Bài tập về nguyên hàm và tích phân - Hồ Ngọc Vinh

2) Theå tích vaät theå troøn xoay :
 Cho ñöôøng cong (C) : y = f(x) lieân tuïc treân [a;b] coù ñoà thò laø (C). Goïi (H) laø hình phaúng giôùi haïn bôûi (C),
Ox, x = a, x = b. Cho hình phaúng (H) quay troøn xoay 1 voøng quanh Ox ta ñöôïc 1 vaät theå troøn xoay coù theå tích
laø :  
2b b
2
Ox
a a
V y dx f x dx       
 Cho ñöôøng cong (C) : x = g(y) lieân tuïc treân [a;b] coù ñoà thò laø (C). Goïi (H) laø hình phaúng giôùi haïn bôûi (C),
Ox, y = a, y = b. Cho hình phaúng (H) quay troøn xoay 1 voøng quanh Oy ta ñöôïc 1 vaät theå troøn xoay coù theå tích
laø :  
2b b
2
Oy
a a
V x dy g y dy        (Daønh cho ban naâng cao!)
Baøi taäp veà nguyeân haøm & tích phaân Thaày: Hoà Ngoïc Vinh
Chủ đề III : NGUYÊN HÀM
I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất
1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.
1. f(x) = 2
4 32
x
x  ĐS. F(x) = C
x
x  3
3
2 3
2. f(x) = 2
22 )1(
x
x  ĐS. F(x) = C
x
x
x  12
3
3
3. f(x) =
3
21
xx
 ĐS. F(x) = Cxx  3 232
4. f(x) =
2
sin2 2 x ĐS. F(x) = x – sinx + C
5. f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C
6. 14. f(x) =
xx
x
22 cos.sin
2cos ĐS. F(x) = - cotx – tanx + C
7. f(x) = 2sin3xcos2x ĐS. F(x) = Cxx  cos5cos
5
1
8. f(x) = ex(2 + )
cos2 x
e x ĐS. F(x) = 2ex + tanx + C
9. f(x) = 2ax + 3x ĐS. F(x) = C
a
a xx 
3ln
3
ln
2
10. 2
2f(x) 1 x  11/ 2
5f(x) x 3x 2   ; 12/ f(x) sin 7x cos 5x cos x
13/ 2
17xf(x) 10x 13x 3  
2/ Tìm nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá f(x), thoaû maõn ñieàu kieän ?
1. f(x) = 2 – x2 và F(2) = 7/3 ĐS. F(x) = 1
3
2
3
 xx
2. f(x) = 4 xx  và F(4) = 0 ĐS. F(x) =
3
40
23
8 2  xxx
3. f (x) = 4x3 – 3x2 + 2 và F(-1) = 3 ĐS. F(x) = x4 – x3 + 2x + 3
4.
1x2x
1x3x3x)x(f 2
23

 ,
3
1F(1) ÑS ?
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
1.Phương pháp đổi biến số.
Tính I =  dxxuxuf )(')].([ bằng cách đặt U = u(x)
 Đặt U = u(x) '( )dU u x dx 
 I = [ ( )]. '( ) ( )f u x u x dx f U dU 
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1.   xdxx 72 )12( ; 2.   dxxx 243 )5( ; 3. xdxx .12  ; 4.   dxx x 52 ; 5a.   dxx
x
3
2
25
3
; b.  1xe dx
6.   2)1( xx
dx
 ; 7. dx
x
x 3ln ; 8.   dxex x 12. ; 9.  dxxx5cossin ; 10.  gxdxcot ; 11.  xtgxdx2cos ;12.  xdxsin ;
 13.  xdxcos ; 14.  dxx
e x
; 15.   3x
x
e
dxe
; 16.  dxxe
tgx
2cos
; 17.  xdxx 23 sincos ; 18. dxxx .1  ;
Coá gaéng caùc em nheù !
2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
Baøi taäp veà nguyeân haøm & tích phaân Thaày: Hoà Ngoïc Vinh
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì
  dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').(
Hay
  vduuvudv ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
 19.   xdxx sin)5( 2 ; 20.   xdxxx cos)32( 2 ; 21.  xdxx 2sin ; 22.  xdxx 2cos ; 23.  dxex x. ; 24.  xdxln
25  xdxx ln ; 26. dxx 2ln ; 27. 
x
xdxln
; 28.  dxxx2cos ; 29.  dxxsin ; 30.   dxx )1ln( 2 ; 31.  xdxe x cos. ;
32.  dxex x23 ; 33.   dxxx )1ln( 2 ; 34.  xdxx2 ; 35.  xdxx lg ; 36.   dxxx )1ln(2 ; 37.   dxx x2 )1ln( ;
38.  xdxx 2cos2
TÍCH PHÂN VÀ ÚNG DỤNG.
DAÏNG 1 : Tính tích phaân baèng ñònh nghóa
PP : Bieán ñoåi haøm soá döôùi daáu tích phaân veà daïng toång hieáu caùc haøm soá coù nguyeân haøm
Baøi 1 : Tính caùc tích phaân :
1/ dxxx )1( 2
1
0
 ; 2/ dxxxx )1( 216
1
 ; 3/ dx
x
xx 8
1
3
2 35
; 4/ dx
xx
x 4
1
3)1(
Baøi 2 : Tính caùc tích phaân :
1/ dx
x 
2
1 35
3
; 2/ dx
x
x  
2
1 21
12
; 3/ dx
x
xx  
5
4
2
3
52
; 4/ dx
xx
x  
5
4
2 23
32
; 5/ dx
xx 
5
4
2 23
1
6/ dx
xx
x  
4
3
2 23
3
; 7/ dx
xx 
5
4
2 96
3
; 8/ dx
xx
x  
5
4
2 96
12
; 9/ dx
x
x
22
1 3
1  

