Bài tập và phương pháp giải các bài tập về phương trình lượng giác

 * Việc giải PTLG là vấn đề thường gặp trong các đề thi đại học .Phương pháp thường sử dụng khi giải phương trình lượng giác là thực hiện một số phép biến đổi lượng giác thích hợp kể cả việc biến đổi đại số để đưa PTLG về dạng phương trình lượng giác cơ bản hay các phương trình lượng giác thường gặp hoặc đưa về dạng phương trình tích hoặc đặt ẩn phụ để đưa về phương trình đại số bậc hai,bậc ba;hoặc đôi khi còn phải sử dụng đến phương pháp đánh giá hai vế của phương trình. Để đạt được kết quả cao trong việc giải PTLG yêu cầu học sinh cần nắm vững các yêu cầu tối thiểu sau đây :
1)Học thuộc (hoặc thông qua suy luận) các công thức lượng giác,các cung, góc có liên quan đặc biệt,giá trị lượng giác của các cung(góc) đặc biệt. 
2)Cần nắm vững cách giải PTLG cơ bản và các trường hợp đặc biệt.Cách giải các phương trình lượng giác thường gặp .
3)Phải có thói quen là đề cập đến TXĐ của phương trình (lấy điều kiện) trước khi tiến hành phép biến đổi và đối chiếu điều kiện khi có kết quả.
* Tại sao đề cập đến việc biến đổi thích hợp:Vì các đồng nhất thức lượng giác thường rất đa dạng.Chẳng hạn :
-Nếu cần biến đổi cos2x thì tuỳ theo đầu bài ta sẽ sử dụng một trong các đồng nhất sau:
 Cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x -1 = 1-2sin2x.
Ví dụ : Giải phương trình :
 a) cos2x = sinx- cosx → biến đổi Cos2x = cos2x – sin2x
 b) cos2x = cosx → biến đổi Cos2x = 2cos2x -1 
 c) cos2x = sinx → biến đổi Cos2x = 1-2sin2x
-Nếu cần biến đổi cos4x-sin4x thì tuỳ theo đầu bài ta sẽ sử dụng một trong các đồng nhất sau:
 cos4 x-sin4x = cos2x – sin2x = Cos2x = 2cos2x -1 = 1-2sin2x.
*Cần chú ý đến các đồng nhất lượng giác thường gặp khi giải toán như:
 1 sin2x = (sinx cosx)2
 Cos3x.sin3x+sin3x.cos3x = sin4x
*Cần chú ý đến các số hạng có chứa thừa số (cosx+sinx) là: cos2x ; cos3x+sin3x ;
 Cos4x-sin4x ; cos3x-sin3x ; 1+tanx ; cotx-tanx ;.Tương tự đối với các số hạng có chứa thừ số cosx-sinx.
 *Các phép biến đổi lượng giác thường được tiến hành theo các hướng sau:
 +Hạ bậc phương trình(nếu có).
 +Đưa về cùng cung:
 -Nếu cùng hàm và cùng cung thì tiến hành đặt ẩn phụ.
 -Nếu cùng cung nhưng còn hai hàm sin và côsin thì thường biến đổi về ph. trình tích
 (Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử như: đặt nhân tử chung,dùng hằng đẳng thức,nhóm hạng tử,nghiệm tam thức bậc hai)
 -Nếu cùng cung và còn hai hàm sin ; côsin với bậc các hạng tử hơn,kém nhau 2n (với n là số tự nhiên) thì ta có thể chia hai vế của phương trình cho coskx hoặc sinkx (k là bậc lớn nhất trong phương trình) để đưa phương trình đã cho về dạng còn chứa duy nhất hàm tang hoặc côtang của một cung rồi tiến hành đặt ẩn phụ. 
 *Khi đánh giá hai vế của phương trình thì các bất đẳng thức thường được dùng để ước lượng như: ; ; ; 
 (với )
-Đối với phương trình sinaxsinbx = (dấu lấy tương ứng)
Tương tự đối với các phương trình : cosaxcosbx = ; sinaxcosbx =
*Đôi lúc giải PTLG ta còn dùng phép đổi biến cho phần cung lượng giác .Chẳng hạn với phương trình : (bài tập 19 d)
 Ta có thể đặt t = x + 
Khi đó ta được phương trình : sin3t = sin2t.sint :phương trình này ta có thể thực hiện nhiều cách giải dễ dàng.
* Chú ý: Đối với các công thức sinx cosx = ; các công thức nhân ba ; công thức hạ bậc theo tang của cung chia đôi khi dùng phải chứng minh .
BÀI TẬP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 01 :Giải các phương trình sau:
 a) 	; b) 
 c) 	; d) 
 e) 	; g) 
Bài 02 :Giải các phương trình sau:
 a) sinx.sin2x + sin3x = 6cos3x	; b) 
 c) ; d) 3tanx - 2sin2x = 1
 e) 	; g) 
Bài 03 :Giải các phương trình sau:
 a) 	; b) 
 c) ; d) 
 e) 	; g) tan3x – tanx + 4sinx.cosx = 0
Bài 04 :Giải các phương trình sau:
 a) 	; b) 
 c) 	; d) 
 e) ; g) sinx + cosx = 
Bài 05 :Giải các phương trình sau:
 a) ; b) 
 c) 	; d) 
 e) 	; g) 
Bài 06 :Giải các phương trình sau:
 a) ; d) 
 b) ; e) 
 c) 	 ; g) 
Bài 07:Tìm nghiệm của phương trình trong khoảng đã chỉ ra :
 a) ; với x.
