Bài tập về quan hệ vuông góc

BÀI TẬP VỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC
–—–—–—
Bài 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của BB’,CD,A’D’.Chứng minh rằng MP C’N.
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.Mặt bên SAD là tam giác đều và ở trong mặt phẳng vuông góc với đáy.Gọi M,N,P lầ lượt là trung điểm của cạnh SB,BC,CD.Chứng minh rằng: AM BP.
Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy có độ dài bằng a.Gọi E là điểm đối xứng của điểm D qua trung điểm của S.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AE,BC.Chứng minh rằng:
 MNBD.
Bài 4:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang,trong đó ;
 BA = BC = a,AD = 2a.Giả sử và SA vuông góc với đáy ABCD.Chứng minh 
 rằng: .
Bài 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a,cạnh bên bằng .Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của SA,SD,DC.Chứng minh rằng MN SP.
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chử nhật với AB = a,AD = ,SA = a và SA vuông góc với đáy (ABCD).Gọi M,N là trung điểm của AD và SC.Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB).
Bài 7:Cho hình hộp chử nhật ABCD.A’B’C’D’ đáy ABCD cạnh đáy a;AA’ = b.Gọi M là trung điểm CC’. Xác định tỉ số để hai mặt phẳng A’BD và mặt MBD vuông góc với nhau. 
Bài 8: Cho hình chóp tam giác S.ABC đáy là tam giác đều cạnh a,còn SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC).Gọi I là trung điểm của BC.Chứng minh rằng hai mặt phẳng 
 (SAI) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Bài 9: Cho hình chóp S.ABC ,trong đó đáy là tam giác vuông tại C,hai mặt phẳng (SAC) và (SAB) cùng vuông góc với mặt đáy (ABC).Gọi D ,E lần lượt là hình chiếu của A lên SC và SB.Chứng minh rằng (SAB) (ADE).
Bài 10: Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh bằng a.Đoạn SA cố định vuông góc với (P) tại A;M và N là hai điểm tương ứng di động trên các cạnh BC và CD.Đặt BM = u,
 DN = v.Chứng minh rằng : a(u + v) = a2 + u2 là điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau.
Bài 11: Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh bằng a.Hai nửa đường thẳng Bx và Dy vuông góc với (P) ở cùng một phía đối với (P).M và N là hai điểm di động tương ứng trên Bx ,Dy.Đặt BM = u,DN = v.
1) Tìm mối liên hệ giữa u và v để : (MAC) (NAC).
2) Giả sử ta có điều kiện ở câu 1,chứng minh rằng (AMN) (CMN).
Bài 12: Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) ,ngoài ra AC= AD = 4 ;AB = 3;BC = 5.Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).
Bài 13: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy là tam giác vuông có BA = BC = a,cạnh bên AA’ = .Gọi M là trung điểm của BC.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C.
Bài 14: Cho hình chóp S.ABCD có SA = 3a,và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC).Giả sử AB = BC = 2a và .Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Bài 15:Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a.Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA.Gọi M,N tương ứng là trung điểm của AE và BC.Tìm khoảng cách theo a giữa hai đường thẳng MN,AC.
Bài 16: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và CD.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN.
Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi cạnh AB = ,đường chéo AC = 4, SO = và SO vuông góc với đáy ABCD với O là giao điểm của AC và BD.Gọi M là trung điểm của cạnh SC.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM.
Bài 18: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và B’D.
Bài 19: Cho hình tứ diện đều ABCD cạnh .Hãy xác định và tính độ dài đường vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CD.
Bài 20: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B,AB = a,BC = 2a,cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a.Xác định và tính độ dài đường vuông góc chung của hai đường thẳng AB và SC.
Bài 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,SA = h và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD).Dựng và tính độ dài đường vuông góc chung của hai đường thẳng SC và AB.
Bài 22: Cho đường tròn đường kính AB = 2R trong mặt phẳng (P) .C là một điểm chạy trên đường tròn .Trên đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) lấy điểm S sao cho SA = a < 2R.Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AC và SB.Xác định vị trí của C trên đường tròn sao cho EF là đường vuông góc chung của AC và SB.
Bài 23:Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a,đáy là tam giác vuông tại A có AB = a,AC = .Hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên (ABC) là trung điểm của cạnh BC.Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’.
Bài 24: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a,SA = a, SB = và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt đáy.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và BC.Tìm cosin của góc giữa hai đường thẳng SM,DN.
Bài 25:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng ,AC = 4 và chiều cao của hình chóp là SO = với O là giao điểm của AC và BD.Gọi H là trung điểm của SC.Tính góc giữa hai đường thẳng SA và BM.
Bài 26: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.Tìm số đo của góc tạo bởi hai mặt mặt phẳng (BA’C) và (D’AC).
Bài 27:Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC vuông tại C,AB = 2a,.Đoạn SA = a và vuông góc với (P).Tính sin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).