; 10/ dx
x
x 
1
0
2
3
1
Baøi 3 : Tính caùc tích phaân :
1/ 2
0
cos3cos

xdxx ; 2/ 2
0
sin2sin

xdxx ; 3/ 2
0
3sincos

xdxx ; 4/ 2
0
5cos2sin

xdxx
5/ 2
0
4cos

xdx ; 6/ 3
6
22 cossin
1


dx
xx
; 7/ 3
6
22 cossin
2cos


dx
xx
x
; 8/ dx
x
e
e
x
x )
cos
3(
4
0
2 

DAÏNG 2 : Phöông phaùp ñoåi bieán daïng 2
* Aùp duïng cho nhöõng tích phaân coù daïng b
a
dxxuxuf )(')].([ ( trong ñoù u(x) laø haøm soá bieán x)
*Phöông phaùp:
 + Ñaët U = u(x)  dU = u’(x)dx
 + Ñoåi caän : Khi x = aU = u(a), khi x = b U= u(b)
 + Thay theá :
 Khi ñoù b
a
dxxuxuf )(')].([ =
( )
( )
( )
u b
u a
f U dU .
*Chuù yù : Thöôøng ñaët u laø caên, muõ, maãu, ...
Baøi 1 :Tính caùc tích phaân :
1/  
8
3 1
dx
x
x
; 2/  1
0
815 1 dxxx ; 3/  
1
0 1
dx
x
x
; 4/  2ln
0
1dxe x ; 5/  
2
1
21 xx
dx
; 6/  
2
3
21
21 xx
dx
Baøi 2 : Tính caùc tích phaân :
Baøi taäp veà nguyeân haøm & tích phaân Thaày: Hoà Ngoïc Vinh
1/ xdxe x 1
0
22 ; 2/ xdxe x cos
2
0
sin21 

; 3/ dxee xe
x1
0
; 4/ e xxdxe1
ln
; 5/ dx
x
e tgx2
0
2cos

; 6/ dx
x
e tgx2
0
2cos

Baøi 3 :Tính caùc tích phaân :
1/ dx
x
x 
2
0 cos21
sin

; 2/ dx
xx
e
e

2
ln
1
; 3/ 1
0
sin dxee xx ; 4/  
1
0
dx
ee
e
xx
x
; 5/  
27
1
3 )1(
dx
xx
dx
; 6/ 
0
4cos xdx
7/  
2ln
0
xx ee
dx
; 8/ 2
6
3sin
cos

x
dx
x
x
; 9/  
2ln2
2ln 1xe
dx
; 10/  
2
0
33
3
cossin
sin

dx
xx
x
; 11/   dxxx x 33
3
cossin
cos
DAÏNG 3 : Phöông phaùp tích phaân töøng phaàn
* Aùp duïng cho nhöõng tích phaân coù daïng b
a
dxxvxu )(').( ( trong ñoù u(x), v’(x) laø nhöõng haøm soá bieán x)
*Phöông phaùp:
 + Ñaët




dxxvdv
xuu
)('
)(
 ta coù




)(
)('
xvv
dxxudu
 Khi ñoù b
a
dxxvxu )(').( = b
a
xvxu )()( - b
a
dxxvxu )().('
*Chuù yù : - Ñaët u theo thöù töï öu tieân : Logarit(loâcNeâpe), ña thöùc, ...
- Sau khi ñaët u, toaøn boä phaàn coøn laïi laø dv( cuï theå Thaày ñaõ daïy ôû phaàn lyù thuyeát)
Baøi taäp : Tính caùc tích phaân sau :
1/ 2
0
cos

xdxe x ; 2/ 2
4
2sin


dx
x
x
; 3/ 
0
2cos
sin dx
x
xx
; 4/  1
0
2 )1ln( dxxx ; 5/ e dxx
0
2)(ln ; 6/  
2
6 cos1
sin


dx
x
xx
7/ 2
0
2 sin

xdxx ; 8/  e dxx
1
2)ln1( ; 9/ e
e
dxx
1
ln ; 10/ 2
0
sin

xdxe x ;11/  1
0
)1ln( dxxx ; 12/ dx
xx
e
e
  
2
ln
1
ln
1
2
DAÏNG 3 : Phöông phaùp ñoåi bieán daïng 1
* Aùp duïng cho nhöõng tích phaân coù chöùa caùc bieåu thöùc 22 xa  , 22 1 xa  maø khoâng theå tính baèng caùc
phöông ñaõ hoïc .
*Phöông phaùp:
 + Ñaët bieán môùi
-Daïng chöùa 22 xa  : Ñaët x = asint, t 


