Bài toán tiếp tuyến

BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN
Bài toán 1: Viết pttt tại một điểm M(x0; y0) cho trước
Bài toán 2: Viết pttt theo hệ số góc cho trước.
Bài toán 3: Viết pttt đi qua một điểm cho trước.
Bài 1 (ĐHNN - 2000): Lập pttt với đồ thị (C) của hàm số tại giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành.
ĐS: y = -15x - 45; y = 15x - 45.
Bài 2 (ĐH - KB - 2004): Lập pttt (d) với đồ thị (C) của hàm số tại điểm uốn. CM (d) là tiếp tuyến với (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
ĐS: .
Bài 3: Lập pttt với đồ thị (C) của hàm số biết tiếp tuyến song song với đt y = - x.
ĐS: .
Bài 4 (ĐH - KD - 2005): Cho hàm số . Gọi M là điểm thuộc Cm có hoành độ bằng - 1. Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 5x - y = 0.
ĐS: m = 4.
Bài 5 (ĐH - KB - 2006): Cho hàm số . Viết pttt của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên của (C).
ĐS: 
Bài 6 (ĐHNN I - 2000): Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Viết pttt của đồ thị hàm số, biết tt đó vuông góc với đường thẳng 5y - 3x + 4 = 0.
ĐS: 
Bài 7: Lập pttt với đồ thị (C) của hàm số y = 2x3 + 3x2 - 12x - 1 kẻ từ O(0; 0).ĐS: y = - 12x.
Bài 8: Lập pttt với đồ thị (C) của hàm số y = x3 - 3x2 + 2 kẻ từ điểm 
ĐS: y = - 2; y = 9x - 25; 
Bài 9 (ĐH - KB - 2008): Cho hàm số y = 4x3 - 6x2 + 1 (C). Viết pttt của đồ thị (C) biết rằng tt đi qua điểm M(- 1; - 9).
ĐS: y = 24x + 15; 
Bài 10 (ĐH - KD - 2007): Cho hàm số . Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tt của (C) tại M cắt 2 trục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích 
Bài 11: Lập pttt với đồ thị (C) của hàm số . Biết tt đi qua điểm A(-1; 3).ĐS: 
Bài 12: Lập pttt với đồ thị (C) của hàm số . Biết tt đi qua điểm A(-6; 5).
ĐS: 
Bài 13: Cho hàm số (C): y = x4 - x2.
a) Chứng tỏ rằng qua điểm A(- 1; 0) có thể kẻ được 3 tiếp tuyến tới (C). Lập phương trình các tiếp tuyến đó.
b) Lập pt (P) đi qua các tiếp điểm.
ĐS: a) Hoành độ tiếp điểm: x = 0; x = - 1; x = . Các tt: y = 0; y = -2x - 2; 
b) Cách 1: Lập pt (P) đi qua 3 tiếp điểm.
Cách 2: Tọa độ các tiếp điểm tm hpt:
Bài 14: Cho hàm số (C): y = x4 - 4x2.
a) Chứng tỏ rằng qua điểm A(2; 0) có thể kẻ được 3 tiếp tuyến tới (C). Lập phương trình các tiếp tuyến đó.
b) Lập pt (P) đi qua các tiếp điểm.
ĐS: a) Hoành độ tiếp điểm: x = 0; x = 2; x = -. Các tt: y = 0; y = 16x - 32; 
b) Cách 1: Lập pt (P) đi qua 3 tiếp điểm.
Cách 2: Tọa độ các tiếp điểm tm hpt:
Bài 15: Cho hàm số (C): y = x3 - 3x . Tìm những điểm trên đường thẳng y = 2 từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến tới đồ thị.
HD: Với điểm A bất kì thuộc đt y = 2, ta có A(a; 2).
Giả sử tiếp tuyến (d) qua A tiếp xúc (C) tại M(x0; y0), khi đó ta có:
(d): 
Vì A thuộc (d) nên 
 Pt hoành độ tiếp điểm: 
ycbt Û (*) có 2 nghiệm phân biệt khác - 1 
Bài 16 (ĐHSPHNII - 1999- 2000): Cho hàm số (C): y = -x3 + 3x + 2. Tìm những điểm trên trục hoành từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến tới đồ thị.
HD: Với điểm A bất kì thuộc Ox, ta có A(a; 0).
Pt hoành độ tiếp điểm: 
ycbt Û (*) có 2 nghiệm phân biệt khác - 1 
Bài 17: Tìm điểm M thuộc đồ thị (C): sao cho tiếp tuyến tại M của (C) vuông góc tiệm cận xiên của nó.
HD: . Tcx: y = x + 1.
Tt vuông góc tcx nên tt có hsg k = - 1. Gpt 
Bài 18: Tìm m để (C): cắt Ox tại hai điểm phân biệt và tiếp tuyến với (C) tại hai điểm này vuông góc với nhau.
HD: TXĐ: D = R \ {-2}. 
(C) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt có 2 nghiệm x1, x2 phân biệt khác - 2 
Tt của (C) tại hai giao điểm x1, x2 có hsg là:
. Hai tt vuông góc với nhau 
Bài 19: Tìm M Î (C): sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với IM (I là giao của hai tiệm cận).
HD: . I(1; 2). Giả sử .
TT tại M có hsg . Đường thẳng IM có hsg .
ycbt .
.