Bất đẳng thức - Bất phương trình - Cực trị đại số

y x y x y a b
x y x y x y
    
+ + = + + ≥ + = +             
 (Bất đẳng thức 
Bunhiacopxki) 
Vậy : Q = x+ y ( )2a b≥ + 
Qmin = ( )2a b+ khi x = abbyaba +=+ ; 
Ví dụ 5: Tìm GTLN của P = 2)( ax
x
+
Giải: 
Điều kiện : x a≠ − 
Ta có: Với x = 0 => P = 0 
Với x ≠ 0 ta có: P = 2)( ax
x
+
 ⇔ x = P(x + a)2 ⇔ px2 + 2 apx + pa2 = x ⇔ px2 + (2ap – 1) x + a2 = 0 
Để ph−ơng trình có nghiệm thì: 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP .QUY NHƠN 
∆ 0≥ ⇔ (2ap – 1)2 – 4pa2 ≥ 0 4a2p2 – 4ap + 1 – 4a2p ≥ 0 4a2p2 – 4a (a + 1)p + 1 ≥ 0 
Giải bất ph−ơng trình bậc 2 thu đ−ợc P1 ≤ P ≤ P2 
IV BÀI T<P Tuchoanang LUY8N 
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: 
a) A = x2 - 6x +1 
b) B = 10x2+5y2- 4x - 6y -12xy +2020 
c) C = 
2 1
2 1
x x
x x
+
+
+
d) D = 3x2+5y2 với 3 5 2x y= + 
Bài 2 : Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: 
a) M = - x2 + 4x + 7 
b) N = 2003 -2x2 - 8y2 +2x + 4xy + 4y 
c) P = ( x+1 ) (2 - x ) 
Bài 3: Tìm giá tri lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: P = 2
3 1
1
x
x
−
+
Giải: 
Bài 1: 
a) A= (x-3)2 -8 nên min A = 8 khi x = 3 
b) B = ( x-2)2 +(y - 3)2 +(3x -2y)2 +2007 Nên Min B = 2007 Khi x = 3; y =2 
c) Điều kiện: x < 
1
2
− ; x > 0 (*). áp dụng bất dẳng thức Cosi cho hai số d−ơng ta có: 
2 1 2 12 2
2 1 2 1
x x x xC
x x x x
+ +
= + ≥ =
+ +
Vậy MinC = 2 khi ( )22 2
1
2 1 2 1 3 4 1 0 12 1
3
x
x x
x x x x
x x x
= −
+ 
= ⇔ = + ⇔ + + = ⇔
+ = −

đối chiếu với (*) ta đ−ợc x =-1 
d) Từ 3 5 2 3 5 2x y x y= + ⇒ − = 
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxky ta có: 
( ) ( )( )2 2 2 2 23 .1 5 .1 3 5 1 1 3 5 2x y x y x y− ≤ + + ⇔ + ≥ 
Vậy MinD = 2 khi x= 
1
3
 và y = 
1
5
− 
Bài 2: 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP .QUY NHƠN 
a) M = 11 - (x - 2)2 Nên MaxM = 11 khi x = 2 
b) N = 2005 - (x -1 )2 -(2y+1)2-(x-2y)2 Nên MaxN = 2005 khi x = 1; y = -
1
2
c) P = ( x+1 ) (2 - x ) 
21 2 9
2 4
x x+ + − ≤ = 
 
 ( Bất đẳng thức Cosi ) 
Vậy MaxP = 
9
4
khi x = 
1
2
Bài 3: Ta có: P = ( )2 223 1 1 3 1 3 1 01
x P x x Px x P
x
−
⇔ + = − ⇔ − + + =
+
 (* ) 
Ta thấy P = 0 khi x = 
1
3
Với P ≠ 0 thì giá trị của P phải thoả mãn cho ph−ơng trình (*) có nghiệm với x 
Điều này t−ơng đ−ơng với: ( ) ( )22 23 4 1 0 4 4 9 0 2 1 10P P P P P∆ = − + ≥ ⇔ + − ≤ ⇔ + ≤ 
10 1 10 110 2 1 10
2 2
P P+ −⇔ − ≤ + ≤ ⇔ − ≤ ≤ 
Vậy MaxP = 
10 1
2
−
 khi x = 
10 1
3
+
 MinP = -
10 1
2
+
khi x = 
1 10
3
−
C BT PHuchoaNG TRèNH 
I KIN THuchoasacC CN NH 
• Bất ph−ơng trình bậc nhất : ax +b = 0 ( 0a ≠ ) 

