Bài tập về Giới hạn
*Các định lý về giới hạn:
Định lý 1: Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn
Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn
Bạn đang xem nội dung tài liệu Bài tập về Giới hạn, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
n2 + n – n2 + 1 ) j) lim n( n2 + 1 – n2 – 2 ) k) lim( nn2n3 23 ) l) lim 4n2 + 1 – 2n – 1 n2 + 4n + 1 – n m) lim(1 + n2 – n4 + 3n + 1 ) n) lim n2 + 3 1 – n6 n4 + 1 – n2 4.Tính các giới hạn a) lim 2n – 5.3n 3n + 1 b) lim 2n + 2n + 1 2n + 4.3n c) lim 4.3n + 7n + 1 2.5n + 7n d) lim 3n – 4n 3n + 4n e) lim (– 2)n + 3n (– 2)n + 1 + 3n + 1 f) lim (– 1)n + 2n 1 + (– 3)n g) lim 1 + a + a2 + + an 1 + b + b2 + + bn với |a| < 1 ; |b| < 1 4.Cho dãy (un) xác định bởi u1 = 2 ; un+1 = 2 + un a)Chứng minh rằng (un) bị chặn trên bởi 2 và là dãy số tăng b)Suy ra (un) có giới hạn và tính giới hạn đó 5.Cho dãy (un) xác định bởi u1 = 1 2 ; un+1 = 1 2 – un a)Chứng minh rằng (un) bị chặn trên bởi 1 và là dãy số tăng b)Suy ra (un) có giới hạn và tính giới hạn đó 6.Tìm các số hữu tỉ sau : a) 2,1111111... b)1,030303030303... c)3,1515151515.... 7.Tính lim(1 – 1 22 ).(1 – 1 32 ).(1 – 1 42 )(1 – 1 n2 ) 8. Cho dãy (xn) thỏa 0 < xn < 1 và xn+1(1 – xn) ≥ 1 4 Chứng minh rằng: dãy số (xn) tăng. Tính limxn 9. Cho dãy (xn) thỏa 1 < xn < 2 và xn+1 = 1 + xn – 1 2 xn 2 n N a)Chứng minh rằng: |xn – 2 | < ( 1 2 )n n ≥ 3 b) Tính limxn 10.Cho dãy số xác định bởi : u1 = 1 2 ; un +1= un 2 + 1 2 a) Chứng minh rằng: un < 1 n b) Chứng minh rằng: (un) tăng và bị chặn trên c) Tính limun 11.Cho dãy số (un) xác định bởi công thức u1 = 6 và un +1= 6 + un a) Chứng minh rằng un < 3 n b)Chứng minh rằng: (un) tăng và bị chặn trên c) Tính limun Giới hạn hàm số *Các phép toán về giới hạn hàm số x a x a x a lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x) x a x a x a lim f (x).g(x) lim f (x).lim g(x) x a x a x a lim f (x) f (x) lim g(x) lim g(x) x a x a lim f (x) limf (x) *Các định lý về giới hạn hàm số : Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất Định lý 2:Cho 3 hàm số g(x),f(x),h(x) cùng xác định trong khoảng K chứa a và g(x) ≤ f(x) ≤ h(x). Nếu x a x a limg(x) lim h(x) L thì x a limf (x) L Định lý 3: Nếu x a x a 1 limf (x) 0 thì lim f (x) Nếu x a x a 1 limf (x) thì lim 0 f (x) Định lý 4: x 0 s inx lim 1 x x 0 x lim 1 sinx x 0 sin kx lim 1 kx x 0 kx lim 1 sin kx *Các dạng vô định: là các giới hạn có dạng 0 0 ; ; 0. ; – 1.Tính các giới hạn sau: a) 2x 2x3x2 lim 2 2x b) 1x 3x5x3x lim 2 23 1x c) 4x4x x2x lim 2 2 2x d) 2x3x 1xxx lim 2 23 1x e) 9x8x 9x3x5x lim 24 23 3x f) 3x2x 1x lim 23 4 1x g) 1xx2 3x2x lim 2 2 1x h) 2 3 2x x4 2x3x lim i) 1x xx5x4 lim 2 56 1x k) 1x 1x lim n m 1x m,nN 2.Tính các giới hạn sau: a) x4 35x lim 4x b) x x1x1 lim 0x c) 49x 3x2 lim 27x d) 4x 31x4 lim 22x e) 31x4 x2x lim 2x f) x51 x53 lim 4x g) 3x3 2x3x2 lim 1x h) 3x4x 4x7x2 lim 231x i) 1x xx lim 2 1x j) 23x 1x lim 1x k) 31x4 x2x lim 2x l) 3x2 37x2 lim 1x m) 1x 1x1x lim 2 1x n) 1x 2x3x lim 2 3 1x o) 1x x3x3x lim 32 1x 3.Tính các giới hạn sau: a) 332x x8x8 x lim b) 1x 2xx lim 3 35 1x c) 1x1 x lim 30x d) 2 3 2 0x x 1x1 lim e) 4x5x x4x lim 2 3 4x f) 9x 5x10x2 lim 2 3 3x g) 2x 2xx10 lim 3 2x h) 4x 2x6x lim 2 3 2x i) 3 2x 2 8x 11 x 7 lim x 3x 2 g) 3 54 4x 1 (1 x )(1 x )(1 x )(1 x ) lim (1 x) h) n 2x 1 x nx n 1 lim (x 1) 4.Tính các giới hạn sau: a) x2 x3sin lim 0x b) x2sin x5 lim 0x c) x7sin x4sin lim 0x d) 20x x x6cos1 lim e) xcos1 x3cos1 lim 0x f) 20x x2 x3cosxcos lim g) 20x x xcos1 lim h) x6sin xcosxsin3 lim 6 x i) x8sin xcosxsin lim 4 x j) 11x 1xsinxcos lim 2 44 0x k) xcosxsin1 xcosxsin1 lim 0x l) ) xcos 1 xsin 1 (lim 0x m) tgx)x 2 (lim 0x n) xsin xcos12 lim 20x o) 20x x x2cos.xcos1 lim p) xtg x2cosxsin1 lim 20x q) tgx1 xcosxsin lim 4 x r) 20x x11 1x2cos lim 4.Tính các giới hạn sau: a) x 0 1 3 1 lim . s inx sin 3x x b) 3x 0 tgx s inx lim x c) 2x 0 1 cosx lim tg x d) x 2 cosx lim x- /2 e) x 2 lim(1 cos2x)tgx f) x 4 1 tgx lim 1 cot gx g) x 4 s inx - cosx lim 1 - tgx h) 3 x 3 tg x 3tgx lim cos(x + ) 6 i) x lim x.sin x j) 2x 0 2 1 cosx lim tg x k) x 0 1 sin 2x 1 sin 2x lim x l) x lim(sin x 1 sin x ) m) x lim(cos x+1 cos x) 5.Tính các giới hạn sau: a) ) 1x 3 1x 1 (lim 31x b) ) 4x 4 2x 1 (lim 22x b) 2 2x 2 1 1 lim x 3x 2 x 5x 6 c) x4x )x3x)(1x( lim 3 2 x d) 1x2 x3xx lim 2 x e) )x3xx(lim 2 x f) )x5x3(lim x g) )x5x(xlim 2 x h) )x1x(xlim 2 x i) )3x7x1x2x(lim 22 x i) 2 2x x x 2 3x lim 4x 1 x 1 j) 2 2 x 9x x 1 4x 2x 1 lim x 1 h) 2 3 3x x 2x 3 lim x x 1 j) 1xx 1xx1xx lim 2 22 x k) 1xx16x141 x7 lim 2x 6.Tính giới hạn các hàm số sau a) 2x x3x lim 2 x b) )1xxx(lim 22 x c) x 1 sinxlim 2 0x d) 3x2x x2cos3xsin lim 2x e) 1x xxcos5 lim 3 2 x f) 2 x lim( x x x ) g) 2 x lim(2x 1 4x 4x 3) h) x lim x x x x i) 3 2 3 x lim(x 3x x ) j) 32 3 x lim x 1 x 1 7.Tìm 2 số a,b để a) 0)bax1xx(lim 2 x b) )bax 1x 1x (lim 2 x = 0 8. Tính các giới hạn sau: a) 2 2 x lim x x 2x 2 x x x b) 3 3 2 2 x lim x 3x x 2x Hàm số liên tục Định nghĩa: *Hàm số f(x) liên tục tại xo o o x x lim f (x) f (x ) *Hàm số f(x) gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm xo (a;b) *Hàm số