm trên tia Ax vuông góc với mp(ABCD). Gọi C’, D’ lần lượt là hình chiếu của A trên các SC và SD.
	ⓐ Chứng minh SB vuông góc với BC và SC vuông góc với CD.
	ⓑ Chứng minh các đường thẳng AD’, AC’, AB đồng phẳng. Từ đó chứng minh AB, C’D’, CD đồng qui.
	ⓒ Cho AS = . Tính diện tích tứ giác ABC’D’.
	⑤ Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, độ dài cạnh đáy là a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mp(AMN) mp(SBC).
	⑥ Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của BB’, CD, A’D’. Chứng minh MP C’N.
6’) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ . Hai điểm M,N lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng BC, A’B’. xác định dường vuông góc chung của hai đường thẳng CD’ và MN.
	⑦ Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC); AC = AD = 4 cm ; AB = 3 cm ; BC = 5 cm . Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD).
	Ⓔ KHỐI ĐA DIỆN: 
	▪ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đa giác đáy → Đỉnh của hình chóp đều cách đều các đỉnh của tam giác đáy → Đỉnh của hình chóp đều nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy → Các mặt bên của hình chóp đều là các tam giác cân bằng nhau.
	▪ Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
	▪ Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.
	▪ Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật → Các mặt của hình hộp chữ nhật là các hình chữ nhật.
	▪ Thể tích hình chóp bằng một phần ba tích của diện tích đáy với chiều cao. 
	▪ Cho tứ diện SABC, trên các cạnh SA, SB, SC lấy các điểm A’, B’, C’ khi đó ta có → Chỉ đúng cho tứ diện.
	▪ Thể tích hình lăng trụ bằng diện tích đáy nhân với chiều cao. .
ð Một vài chú ý khi xác định đường cao của hình chóp:
	▪ Nếu có một cạnh bên của hình chóp vuông góc với đáy thì cạnh bên này là đường cao.
	▪ Nếu có một mặt bên vuông góc với đáy thì từ đỉnh hình chóp ta vẽ đường thẳng vuông góc với giao tuyến của mặt bên này với đáy. Đường thẳng này là đường cao.
	▪ Nếu có hai mặt bên vuông góc với đáy thì giao tuyến của hai mặt bên này là đường cao.
	▪ Nếu đỉnh hình chóp cách đều các các đỉnh của đa giác đáy thì đỉnh của hình chóp nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy (hình chiếu vuông góc của đỉnh hình chóp là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy).
	● Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, AC = a, AB = 2a, SA vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng (SAB) và (SBC) là 600. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SC. Chứng minh rằng AK vuông góc với HK và tinhd thể tích hình chóp S.ABC.
	● Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính thể tích khối tứ diện IABC theo a. (ĐH khối D năm 2009).
	●Ví dụ 3:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, . Cho SA = AB = a; mặt phẳng (P) qua A vuông góc với mặt phẳng (SAC) cắt SB, SC và SD lần lượt tại .
	ⓐ Chứng minh rằng