Bài toán khoảng cách trong hình học không gian - Phạm Hồng Phong

  
 AH BCD' . 
AH là đường cao của tam giác vuông ABA'  31 1 1 1 12 2 2 2 2 2AH AB AA' a 2a 2a
      
a 6
3AH  .Vậy  
a 6
3d A;BCD' AH AH   . 
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC có SA 3a và  SA ABC . Giả sử AB BC 2a  , 
ABC 120  . Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC . 
Giải 
Dựng AD BC ( D BC ) và AH SD ( H SD ). 
Thật vậy, từ giả thiết ta có CD SA , lại có CD AD 
(do dựng)   CD SAD  AH CD , mà 
AH SD   AH SCD  H là chân đường 
vuông góc hạ từ A lên  SBC . 
Ta có AD AB sin ABD 2asin 60 a 3   . 
AH là đường cao của tam giác SAD vuông tại A nên: 1 1 1 1 1 42 2 2 2 2 2AH AS AD 9a 3a 9a
     
 3a2AH  . Vậy  
3a
2d A;SBC AH  . 
a
a 2
a 2
2a
C
C'
D
D'
A
A'
B
B'
H
2a 2a
3a
120o
S
A
C
B
D
H
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
5 
Ví dụ 4. [ĐHD11] Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B , BA 3a , BC 4a ; 
mặt phẳng  SBC vuông góc với mặt phẳng  ABC . Biết SB 2a 3 và SBC 30  . Tính 
khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng  SAC theo a . 
Giải 
Hạ SK BC ( K BC ). Vì    SBC ABC nên 
 SK ABC . 
Ta có  32BK SBcosSBC 2a 3. 3a   
 KC BC BK 4a 3a a     . 
Do đó nếu ký hiệu 1d , 2d lần lượt là các khoảng cách từ 
các điểm B , K tới  SAC thì d BC1d KC2 4  , hay 
1 2d 4d . 
Hạ KD AC ( D AC ), hạ KH SD ( H SD ). Từ  SK ABC  AC SK , lại có 
AC KD (do dựng)   AC SKD  KH AC , mà KH SD (do dựng)  
 KH SAC  2d KH . 
Từ ADK ABA  suy ra: CK DKCA BA  
BA.CK 3a.a 3a
CA 5a 5DK    
 (    2 22 2CA BA BC 3a 4a 5a     ). 
KS SB.sin SBC a 3  . KH là đường cao của tam giác vuông SKD nên: 
25 281 1 1 1
2 2 2 2 2 2KH KD KS 9a 3a 9a
      3a 714KH  . 
Vậy    6a 71 2 7d B; SAC d 4d 4KH    . 
Ví dụ 5. [ĐHB11] Cho lăng trụ 1 1 1 1ABCD.A B C D có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , 
AD a 3 . Hình chiếu vuông góc của điểm 1A lên mặt phẳng  ABCD trùng với giao điểm 
của AC và BD . Góc giữa hai mặt phẳng  1 1ADD A và  ABCD bằng 60 . Tính khoảng 
cách từ điểm 1B đến mặt phẳng  1A BD theo a . 
30°
2a 3
4a
3a
K
S
C
A
B
D
H
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
6 
Giải 
Vì 1B A cặt mặt phẳng  1A BD tại trung điểm của 1B A nên khoảng cách từ 1B và A tới 
 1A BD bằng nhau. 
Gọi I là giao điểm của AC và BD , M là trung điểm của AD . Ta có  1A I ABCD  
1AD A I  1 . Lại có IAD là tam giác cân tại I nên trung tuyến IM đồng thời là đường cao, 
tức là AD IM  2 . Từ  1 và  2 suy ra  1AD A IM  1A M AD . Do đó 1A MI 
chính là góc giữa hai mặt phẳng  1 1A D DA và  ABCD  1A MI 60  . 
Từ   1A ABD A BD 11 3 1V S .d A; A BD suy ra   
33a3VA ABD a 31 4
1 S 2 2A BD a 31
2
d A; A BD    . 
Vậy    a 31 1 2d B ; A BD  . 
Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B và AC 2a . SA có độ dài 
bằng a và vuông góc với đáy. 
1) Tính khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BC . 
2) Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A lên SB . Tính khoảng cách từ trung điểm M của 
AC đến đường thẳng CH . 
 a 3
1 1 2A I IM.tan A MI  
 A ABD1V 
1
ABD 13 S .A I 
 1 1 13 2. AB.AD.A I 
3a 3 a1
6 2 4a.a 3.  . 
Lại có 
A BD1S 
1
12 BD.A I 
2a 3 a 32 21
2 2 2a 3a .   . 
a 3
a
I M
D1C1
B1
A1
DC
B A
60o
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
7 
Giải 
1) Ta có  SA ABC  BC SA , cũng từ giả thiết ta có BC AB   BC SAB  
SB BC . BC
2
AB a 2   2 2 2 2SB SA AB a 2a a 3     . 
Vậy  d S;BC SB a 3  . 
2) Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A lên SB . Ở câu trên, 
ta đã chứng minh  BC SAB  AH BC , lại có AH SB 
AH CH . 
Lại lấy K là trung điểm của CH 
 MK song song và bằng 12 AH 
 MK CH , a 6a.a 2SA.AB1 12 2 62 2 2 2SA AB a 2a
MK
 
   . 
Vậy   a 66d M;CH MK  . 
2a
a
K
M
H
S
A C
B
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
8 
C. Bài tập 
Bài 1. Cho tứ diệnOABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau. Kẻ  OH ABC . 
1) Chứng minh: H là trực tâm ABC . 
2) Chứng minh: 2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
   . 
Bài 2. [ĐHD02] Cho tứ diện ABCD có  AD ABC ; AC AD 4cm  , AB 3cm , 
BC 5cm . Tìm khoảng cách từ A tới mặt phẳng  BCD . 
Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC a   , ASB 120  , BSC 60  , CSA 90  . 
Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng  ABC . 
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A . Cạnh AB có độ dài bằng a và nằm trong mặt phẳng 
  . Biết rằng cạnh AC có độ dài bằng a 2 và tạo với mặt phẳng   góc 60 , hãy tính 
khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng   . 
Bài 5. Trong mặt phẳng   cho góc vuông xOy . M là một điểm nằm ngoài   . Biết rằng 
MO 23 cm và khoảng cách từ M đến Ox , Oy cùng bằng 17 cm . Tính khoảng cách từ điểm 
M đến mặt phẳng   . 
Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. Biết rằng AB 7 cm , BC 5 cm , 
CA 8 cm , SA 4 cm . 
1) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC 
2) Tính khoảng cách từ các điểm S và A đến đường thẳng BC . 
Bài 7. [ĐHD07] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang,  ABC BAD 90   , 
BA BC a  , AD 2a . Cạnh SA vuông góc với đáy và SA a 2 . Gọi H là hình chiếu 
vuông góc của A lên SB . Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng  SCD theo a . 
Bài 8. [ĐHD09] Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B , 
AB a , AA' 2a , A'C 3a . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A'C' , I là giao điểm của 
AM và A'C . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  IBC theo a . 
Bài 9. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a , cạnh bên bằng 2a . Gọi G là 
tâm của đáy, M là trung điểm của SC . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
9 
1) Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng  ABC . 
2) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  SAG . 
Bài 10. Cho ABC là tam giác vuông cân tại B , BA a . Trên đường thẳng vuông góc với mặt 
phẳng  ABC tại A lấy điểm S sao cho SA a . Gọi I , M theo thứ tự là trung điểm của SC , 
AB . 
1) Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng  ABC 
2) Tính khoảng cách từ các điểm S và I đến đường thẳng CM . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
10 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
11 
Loại 2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Đường vuông 
góc chung của hai đường thẳng 
A. Tóm tắt lý thuyết 
4. Định nghĩa: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b . 
* Đường thẳng  cắt a , b và vuông góc với a , b được gọi là 
đường vuông góc chung của a và b . 
