Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Tóan 7

BG //CH,
 tương tự: BH ^AC, CG ^AC, nên BH//CG.tứ giác BGCH có các cặp cạnh đối sông song nên nó là hình bình hành. Do đó hai đường chéo GH và BC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Vậy GH đi qua trung điểm M của BC.
(2đ)
4b) Do BE và CF là các đường cao của tam giác ABC nên các tam giác ABE và ACF vuông. Hai tam giác vuông ABE và ACF có chung góc A nên chúng đồng dạng. Từ đây suy ra 
Hai tam giác ABC và AEF có góc A chung (2). Từ (1) và (2) ta suy ra ∆ABC ~ ∆AEF.
(1,5đ)
4c) Chứng minh tương tự ta được ∆BDF~∆BAC, ∆EDC~∆BAC, suy ra ∆BDF~∆DECÞ.
(1,5đ)
4d) Ta có 
Suy ra DH là tia phân giác góc EDF. Chứng minh tương tự ta có FH là tia phân giác góc EFD. Từ đây suy ra H là giao điểm ba đường phân giác tam giác DEF. Vậy H các đều ba cạnh của tam giác DEF.
(1đ)
Bài 5) Ta có
 x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y)3 + z3 – 3xyz – 3xy(x + y)
= (x + y + z)[(x + y)2 – (x + y)z + z2] – 3xy(x + y + z)
= (x + y + z)[(x + y)2 – (x + y)z + z2 – 3xy]= x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx 
= 
= dpcm
1đ
Bài 6) Điều kiện , bất phương trình 	
Hoặc biểu diễn trên trục số : 
1đ
Trong từng phần, từng câu, nếu thí sinh làm cách khác nhưng vẫn cho kết quả đúng, hợp logic thì vẫn cho điểm tối đa của phần, câu tương ứng.
ĐỀ 2
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 
Môn: Toán.
Thời gian: 150 phút.
Bài 1: a) Giải phương trình: .
 b) Tìm x, y thoả mãn:.
Bài 2. Rút gọn .
Bài 3. Tìm GTNN (nếu có) của các biểu thức sau:
.
.
Bài 4. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên đường kính AB lấy hai điểm I và J đối xứng nhau qua O. M là một điểm (khác A và B) trên (O); các đường thẳng MO, MI, MJ thứ tự cắt (O) tại E, F, G; FG cắt AB tại C. Đường thẳng đi qua F song song AB cắt MO, MJ lần lượt tại D và K. Gọi H là trung điểm của FG.
Chứng minh tứ giác DHEF nội tiếp được.
Chứng minh CE là tiếp tuyến của đường tròn (O).
.................................................
ĐÁP ÁN
Bài 1: a) .
 (vì ).
b) 
Bài 2..
Bài 3. 
Vậy, Pmin=8 khi 
Vậy, Qmin=2006 khi 
Bài 4.
a) Ta có: 
mà nội tiếp được.
 b) Từ câu a suy ra 
 mà nội tiếp được
 . Vậy CE là tiếp tuyến của (O).
ĐỀ 3
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
 NĂM HỌC 2007-2008
MÔN: TOÁN LỚP 9
Thời gian làm bài: 90 phút(không kể thời gian phát đề)
Phần Tự luận(7,0 điểm)
Cho . Tính giá trị biểu thức A = x + y	(1,0 điểm)
Cho x > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức	(1,0 điểm)
Giải phương trình: 	(1,0 điểm)
Trong (Oxy) cho đường thẳng (d1): y = 3 - m(x -2) ; (d2): y + 3 - m(x + 2) = 0 (2,0 điểm)
Tìm điểm cố định A của (d1), B của (d2). Viết phương trình đường thẳng AB (1,0 điểm) 
Tìm quỹ tích giao điểm M của (d1) và (d2)	(0,5 điểm)
Xác định m để điểm M trùng điểm A	(0,5 điểm)
Cho đường thẳng (d), trên đường thẳng vuông góc với (d) tại H(H nằm trên (d)), lấy điểm A, trên (d) lấy điểm T( T khác H)	 (2,0 điểm)
Dựng tâm O của đường tròn (O) đi qua A và tiếp xúc (d) tại T	(1,0 điểm)	
Đường thẳng qua T vuông góc với AT cắt AH tại B, cắt (O) tại C, Cho AH =h, HT = x. Tính bán kính đường tròn (O) theo h và x	(0,5 điểm)
Tiếp tuyến đường tròn (O) tại A cắt (d) tai E, AC cắt (d) tại D. Xác định x để T là trung điểm ED	(0,5 điểm)
	HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH 
GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2007-2008
