Bài tập về Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất có lời giải - Đoàn Thành Tấn

Bài 1: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau
y = x3-3x+1, x[0; 3] ; 2. y = x+
 3. y = sin2x-x, x; y = 
Giải:
 2. Cách 1 Xét hàm số y= x+, x [- ;] ta có 
PT y’=0
Khi đó . Vậy GTLN = x=, GTNN=-x=-.
Cách 2(Áp dụng BĐT Bunhia)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki với bộ số (1;1), (x, ) 
Vậy GTLN = x=, GTNN=-x=-.
3. Xét hàm số y=sin2x-x, x ta có y’=2cos2x-1
Phương trình y’=0 cos2x=1/2 .
Khi đó 
Vậy GTLN = x =.. , GTNN = x = 
4. TXĐ x>0
Đặt t = lg2x, t 0. Khi đó hàm số trở thành 
Ta có >0, t0.
Vậy GTNN = 1/2 t =0x= 1
Bài 2: 
1. Tìm m để phương trình (1) có nghiệm?
2. Tìm m để BPT nghiệm đúng với mọi x[-1/2;3]
Giải:
Đặt t =. Khi x[-2;4] thì t[0;3]. {Tìm bằng phương pháp lập BBT hoặc BĐT}
 Phương trình trở thành 8-t2 + 4t + m - 18=0t2- 4t = m-10 (2)
 Phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm t[0;3].
 Xét hàm số f(t) = t2- 4t , t[0;3] ta có BBT sau
t
	 0	2	 3	
f’(t)
 - 0	+
f(t)
	0 -3	
-4
Dựa vào BBT của hàm số ta thấy phương trình (2) có nghiệm t[0;3] -4 m-1006m10.
Vậy với m[6;10] thì phương trình (1) có nghiệm.
2. Làm tương tự
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 
Giải:
TXĐ: 
Xét 
Ta có ;
Max y = 4 khi x = 1;Min y = 2 khi 
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của Hàm số
Giải:
* TXĐ: D = 	 
* y’ = . y’ = 0 .	
* y(-3) = ; y(10) =  ; .	
* tại x = ; 
* tại x = -3 hoặc x = 10.
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .
Giải:
Suy ra tại ; tại 
Bài 6: Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá : f(x) =2cos 2x – 4cos x.
Giải:
f(x) = 4cos2x – 4cos x – 2 .
 Ñaët : t = cos x ; -1 £ t £ 1
 Ta ñöôïc haøm soá:f(t) = 4t2 – 4t – 2 vôùi -1£ t £ 1 .
 Keát quûa : max f(x) = 6 , min f(x) = 
Bài 7: Tìm giaù trò lôùn nhaát nhoû nhaát cuûa haøm soá y = treân ñoaïn [ ]
Giải:
Ta coù: y’ = = 
y’ = 0 cosx +1 = 0 => x =3 
suy ra : f(0) = 0 , f() = 0, f(3) =1 
Vaäy giaù trò beù nhaát cuûa haøm soá baèng 0 vaø giaù trò lôùn nhaát baèng 1 treân ñoaïn [ ]. 
Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0;2]
Giải:
Ta có ; 
. Từ đó 
Bài 9: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số : y = 
Giải:
Ta có : TXĐ: 
Bảng biến thiên : 
 x
 0 4 
 0 + 
y
 2ln2 - 2 
Vậy : 
Bài10 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số với x > 0 
Giải:
Với x > 0 . Áp dụng bất đẳng thức Côsi :
 . Dấu “=” xảy ra khi 
 . Vậy : 
Bài 11: Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá treân 
Giải:
Bài 12: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn . 
Giải:
Tính được H/số đồng biến trên đoạn 
+ 
+ tại x=1; tại 
Bài 13: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x – 2.lnx trên đoạn [1 ; e] 
Giải:
y = x – 2.lnx trên đoạn [1 ; e] ; y/ = 1 – ; y/ = 0 Û x = 2 Î [1 ; e]
+ y(1) = 1 ; y(e) = e -2 ; y(2) = 2 – 2ln2 
Bài 14: Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số: y = trên [0; 1]
Giải:
Xét trên [0;1]	hàm số xác định và liên tục.	 
Đặt g(x) = -x2 + x + 6 với x Î[0;1]. g'(x) = -2x +1
● g’(x) = 0 ó x = 	 
● g () = ; g(0) = 6; g(1) = 6	 
=> 6 £ g(x) £ ó 	 
Vậy 	miny = ; 	maxy = 	 
 [0;1]	[0;1]