Biểu diễn số phức

Như chúng ta đã biết lịch sử phát triển các khái niệm số theo chu trình N à Z à Q à R à C được thúc đẩy bởi sự phát triển của thực tế sản xuất và toán học. Đầu tiên người ta dùng số để đếm, lúc đó cần các số tự nhiên. Số âm xuất hiện khi bắt đầu có chuyện nợ nần, có chuyện trừ số nhỏ cho số lớn. Số hữu tỷ xuất hiện khi phải thực hiện các phép chia  không hết. Còn số vô tỷ xuất hiện khi người ta thấy cạnh huyền của tam giác vuông cân cạnh 1 không thể biểu diễn dưới dạng thương của hai số nguyên, và thuật ngữ số thực có nghĩa là độ dài của các đoạn thẳng có thực.
Rất thú vị là số phức xuất hiện không phải từ các phương trình bậc hai kiểu như x2 + x + 1 = 0, x2 + 1=0 . Các phương trình này rõ ràng vô nghiệm và không có gì để bàn. Thế nhưng với phương trình x3-3x + 1 thì khác. Có thể chứng minh được rằng phương trình này có đến 3 nghiệm. Vậy mà phương pháp Cardano không áp dụng được do D < 0. Số phức xuất hiện để giải quyết nghịch lý này. Ta dùng số phức, dùng nghiệm phức để cuối cùng tìm ra các nghiệm thực.
Số phức, kể từ khi ra đời đã tìm được rất nhiều những ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của Toán học. Đối với chương trình phổ thông nói chung và các bài toán olympic nói riêng, số phức cũng có những ứng dụng hết sức ấn tượng.
Có ba dạng thường được dùng để biểu diễn số phức:
Dạng đại số 
Dạng lượng giác 
Dạng mũ
Sau đây tôi xin trình bày một số hiểu biết còn eo hẹp của mình về 2 dạng biểu diễn số phức. Đó là dạng lượng giác và dạng mũ của số phức
I. DẠNG LƯỢNG GIÁC
1. Định nghĩa
Cho số phức z=a+ib, z≠0 được biểu diễn trên mặt phẳng xOy.
Ta gọi Ox là trục thực, Oy là trục ảo và Oxy là mặt phẳng phức
	Gọi r là khoảng cách từ gốc toạ độ O tới z và φ là góc hợp với hướng dương của trục thực với bán kính vectơ của điểm z.
Đặt r= z=a2+b2 suy ra
 a=rcos φ, b=rsin φ 
Từ đó z = r(cos j + isin j)
Đây chính là dạng lượng giác của số phức z. 
r= z=a2+b2 chính là mođun của số phức z.
Chú ý:
Nếu coi số phức z = a + bi y
là một điểm có tọa độ (a, b) thì
z=a2+b2=(a-0)2+(b-0)2 B z 
là khoảng cách từ z(a,b) đến gốc toạ độ 
Cho z = a + bi và w = c + di. 
 z-w=(a-c)2+(b-d)2 φ
là khoảng cách giữa hai điểm (a,b) và (c,d) O a x
 	Mở rộng:
	+) z=z
	+) z+w≤z+w
	+) zw=zw
	+) zw=zw (w≠0)
	Góc j được gọi là argument của số phức z 
	Giá trị φ0∈argz thỏa mãn -π≤φ0≤π được xác định duy nhất. Khi đó φ0 được gọi là giá trị argumen chính của z.
	Ký hiệu φ0=arg . Vậy argz={arg+2kπ/k∈Z}
arga+ib=π2 nếu a=0;b>0-π2 nếu a=0;b0arctanba nếu a0arctanba nếu a<0;b<0
Để thấy rõ sự tiện lợi của dạng lượng giác, ta hãy xem kết quả của phép nhân hai số phức ở dạng lượng giác. 
Giả sử :
 z=r(cosφ+isin φ)
 z'=r'(cos φ'+isin φ')
 z.z'=r(cos φ+isin φ)×r'(cos φ'+isin φ')
 =rr'[cos φcos φ'-sin φsin φ'+i(cos φsin φ'+sin φcos φ')
 	 =rr'[cosφ+φ'+isinφ+φ']
	Như vậy phép nhân hai số phức ở dạng lượng giác rất đơn giản: các môđun được nhân với nhau và các argument được cộng với nhau. Tương tự với phép nghịch đảo và phép chia:
1z=1r(cos-φ+isin-φ)
zz'=rr'(cosφ-φ'+isinφ-φ')
2. Công thức Moivre
Nếu áp dụng tuần tự quy tắc nhân đã nói ở phần trên, ta chứng minh được công thức sau:
[rcos φ+isin φ]n=rn(cos nφ+isin nφ)
Công thức này được gọi là công thức Moivre.