2
;
2

- Daïng chöùa 22
1
xa  : Ñaët x = atant, t 


2
;
2

 + Caùc böôùc tieáp theo : ñoåi caän, thay theá töông töï nhö phöông phaùp ñoåi bieán daïng 2
Baøi taäp : Tính caùc tích phaân sau :
1/  a dxxax
0
222 ( a > 0 ) 2/ dx
x
x 1
22
2
21
3/  
e
xx
dx
1
2ln4
4/ dxxx 1
0
2 32 5/  
3
0
29
1 dx
x
6/ 
 
1
1
2 52
1 dx
xx
7/  
3
1
22 4
1 dx
xx
8/  1
0
22 1 dxxx 9/  
2
1
22 4
1 dx
xx
ÖÙNG DUÏNG CUÛA TÍCH PHAÂN
Baøi taäp veà nguyeân haøm & tích phaân Thaày: Hoà Ngoïc Vinh
BAØI TOAÙN 1: Cho haøm soá  y f x lieân tuïc treân  ;a b . Khi ñoù dieän tích hình phaúng (D) giôùi
haïn bôûi (Chæ Thaày Troø ta kyù hieäu theá naøy thoâi nheù !!! )
- Ñoà thò haøm soá  y f x
- Truïc Ox : ( 0y  )
- Hai ñöôøng thaúng ;x a x b 
Ñöôïc xaùc ñònh bôûi coâng thöùc :  bD
a
S f x dx 
1) Tính ?DS  , bieát D giôùi haïn bôûi ñoà thò: 2 2y x x  , 1, 2x x   vaø truïc Ox .
2) Tính ?DS  , bieát  , 0, 1, 2xD y xe y x x     
3) Tính ?DS  vôùi  2 4 , 1, 3D y x x x x       
4) Tính ?DS  , vôùi , 0, , 03D y tgx x x y
       
5) Tính ?DS  , 2ln , 0, 1, 2xD y y x xx
       
6) Tính ?DS  , ln1, , 0, 2
xD x x e y y
x
       
7) Tính ?DS 
2 3 1
, 0, 1, 0
1
x xD y x x y
x
        
8) Tính ?DS  , 2 3sin cos , 0, 0, 2D y x x y x x
       
BAØI TOAÙN 2 : Dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi : (Xem kyû laïi lyù thuyeát Thaày ñaõ daïy)
+    1 :C y f x ,    2 :C y g x
+ ñöôøng thaúng ,x a x b 
Ñöôïc xaùc ñònh bôûi coâng thöùc:    b
a
S f x g x dx 
PP giaûi: B1: Giaûi phöông trình :    f x g x tìm nghieäm  1 2, ,..., ;nx x x a b  1 2 ... nx x x  
B2: Tính
           
         
1 2
1
1
...
,...,
n
n
x x b
a x x
x b
a x
S f x g x dx f x g x dx f x g x dx
f x g x dx f x g x dx
      
    
  
 
1) Tính ?DS  ,   51 , , 0, 1xD y x y e x x     
2)Tính ?DS  , 2 21 1, , ,sin cos 6 3D y y x xx x
        
3) Tính ?DS  ,   22 sin , 1 cos , 0;D y x y x x      
4) Tìm b sao cho dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò   22: 1
xC y
x
  vaø caùc ñöôøng thaúng
1, 0,y x x b   baèng
4

BAØI TOAÙN 3: Hình phaúng (D) giôùi haïn bôûi ñoà thò:    , ,y f x y g x x a   .
Khi ñoù dieän tích     0x
a
S f x g x dx  vôùi 0x laø nghieäm duy nhaát cuûa phöông trình
   f x g x .
Baøi taäp veà nguyeân haøm & tích phaân Thaày: Hoà Ngoïc Vinh
1) Tính ?HS  , vôùi  , , 1x xH y e y e x   
2) Tính ?HS  ,  21 , , 1H y x x Ox x   
3) Tính ?DS  3 1, ,1
xD y Ox Oy
x
     
4) Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi : 2 ; 3 ; 0xy y x x   
5) Tính ?HS  ,  , 2 0, 0H x y x y y     
BAØI TOAÙN 4: Tính dieän tích hình phaúng  D giôùi haïn bôûi ñoà thò hai haøm soá:    ;y f x y g x 
PP giaûi: B1: Giaûi phöông trình     0f x g x  coù nghieäm 1 2 ... nx x x  
B2: Ta coù dieän tích hình  D :    
1
nx
D
x
S f x g x dx 
1) Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi: 2 2y x x  ; 2 4y x x  
2) Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi: 2 2y x x   vaø 3y x 
3) Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi: 2 2 0y y x   vaø 0x y 
4) Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi