Bài tập về Hệ phương trình đối xứng loại II có đáp án

CHUYÊN ĐỀ
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI (KIỂU) II
1. Dạng 1: (đổi vị trí x và y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia)
Phương pháp giải chung
Cách giải 1
Trừ hai phương trình cho nhau, đưa về phương trình tích, giải x theo y (hay ngược lại) rồi thế vào một trong hai phương trình của hệ.
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình .
Giải
Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được:
Thế y = x vào (1) hoặc (2) ta được:
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất .
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình 
Giải
Điều kiện: .
Trừ (1) và (2) ta được:
 .
Thay x = y vào (1), ta được:
 (nhận).
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt .
Cách giải 2 (nên dùng khi cách 1 không giải được)
Cộng và trừ lần lượt hai phương trình đưa về hệ phương trình mới tương đương gồm hai phương trình tích (thông thường tương đương với 4 hệ phương trình mới).
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình 
Giải
Trừ và cộng (1) với (2), ta được:
+ 
+ 
+ 
+ 
Vậy hệ phương trình có 5 nghiệm phân biệt: .
Cách 3. Sử dụng hàm số đơn điệu để suy ra x = y
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình 
Giải
Điều kiện: .
Trừ (1) và (2) ta được:
 (3)
Xét hàm số , ta có:
 .
Thay x = y vào (1), ta được:
 (nhận).
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt .
Ví dụ 5. Giải hệ phương trình .
Giải
Xét hàm số .
Hệ phương trình trở thành .
+ Nếu (do (1) và (2) dẫn đến mâu thuẩn).
+ Nếu (mâu thuẩn).
Suy ra x = y, thế vào hệ ta được 
Vậy hệ có nghiệm duy nhất .
Chú ý:
Khi gặp hệ phương trình đối xứng loại II dạng 1, ta nên giải cách 1. Nếu giải không được mới nghĩ đến cách 2 và 3, nếu vẫn không giải được thì quay trở về đề bài và tìm điều kiện chính xác rồi giải lại cách 1! 
Ví dụ 6 (trích đề thi ĐH khối B – 2003). Giải hệ phương trình: 
Giải
Nhận xét từ hệ phương trình ta có . Biến đổi:
Trừ (1) và (2) ta được:
Với 
Vậy hệ có 1 nghiệm .
2. Dạng 2: , trong đó chỉ có 1 phương trình đối xứng
Phương pháp giải chung
Cách giải 1
Đưa phương trình đối xứng về dạng tích, giải y theo x rồi thế vào phương trình còn lại.
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình .
Giải
Điều kiện: . Ta có:
+ Với y = x: .
+ Với : (2) vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt .
Cách giải 2 (nên dùng khi cách 1 không giải được)
Đưa phương trình đối xứng về dạng với hàm f đơn điệu.
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình .
Giải
Tách biến phương trình (1), ta được: 
 (3).
Xét hàm số .
Suy ra .
Thay x = y vào (2), ta được:
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất .
Chú ý: 
Cách giải sau đây sai:.
Giải
Điều kiện: .
Xét hàm số .
Suy ra !
Sai do hàm số f(t) đơn điệu trên 2 khoảng rời nhau (cụ thể f(–1) = f(1) = 0).
BÀI TẬP
Giải các hệ phương trình sau
1) . Đáp số: .
2) . Đáp số: .
3) . Đáp số: .
4) . Đáp số: .
5) . Đáp số: .
6) . Đáp số: .
7) . Đáp số: .	8) . Đáp số: .
9) . Đáp số: .
10) . Đáp số: .
11) (trích đề thi ĐH khối A – 2003) .
Hướng dẫn giải
Điều kiện: 
+ Với :	(2) 
+ Với 
Xét hàm số 
 vô nghiệm.
Cách khác:
+ Với .
+ Với .
Suy ra (2) vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm phân biệt .
12) 
Hướng dẫn giải
Trừ (1) và (2) ta được:
Xét hàm số .
Xét hàm số (4) có không quá 1 nghiệm.
Do Vậy hệ có 1 nghiệm .