Sử dụng công thức này, ta có thể dễ dàng tính luỹ thừa của một số phức. Qua đó chúng ta có thể khai căn được các số phức.
 Ví dụ:
Tìm căn bậc n của số phức: z=r(cos φ+isin φ)
Giải:
Ta tìm căn dưới dạng: w=ρ(cos ξ+isin ξ)
Theo định nghĩa, w là căn bậc n của z khi và chỉ khi:
wn=z
Từ đó, áp dụng công thức Moivre, ta được:
ρncos nξ+isin nξ=r(cos φ+isin φ)
Suy ra:
ρ=nr
nξ=φ+2kπ ⟺ξ=φn+2kπn ∀k∈Z
Do tính tuần hoàn của hàm số sinx và cosx, các giá trị k cách nhau một bội số của sẽ cho ta các số phức w bằng nhau, vì vậy chỉ cần chọn k = 0, 1, , n-1 là đủ.
Ta có định lý sau:
 Định lý: Cho n là số nguyên dương lớn hơn hay bằng 2.
 z=rcos φ+isin φ r≠0 là một số phức. Khi đó có đúng n căn bậc n của z là:
nrcosφn+2kπn+isinφn+2kπn, k=0,1,n-1
II.DẠNG MŨ CỦA SỐ PHỨC 
1. Dạng mũ của số phức
Cho số phức: z=rcos φ+isin φ với r>0
Áp dụng hệ thúc Eurler có:
eiφ=cos φ+isin φ
ta được z=r.eiφ. Khi đó ta gọi z=r.eiφ là dạng mũ của số phức
Nhận xét: Khi z=r.eiφ thì z biểu diễn 1 điểm nằm trên đường tròn tâm O bán kính R. Khi z=eiφ có r=z=eiφ=1 thì z biểu diễn 1 điểm nằm trên đường tròn tâm O bán kính r=1
2. Các phép tính :
Cho 2 số phức sau : z1=r1.eiφ1,z2=r2.eiφ2 với r1,r2>0. Khi đó ta có:
z1.z2=r1.r2ei(φ1+φ2)
z1z2=r1r2ei(φ1-φ2)
3. Phép khai căn:
Cho số phức z≠0. Khi đó căn bậc n của số phức z là w thỏa mãn phương trình wn=z.
Mặt khác: z=r.eiφ, w=δ.eiθ.
Suy ra:
r.eiφ=δ.eiθ⟺δn=rnθ=φ+2kπ⟺δ=nrθ=φn+2kπn , k∈Z
Vậy các căn bậc n của z là các số phức thỏa mãn:
wk=nr.ei(φn+2kπn) ;k∈Z
Nhận xét:
Tất cả các căn bậc n của z đều nằm trên vòng tròn tâm O bán kính nr và phân bố cách đều nhau một góc 2πn, bắt đầu từ góc θn. Rõ ràng, ta chỉ có n căn phân biệt, nhận được khi k=0,1,2n-1; và không còn căn nào nữa khi k có các giá trị khác. Tóm lại, bất cứ số phức z=r.eiφ≠0 cũng đều có đúng n căn bậc n.
III. MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG
1. Ứng dụng công thức Moivre. 
a) Hãy tính:
i) (1+cosj+isinj) 
ii) căn bậc 3 của -i
b) Chứng minh rằng nếu x+1 x= 2cosj thì xn+1xn=2cosnj 
2. Phương trình với hệ số phức. 
Giải các phương trình sau 
a) 2(1+i)x2-4(2-i)x-5-3i=0
b) (x+i) n= (x-i) n
3. Giải phương trình bậc 3 bằng số phức. 
Phương trình x3 + px + q = 0 với p, q là các số thực có thể giải bằng cách đặt = u + v, thay vào phương trình, ta được:
u3 + v3 + (3uv + p)(u+v) + q = 0
Từ đó nếu chọn uv sao cho 3uv + p = 0 thì u3+ v3 + q = 0. Suy ra u3,v3 là nghiệm của phương trình X2 + qX – p327 = 0. Nếu D = q2 + 427p3≥0 thì mọi thứ ổn. Nhưng nếu D < 0 thì sao? Hãy dùng số phức để xử lý tình huống này.
Trên đây là một số trình bày của em về 2 dạng biểu diễn của số phức là dạng lượng giác và dạng mũ. Bản thân em từ khi còn học phổ thông đã rất thích phần lượng giác nên khi làm bài tiểu luận này rất hy vọng sẽ biết thêm nhiều điều về lượng giác. 
Bài này chắc chắn còn rất nhiều thiếu sót do hạn chế rất nhiều về kiến thức và kinh nghiệm. Vậy nên em mong được thầy giáo giúp em bổ sung.
Xin chân thành cảm ơn