 Nếu a > 0 bất ph−ơng trình có nghiệm 
b
x
a
> − 

 Nếu a <0 bất ph−ơng trình có nghiệm 
b
x
a
< − 
• T−ơng tự cho bất ph−ơng trình ax + b < 0 
• Ta có thể nhớ cách lấy nghiệm của bất ph−ơng trình bậc nhất theo qui tắc " Lớn cùng bé khác 
Nghĩa là nhị thức bậc nhất f(x) = ax +b ( 0a ≠ ) có nghiệm x = b
a
− . 
Khi x > 
b
a
− thì f(x) và hệ số a cùng dấu , khi x < 
b
a
− thì f(x) và hệ số a khác dấu 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP .QUY NHƠN 
• Bất ph−ơng trình tích : A(x)B(x) > 0 
( ) 0
( ) 0
( ) 0
( ) 0
A x
B x
A x
B x
 >

>⇔
 <

<
 ; A(x)B(x) < 0 
( ) 0
( ) 0
( ) 0
( ) 0
A x
B x
A x
B x
 <

>⇔
 >

<
trong đó A(x) và B(x) là các biểu thức của biến x 
• Bất ph−ơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối : Ta làm mất dấu giá trị tuyệt đói để giải bằng cách 
xét khoảng giá trị của biến hoặc bình ph−ơng hai vế của bất ph−ơng trình 
( ) ( )2 2
( ) 0
( ) 0( ) ( )
( ) ( )
B x
B xA x B x
A x B x
≤

>≥ ⇔ 
 ≥
 ; ( ) ( )2 2
( ) 0
( ) ( ) ( ) ( )
B x
A x B x
A x B x
≥≤ ⇔ 
≤
• Bất ph−ơng trình vô tỷ : 

 
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
A x
A x B x B x
A x B x
≥
≥ ⇔ ≥
 ≥

 
( )2
( ) 0
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
A x
B x
A x B x B x
A x B x
 ≥
 ≤≥ ⇔  >
 ≥

 
2
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ( ))
A x
A x B x B x
A x B x
 ≥
≤ ⇔ ≥
 ≥
II BÀI T<P THÍ Duhoanang 
Ví dụ 1: Giải các bất ph−ơng trình sau : 
a) -3(x+2) +2(x-1) ≥ 4x -3 
b) ( ) ( )21 2 1m x m x+ ≤ + 
Giải: 
a) Ta có : 
-3(x+2) +2(x-1) 4x -3 3 6 2 1 4 3 4 3 7
45 4
5
x x x x x
x x
⇔ − − + − ≥ − ⇔ − − ≥ − +
⇔ − ≥ ⇔ ≤ −
b) Ta có : ( ) ( ) ( )2 21 2 1 2 1 2 2m x m x m m x mx m+ ≤ + ⇔ + + ≤ + ( )2 1 2m x m⇔ + ≤ 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP .QUY NHƠN 
Vì 2 1 0m + > với mọi m nên bất ph−ơng trình có nghiệm 2
2
1
m
x
m
≥
+
Ví dụ 2 : Giải các bất ph−ơng trình : 
a) 2 5 6 0x x− + ≥ 
b) 2 4 3 0x x− + − ≥ 
Giải: 
a) Tacó: ( ) ( ) ( ) ( )2 25 6 0 2 3 6 0 2 3 2 0 2 3 0x x x x x x x x x x− + ≥ ⇔ − − + ≥ ⇔ − − − ≥ ⇔ − − ≥
2 0 2
3 0 3 3
22 0 2
3 0 3
x x
x x x
xx x
x x
 − ≥  ≥ 
  
− ≥ ≥ ≥  ⇔ ⇔ ⇔   ≤
− ≤ ≤  
  
− ≤ ≤   
b) Tacó : ( ) ( )2 24 3 0 3 3 0 1 3 1 0x x x x x x x x− + − ≥ ⇔ − + + − ≥ ⇔ − − − − ≥ 
 ( ) ( )
1 0 1
3 0 3
1 3 0 1 3
1 0 1
3 0 3
x x
x x
x x x
x x
x x
 − ≥  ≥ 
  