f(x) gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng [a;b] và x a x b lim f (x) f (a) và lim f (x) f (b) Các định lý: Định lý 1:Các hàm số đa thức,hữu tỉ,lượng giác là các hàm số liên tục trên tập xác định của chúng Định lý 2:Tổng,hiệu,tích,thương của những hàm liên tục là một hàm liên tục Định lý 3:Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một số c (a;b) sao cho f(c) = 0 Hệ quả:Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm trên khoảng (a;b) 1.Xét sự liên tục của các hàm số sau: a) f(x) = x2 + x – 3 b)f(x) = 3x – 5 x2 + 3x b)f(x) = x + 2 x2 + 4 2.Xét sự liên tục của các hàm số sau: a) f(x) = 1 xkhi 32x 1 x khi 4x3x 2 tại xo = 1 b) f(x) = 2 xkhi 3 11 2 xkhi 2xx 6xx 2 3 tại xo = 2 c) f(x) = sin x khi x 1 x 1 khi x 1 tại xo = 1 d) f(x) = 2 2 x 3x 2 khi x 1 x 1 x khi x 1 2 tại xo = 1 e) f(x) = 24 x khi x 2 x 2 1 2x khix 2 tại xo = 2 f) f(x) = 3 3 x khi x 0 2 x 1 1 khi x 0 1 x 1 tại xo = 0 g) f(x) = 3 2 1 cosx khi x 0 sin x 1 khi x 0 6 tại xo = 0 h) f(x) = 1 2x 3 khi x 2 2 x 1 khi x 2 tại xo = 2 3.Tìm a để các hàm số sau liên tục tại x0 a) f(x) = 1 xkhi a2x 1 x khi 1x2x3 2 tại x0 = 1 b) f(x) = 1 xkhi a 1 x khi 1x 3x2x 2 3 tại x0 = 1 c) f(x) = 1 cos4x khi x 0 x.sin 2x x a khi x 0 x 1 tại xo = 0 d) f(x) = 1 x 1 x khi x 0 x 4 x a khi x 0 x 2 tại xo = 0 4.Xét sự liên tục của các hàm số sau: a) f(x) = 2 xkhi x 1 2 x khi 7x3x 2 b) f(x) = 5 x khi 43x 5x2 khi 2x 32x 2 xkhi 4x 10x3x 2 2 5.Tìm a để các hàm số sau liên tục trên R a) f(x) = 3 3x 2 2 khi x 2 x 2 1 ax + khi x 2 4 b) f(x) = sin(x ) 3 khi x 1 2cos x 3 a khi x 3 5.Tìm a,b để hàm số sau liên tục trên R a) f(x) = 2 x khi xcos 2 x 2 khi basinx 2 x khi xsin2 b) f(x) = 3 xkhix 4 3x1 khi bax 1 x khi x 2 6. Chứng minh rằng các phương trình sau có nghiệm: a) x3 – 2x – 7 = 0 b) x5 + x3 – 1 = 0 c) x3 + x2 + x + 2/3 = 0 d) x3 – 6x2 + 9x – 10 = 0 e) x5 + 7x4 – 3x2 + x + 2 = 0 f) cosx – x + 1 = 0 7. Chứng minh rằng phương trình a) x3 – 3x2 + 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3) b) 2x3 – 6x + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 2;2) c) x3 + 3x2 – 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 3;1) d) x3 – 3x2 + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3) e) 2x2 + 3x – 4 = 0 có 2 nghiệm trong khoảng (– 3;1) f)* x5 – 5x4 + 4x – 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (0;5) 8. Cho 3 số a,b,c khác nhau .Chứng minh rằng phương trình (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0 Có 2 nghiệm phân biệt 9*.Cho f(x) = a
File đính kèm:
Bai_tap_ve_Gioi_han.pdf