MÔN: TOÁN LỚP 9
Phần Tự luận(7,0 điểm)
Cho (1). Tính giá trị biểu thức A = x + y	(1,0 điểm)
Nhân hai vế của (1) cho ta có
 (2)	(0,25 điểm)
Nhân hai vế của (1) cho ta có
 (3)	(0,25 điểm)
Cộng (2) và (3) ta có: 	(0,25 điểm)
 6(x + y) = 0 x + y = 0
Kết luận: A = 0	(0,25 điểm)
Cho x > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức	(1,0 điểm)
=>=>(0,5đ)
 => => => 
Vậy : min B = 6 x = 1	(0,5 điểm)
Giải phương trình: (1)	(1,0 điểm)
Điều kiện: (*)	
(1) => 	(0,25 điểm)
=> (2)	
* Nếu 
(2) => (**)	(0,25 điểm)
* Nếu 
(2) => (***)	(0,25 điểm)
Từ (*), (**), (***) phương trình có nghiệm: 	(0,25 điểm)
Trong (Oxy) cho đường thẳng (d1): y = 3 - m(x -2) ; (d2): y + 3 - m(x + 2) = 0
Tìm điểm cố định A của (d1), B của (d2). Viết phương trình đường thẳng AB (1,0 điểm) 
Ta có: Giả sử A(x; y) là điểm cố định của (d1) y = 3 - m(x -2) 
Vậy A(2; 3)	(0,5 điểm)
Ta có: Giả sử B(x; y) là điểm cố định của (d2) y + 3 - m(x + 2) = 0 
Vậy B(- 2; - 3)	(0,25 điểm)
Phương trình đường thẳng AB: 	(0,25 điểm)
Tìm quỹ tích giao điểm M của (d1) và (d2)	(0,5 điểm)
Tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) là nghiệm của hệ phương trình
 	(0,25 điểm)
Khử tham số ta có quỹ tích các điểm M có phương trình 	(0,25 điểm)
Xác định m để điểm M trùng điểm A	(0,5 điểm)
Để M trùng A 	(0,25 điểm	
Thay x = 2, ta có y = 3
Vậy thoả mãn bài toán.	(0,25 điểm)
Dựng tâm O của đường tròn (O) đi qua A và tiếp xúc (d) tại T	(1,0 điểm)	
Dựng đường thẳng (a) đi qua O vuông góc với (d)	(0,25 điểm)
Dựng đường trung trực (b) của đoạn AT	(0,25 điểm)
Giao điểm của (a) và (b) là tâm O của đường tròn (O) cần dựng	(0,5 điểm)
Đường thẳng qua T vuông góc với AT cắt AH tại B, cắt (O) tại C, Cho AH =h, HT = x. Tính bán kính đường tròn (O) theo h và x	(0,5 điểm)
Ta có (a) // AB và O trung điểm AC => T trung điểm BC => tam giác ABC cân tại A
=> AB = AC = 2R
Xét tam giác vuông HAT: AT2 = AH2 + HT2 = h2 + x2 
Xét tam giác vuông TAB: AT2 = AH.AB = h.2R	(0,25 điểm)
=> 2hR = h2 + x2 => 	(0,25 điểm)
Tiếp tuyến đường tròn (O) cắt (D) tai E, AC cắt (d) tại D. Xác định x để T là trung điểm ED
Để T trung điểm của ED => đều
=> 	(0,25 điểm)
=> 
Vậy thì T là trung điểm của ED	(0,25 điểm)
ĐỀ 4
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2007-2008
MÔN: TOÁN LỚP 8
Thời gian:90 phút(không kể thời gian phát đề)
Phần Tự luận(7,0 điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử
 (a + b + c)3 - (a + b - c)3 - (b + c - a)3 - (c + a - b)3	(1,0 điểm)
Tìm a, b, c để tam thức f(x) = ax3 + bx2 + c chia hết cho x + 2, còn khi chia cho 
x2 - 1 thì dư là x + 5	(1,0 điểm)
Chứng minh đẳng thức
	(1,0 điểm)
Cho biểu thức : . Tìm x để A lớn nhất 	(1,0 điểm)
Giải phương trình:
(1,5 điểm)
Cho hình thang ABCD đáy nhỏ BC. Từ trung điểm I của CD, kẻ đường thẳng 
d // AB, . Chứng minh SABEH = SABCD	(1,5 điểm)
HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2007-2008
MÔN: TOÁN LỚP 8
	Phần Tự luận(7,0 điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử	(1,0 điểm)
 (a + b + c)3 - (a + b - c)3 - (b + c - a)3 - (c + a - b)3
Đặt x = a + b - c; y = b + c –a; z = c + a – b
=> x + y + z = a + b + c; x + y = 2b; y + z = 2c; z + x = 2a
 Ta có:(a + b + c)3 - (a + b - c)3 - (b + c - a)3 - (c + a - b)3
= (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3
= [(x + y + z)3 – x3 ] – (y3 + z3)	(0,25 điểm)
= (x + y + z - x)[(x + y + z)2 + x(x + y + z) + x2 ] - (y + z)(y2 - yz + z2)
= (y + z)[(x + y + z)2 + x(x + y + z) + x2 - y2 + yz - z2 ]	(0,25 điểm)
= (y + z)(x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx+x2+xy+xz+x2- y2 + yz - z2 )
= (y + z)(3x2 + 3xy + 3yz + 3zx)
= 3(y + z)[x(x + y) + z(x + y)]	(0,25 điểm)
= 3(y + z)(x + y)(x + z)
= 3. 2c.2b.2a = 24abc	(0,25 điểm)
Vậy (a + b + c)3 - (a + b - c)3 - (b + c - a)3 - (c + a - b)3 = 24abc
Tìm a, b, c để tam thức f(x) = ax3 + bx2 + c chia hết cho x + 2, còn khi chia cho x2 - 1 thì dư là x + 5	(1,0 điểm)
Ta có: 	(0,75 điểm)
Vậy f(x) = x3 + x2 + 4	(0,25 điểm)
Chứng minh đẳng thức
	(1,0 điểm)
Xét tử thức vế trái:
= x3(y2 – z2) + y3 [(z2 – y2) + (y2 – x2)] + z3(x2 – y2)
= x3(y2 – z2) + y3(z2 – y2) + y3(y2 – x2) + z3(x2 – y2)
= (y2 – z2)(x3 – y3) + (x2 – y2)(z3 – y3)	(0,25 điểm)
= (y – z)(x – y)[(y + z)(x2 + xy + y2) – (x + y)(y2 + yz + z2)]
= (y – z)(x – y)(x2y+xy2+y3+x2z+xyz+y2z-xy2-xz2-xyz-y3-yz2-y2z)	
= (y – z)(x – y)(x2y – yz2 + x2z – xz2)
= (y – z)(x – y)[y(x2 – z2) + xz(x – z)]	
= (y – z)(x – y)(x – z)[y(x + z) + xz]
= (y – z)(x – y)(x – z)(xy + yz + zx)	(0,25 điểm)
Xét mẫu thức vế trái: x3(y – z) + y3(z – x) + z3(x – y)
= x3(y – z) + y3 [(z – y) + (y – x)] + z3(x – y)
= x3(y – z) + y3(z – y) + y3(y – x) + z3(x – y)
= (y – z)(x3 – y3) + (x – y)(z3 – y3)	(0,25 điểm)
= (y – z)(x – y)(x2 + xy + y2 - y2 - yz - z2)
= (y – z)(x – y)(x2 – z2 + xy – yz)
= (y – z)(x – y)(x – z)(x + y + z)	
Vậy đẳng thức đã được chứng minh	(0,25 điểm)
Cho biểu thức : . Tìm x để A lớn nhất	(1,0 điểm)
Ta có: 	(0,5 điểm)
Mà 	(0,25 điểm)
A đạt giá trị lớn nhất là 3 khi x = 0	(0,25 điểm)
 5. Giải phương trình:
(1)(1,5 điểm)
Ta có: (1) (0,5 đ)
(0,5 điểm)
	Vậy phương trình (1) có nghiệm x = 2000	(0,5 điểm)
6. Cho hình thang ABCD đáy nhỏ BC. Từ trung điểm I của CD, kẻ đường thẳng 
d // AB, . Chứng minh SABEH = SABCD	(1,5 điểm)
Gọi J, K lần lượt là giao điểm của đường thẳng d với BC, AD
(1)	(0,5 điểm)
Và 	(0,5 điểm)
Mà (2)	(0,25 điểm)
Từ (1) và (2) ta có: SABEH = SABCD	(0,25 điểm)
ĐỀ 5
ĐỀ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2007 -2008
MÔN THI : TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (1,5 điểm). So sánh các số thực sau ( Không dùng máy tính gần đúng).
 và 
Câu 2: (3 điểm). Giải phương trình sau: 
Câu 3: (1,5điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Câu 4: (2 điểm). Giải hệ phương trình:
 2x2 + 3y = 1
 3x2 - 2y = 2
Câu 5: (4 điểm). Lớp 9A có 56 bạn, trong đó có 32 bạn nam. Cô giáo chủ nhiệm dự kiến chia lớp thành các tổ học tập:
Mỗi tổ gồm có các bạn nam, các bạn nữ.
Số các bạn bạn nam, các bạn nữ được chia đều vào các tổ.
Số người trong mỗi tổ không quá 15 người nhưng cũng không ít hơn chín người.
Em hãy tính xem cô giáo có thể sắp xếp như thế nào và có tất cả mấy tổ ?
Câu 6: (5điểm). Cho đường tròn tâm (O; R) đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trong đoạn AB lấy điểm M khác 0. Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến với đường tròn (O) tại N ở điểm P. Chứng minh rằng:
Các điểm O, M, N, P cùng nằm trên một đường tròn.
Tứ giác CMPO là hình bình hành.
CM.CN = 2R2 
Khi M di chuyển trên đoạn AB thì P di chuyển ở đâu ? 
Câu 7: ( 3điểm). Cho đường tròn (O, R), đường kính AB. C là điểm trên đường tròn (O, R). Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = CB. Khi C chuyển động trên đường tròn (O, R) thì D chuyển động trên đường nào?
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN - LỚP 9, NĂM HỌC 2007 -2008
Câu