* Nếu đường vuông góc chung cắt a , b lần lượt tại M , N thì độ 
dài đoạn thẳng MN được gọi là khoảng cách giữa hai đường 
thẳng chéo nhau a và b . 
5. Cách tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau 
* Phương pháp tổng quát: Cho hai đường thẳng chéo 
nhau a , b . Gọi   là mặt phẳng chứa b và song 
song với a , a' là hình chiếu vuông góc của a lên  
. Đặt N a' b  , gọi  là đường thẳng qua N và 
vuông góc với     là đường vuông góc chung 
của a và b . Đặt M a   khoảng cách giữa a 
và b là độ dài đường thẳng MN . 
* Trường hợp đặc biệt: Cho hai đường thẳng chéo 
nhau và vuông góc với hau a , b . Gọi   là mặt 
phẳng chứa b và vuông góc với a . Đặt  M a   . 
Gọi N là chân đường vuông góc hạ từ M xuống b 
 MN là đường vuông góc chung của a , b và 
a
b
Δ
N
M
a
a'
b
α
M
N
a
a'
b
α
M
N
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
12 
khoảng cách giữa a , b là độ dài đoạn thẳng MN . 
6. Nhận xét: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b . Các nhận xét nhau đây cho ta cách khác 
để tính khoảng cách giữa a và b . 
* Nếu   là mặt phẳng chứa a và song song với b thì khoảng cách giữa hai đường thẳng bằng 
khoảng cách giữa b và   . 
* Nếu   ,   là các đường thẳng song song với nhau, lần lượt chứa a , b thì khoảng cách 
giữa hai đường thẳng bằng khoảng cách giữa   và   . 
B. Một số ví dụ 
Ví dụ 1. [ĐHD08] Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông có 
BA BC a  , cạnh bên AA' a 2 . Gọi M là trung điểm của BC . Tính khoảng cách giữa hai 
đường thẳng AM và B'C . 
Giải 
Lấy N là trung điểm của BB ' , ta có MN là đường trung bình 
của tam giác B'BC  B'C MN   B'C AMN . Do đó 
       d B'C;AM d B'C; AMN d B'; AMN  . 
Lại có BB ' cắt  AMN tại N là trung điểm của BB ' nên 
     d B'; AMN d B; AMN . 
Hình chóp B.AMN có BA , BM , BN đôi một vuông góc nên 
  2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 4 2 7
d B; AMN BA BM BN a a a a
           a 7d B; AMN 7 . 
Vậy   a 7d B'C;AM
7
 . 
Ví dụ 2. [ĐHA06] Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có các cạnh bằng 1 . Gọi M , N 
lần lượt là trung điểm của AB và CD . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'C và MN . 
Giải 
N
M
A
B
C
C'
B'
A'
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
13 
Ta thấy MN BC   MN A'BC 
       d A'C;MN d MN;A'BC d M; A'BC  . 
Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống A 'B . Ta 
có:  BC ABB'A'  MH BC , mặt khác MH  
A 'B (do vẽ)   MH A'BC  H chính là chân 
đường vuông góc hạ từ M xuống  A'BC . 
MH là cạnh góc vuông của tam giác vuông cân HBM  a 2BM 42
MH   . 
Vậy   a 24d A'C;MN  . 
Ví dụ 3. [ĐHA04] Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình thoi đường chéo AC 4 , 
SO 2 2 và SO vuông góc với đáy ABCD , ở đây O là giao điểm của AC và BD . Gọi M 
là trung điểm của SC . Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM . 
Giải 
Ta có MO là đường trung bình của tam giác SAC 
 SA MO   SA MBD 
      d SA;MB d SA;MBD d S;MBD  . 
SC cắt mặt phẳng  MBD tại trung điểm M của SC nên 
     d S; MBD d C; MBD . 
Gọi K là chân đường vuông góc hạ từ M xuống SA , đặt H CK MO  . Ta có 
 SO ABCD  BD SO , lại có ABCD là hình thoi nên BD AC   BD SAC  
CH BD  1 . MO SA , CK SA  CH MO  2 . Từ  1 và  2 suy ra H