− ≥ ≤  ⇔ − − ≥ ⇔ ⇔ ⇔ ≤ ≤
 
− ≤ ≤ 
  
− ≤ ≥   
Chú ý : - Ta có thể kết hợp nghiệm trên trục số 
 - Ta có thể so sánh A(x) và B(x) trong bất ph−ơng trình tích để giải nhanh hơn : 
Ví dụ : ( )( ) ( )( )1 3 0 1 3 0x x x x− − ≥ ⇔ − − ≤ do x-1 > x-3 
 nên chỉ xảy ra 
1 0 1
1 3
3 0 3
x x
x
x x
− ≥ ≥ 
⇔ ⇔ ≤ ≤ 
− ≤ ≤ 
Ví dụ 3 : Giải các bất ph−ơng trình : 
a) 2 3 2 2x x x− + ≥ − 
b) 3 2 2 1x x+ ≤ − 
Giải: 
a) Ta có : 
( )
2
2
22
3 2 0
1 0
3 2 1
1 0
3 2 1
 − + ≥

− ≤
− + ≥ − ⇔ 
− >

− + ≥ −
x x
x
x x x
x
x x x
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP .QUY NHƠN 
( )( )
2 2
1 2 0
1 0
1
3 2 2 1

− − ≥

− ≤
⇔  >
− + ≥ − +
x x
x
x
x x x x
1 0
2 0
2
1
1
x
x
x
x
x
 − ≤

− ≤⇔ ⇔ ≤
 >
 ≤
 Chú ý : Tránh biến đổi sai lầm nh− sau : 
 ( )( ) ( )22 3 2 1 1 2 1 2 1x x x x x x x x− + ≥ − ⇔ − − ≥ − ⇔ − ≥ − 
 2 1 1 0x x⇔ − ≥ − ⇔ − ≥ Kết luận ph−ơng trình vô nghiệm 
b) 
Cách 1 : 
 Ta có : ( ) ( )2 2 2 2
13 1 0
2 1 3 1 3
2 1 3 1 4 4 1 9 12 1
x x
x x
x x
x x x x
+ ≥ ≥ 
+ ≤ − ⇔ ⇔ 
+ ≤ −  + + ≤ − +
( )2
1
11 3
13 03
35 16 05 16 0 16
5
x
xx
xx
x xx x
x
 ≥ ≥≥  
⇔ ⇔ ⇔ ≥≥  
  + ≥
− − ≤   ≤ −

Cách 2 : Nghiệm của bất ph−ơng trình đã cho nếu có phải thoả mãn : 3x-1 
10
3
x≥ ⇔ ≥ (1) 
Xét 2x+1 
10
2
x≥ ⇔ ≥ − (2) 
Bất ph−ơng trình trở thành : 2 1 3 1 2 2x x x x+ ≤ − ⇔ − ≤ ⇔ ≥ − 
Kết hợp với (1) và (2) ta có 
1
3
x ≥ là nghiệm của bất ph−ơng trình đã cho 
Xét 2x +1 < 0 
1
2
x⇔ < − (3) 
Bất ph−ơng trình đã cho trở thành : 2 1 3 1 5 0 0x x x x− − ≤ − ⇔ − ≤ ⇔ ≥ Không thoả mãn (3) 
Vậy bất ph−ơng trình đã cho có nghiệm 
1
3
x ≥ 
III BÀI T<P Tuchoanang LUY8N 
Giải các bất ph−ơng trình sau 
Bài 1 : 
a) ( ) ( ) ( )2 3 1 3 2 5 1 2 4x x x− − − ≤ − + 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP .QUY NHƠN 
b) ( ) ( ) ( )22 1 4 3m x m x− + ≥ − 
c) 26 7 2 0x x− + ≥ 
d) 29 18 5 0x x− + − ≤ 
Bài 2 : 
a) 2 2 1x x+ ≥ − 
b) 1 2 1 3 5x x+ − ≤ − 
c) 2 5 6 3 2x x x− + ≥ + 
d) 2 23 2 2 5 3x x x x− + < − + 
e) 23 2 1 1x x x+ − ≤ + 
Bài 3: 
a) 6 8 0x x− + ≤ 
b) 
2 0
2 1 2
x x
x x
− <
+ +
Giải: 
Bài 1: a) 
5
13
x ≤ ; b ) x 
2
2
16 4
4
m m
m
− −≥
+
; c) 
1 1
5
x≤ ≤ ; d) 
1
1
3
x
x
≥