 b) ; với x.
 c) 	 ; với x.
 d) 	 ; với x.
e) 	 ; với x. (khối A-2002)
g) cos3x-4cos2x+3cosx-4=0 ; với x . (khối D-2002)
Bài 08:Giải các phương trình sau :
 a) sin4x – cos3x = (sin3x + cos4x) ; b) 
 c) sin3x(cosx-2sin3x) + cos3x(1+sinx-2cos3x) = 0 ; d) 
 e) ; g) 
Bài 09:Giải các phương trình sau :
 a) 1+sin2x+cos2x+sin4x+cos4x = 0 .	 ; b) 
 c) 4cosx-2cos2x-cos4x = 1	 ; d) 
 e) 1+cosx+cos2x+cos3x = 0 ; g) (k.B-2002)
Bài 10:Giải các phương trình sau :
 a) 	 ; b) 
 c) 	 ; d) sin2x-cos2x = 3sinx+cosx-2 
 e) 2sin2x-cos2x = 7sinx+2cosx-4 ; g) sin2x+2tanx = 3
Bài 11:Giải các phương trình sau :
 a) ; b) 
 c) ; d) 
 e) ; g) 
Bài 12:Giải các phương trình sau :
 a) 	; b) 
c) ; d) 
e) ; g) 
Bài 13:Giải các phương trình sau :
a) ; b) 
c) ; d) 
e) ; g) cos3x-cos2x = sin3x .
Bài 14:Giải các phương trình sau :
a) 	; b) 
c) 	; d) 	
e) 	; g) 	
Bài 15:Giải các phương trình sau :
a) 	; b) 	
c) 	; d) 	
e) 	; g) 	
Bài 16:Giải các phương trình sau :
a) 	 ; b) 
c) 	; d) 
e) 	 	; g) 
Bài 17:Giải các phương trình sau :
a) ; b) 
c) 	 ; d) . 
e) ; g) 	 
Bài 18:Giải các phương trình sau :
a) 3(tanx+cotx) = 2(2+sin2x) ; b) 
c) 	 ; d) 
e) ; g) 
Bài 19:Giải các phương trình sau :
a) ; b) 
c) ; d) 
e) cos2x+5=2(2-cosx)(sinx-cosx) ; g) tan2x+sin2x = 3/2.cotx
Bài 20:Giải các phương trình sau :
a) 	; b) 
c) 	 ; d) 
e) h) ; g) 
Bài 21:Giải các phương trình sau :
a) 	; b) 
c) 	; c) 
e) 	; g) .
Bài 22:Giải các phương trình sau :
a) 	; b) 
c) 	 ; d) 
e) 	 ; g) 
Bài 23:Giải các phương trình sau :
a) 	 ; b) 
c) 	 ; d) 
e) 	; g) .
 CÁC BÀI TẬP : 24 ; 25 ; 26 ; 27 ; 28 TƯƠNG TỰ CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2002-2008
 Học sinh cần giải kỹ các bài này trước khi giải các đề thi đại học
Bài 24:Giải các phương trình sau :
a) 	; b) 
c) 	; d) 
e) ; g) 
Bài 25:Giải các phương trình sau :
a) 
b) 
c) 
d) 
Bài 26:Giải các phương trình sau :
a) ; b) 
 c) ; d) 
Bài 27 : Giải các phương trình :
a) ; b) 
c) ; d) 
e) ; g) 
Bài 28 : Giải các phương trình :
 a) ; b) 
 c) ; d) 
 e) 
 f) 
Bài 29:Giải các phương trình sau :
 a) (KA-2003) 
 b) (KB-2003) 
 c) (KD-2003) 
 d) (KB-2004) 
 e)(KD-2004) 
 f) (KA-2004) Cho không tù thoả điều kiện : .
 Tính ba góc của . 
Bài 30:Giải các phương trình sau :
 a) (KA-2005) 
 b) (KB-2005) 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0 
 c) (KD-2005) 
 d) (KA-2006) 
 e) (KB-2006) 
 f) (KD-2006) cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0
Bài 31:Giải các phương trình sau :
 a) (KA-2007) 
 b) (KB-2007) 
 c) (KD-2007) 
 d) (KA-2008) 
 e) (KB-2008) 
 f) (KD-2008) 
 các đề thi đại học dự bị 
Bài 32:Giải các phương trình sau :
 a) (K.A-2006) 
 b) (K.B-2007) 
 c) (K.B-2007) 
 d) (K.A-2007) 	
 e) (K.A-2007) 
Bài 32:Giải các phương trình sau :( ĐỀ THI ĐẠI HỌC SÀI GÒN )
 a) (K.A-2007) 
 b) (K.B-2007) 
 c) (K.D-2007) 
Bài 33:Giải các phương trình sau : (ĐỀ THI THỬ)
(Tỉnh Hải Dương) 
(Đại học Vinh –khối chuyên toán) 
(Thử sức trước kỳ thi) 
 CÁC ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC NĂM 2007-2008
Bài 34: Giải các phương trình sau :
1) 	 ; 2) 
3) ; 4) 
5) ; 6) 
7) ; 8) 
9) ; 10) 
 11) ; 12) 
 13) ; 14) = 0
 15) ; 16) 
 17) ; 18) 
 19) ; 20) 
 21) ; 22) 
 23) ; 24)
 25) 
 -------------------------------*0*---------------------------------