 ≤

Bài 2: a) 
( ) ( )2 2
2
1 1
2 1 0 2 2
2 1 0 12 2 1 11
2 22 2 1
1 13 3 0
x xx
xx x x
x x
x x
xx
 ≤ ≤− ≤ 
 
− >
− ≥ − ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ≤   > >     
− ≥ −   
− ≤ ≤
− ≤  
 b) Ta có: ( ) ( )2 2
2 0
1 2 1 3 5 2 1 3 6
2 2 3 6
x
x x x x
x x
− ≥
+ − ≤ − ⇔ − ≤ − ⇔ 
− ≤ −
( )( ) ( )( )
2
2 2 4 4
3 6 2 2 3 6 2 2 0 4 5 8 0 8
5
x
x x x
x
x x x x x x
x
≥
≥ ≥  ≥  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ≥  
− − + − + − ≥ − − ≥    ≤

c) Ta có: 
( )
( ) ( )
2
2
22
2 2
2 3 0
5 6 0 2
3 2 0 35 6 3 2
3 2 0 2
35 6 3 2
5 6 9 12 4
x x
x x
xx
x x x
x
x
x x x
x x x x

− − ≥
 − + ≥  ≤ −+ ≤  
− + ≥ + ⇔ ⇔  + >   > −  − + ≥ + 
− + ≥ + +
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP .QUY NHƠN 
2
2; 3
2
3 2
32
(*)3
8 17 10 0
x x
x
x
x
x x
 ≤ ≥

 ≤ −
⇔ ⇔ ≤ −
 > −


− + ≤
 ( Hệ (*) vô nghiệm do bất ph−ơng trình 8x2-17x +10 vô nghiệm ) 
d) 2 23 2 2 5 3x x x x− + < − + 
Ta có: 
2
2 2
2 2
2
1
3 2 0
23 2 2 5 3
3 2 2 5 3
8 1 0
x
x x
xx x x x
x x x x
x x
 ≤
 − + ≥   ≥− + < − + ⇔ ⇔ 
− + < − + 
− + >
1
2 4 15
4 15 4 15
4 15
x
x x
x x
x
 ≤
 ≥  ≤ −
⇔ ⇔ 
 ≥ + ≥ +  ≤ −
f) Ta có: 
( ) ( )2
2
2 2 2
1
11 3 1 03 2 1 0 133 2 1 1 1 0 1 11 1
33 2 1 2 1 1
1 1
x
x xx x x x
x x x x x
x x
x x x x x
x
 ≤ −

+ − ≥  + − ≥ ≥ = −
 + − ≤ + ⇔ + ≥ ⇔ ≥ − ⇔ ⇔   ≥ − ≤ ≤   + − ≤ + + ≤  

− ≤ ≤
Bài 3: 
a) Điều kiện x ≥ 0 
 Ta có: ( )( )6 8 0 2 4 0 2 4 4 16x x x x x x− + ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ 
b) Ta có: 
( )
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
2 ( 2) 2 12 30 0 0 2 2 1 0
2 1 2 2 2 1 2 2 1
x x x xx x x
x x x
x x x x x x
+ − +
− < ⇔ < ⇔ < ⇔ + + <
+ + + + + +
(*) 
 Ta có thể lập bảng xét dấu hoặc xết từng khoảng giá trị để giải 
 - Với x > 0 thì (*) ( ) ( ) 12 2 1 0 2
2
x x x⇔ + + 0 
 - Với x < 0 thì (*) ( )( )
2
2 2 1 0 1
2
x
x x
x
< −
⇔ + + > ⇔
 > −

 két hợp với x < 0 ta đ−ợc 
2
1 0
2
x
x
< −


− < <

IV M$T S BÀI T<P NÂNG CAO 
Bài 1: Cho x 2;2 ≥≥ y . Chứng minh rằng: (x + y) (x2 + y2) ≤ x5 + y5 
Bài 2: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 
ba
c
ac
b
cb
a
c
c
b
b
a
a
+
+
+
+
+
≤≤
+
+
+
+
+ 2
3
111 222
Bài 3: Chứng minh rằng: 
4006
2001
)20022001(4003
1
...
)43(7
1
)32(5
1
)21(3
1
<
+
++
+
+
+
+