Bài tập và lý thuyết phương trình lượng giác cơ bản

pi
6
+ k2pi, k ∈ Z.
Vậy ph−ơng trình có các họ nghiệm x = kpi, x = ±pi
6
+ k2pi, x = ±5pi
6
+ k2pi, k ∈ Z.
(3). Ta có (3)⇐⇒ 2 tanx
1− tan2 x − 3 tanx = 0⇐⇒ 3 tan
3 x− tan x = 0.
Đặt t = tanx, t ∈ R lúc đó ph−ơng trình đ−ợc viết lại
3t3 − t = 0⇐⇒ t = 0 ∨ t = 1√
3
∨ t = − 1√
3
+ Với t = 0⇐⇒ tan x = 0⇐⇒ x = kpi, k ∈ Z.
+ Với t =
1√
3
⇐⇒ tan x = 1√
3
⇐⇒ x = pi
6
+ kpi, k ∈ Z.
+ Với t = − 1√
3
⇐⇒ tan x = − 1√
3
⇐⇒ x = −pi
6
+ kpi, k ∈ Z.
Vậy ph−ơng trình có các họ nghiệm x = kpi, x =
pi
6
+ kpi, x = −pi
6
+ kpi, k ∈ Z.
(4). Ta có cos 2x = 2 cos2 x− 1
cos 4x = 2 cos2 2x− 1 = 2(2 cos2 x− 1)2 − 1 = 8 cos4 x− 8 cos2 x+ 1
Do vậy, Đặt t = cos x, |t| 6 1 lúc đó ph−ơng trình đ−ợc viết lại
8t4 − 8t2 + 1− 4(2t2 − 1) + 9t− 6 = 0⇐⇒ 8t4 − 16t2 + 9t− 1 = 0
⇐⇒ (t− 1)(8t3 + 8t2 − 8t+ 1) = 0
⇐⇒ (t− 1)(2t− 1)(4t2 + 6t− 1) = 0
⇐⇒ t = 1 ∨ t = 1
2
∨ t = −3±
√
13
4
+ Với t = 1⇐⇒ cosx = 1⇐⇒ x = k2pi, k ∈ Z.
+ Với t =
1
2
⇐⇒ cosx = 1
2
⇐⇒ x = pi
3
+ k2pi, k ∈ Z.
+ Với t =
−3 +√13
4
= cosα⇐⇒ x = ±α+ k2pi, k ∈ Z.
+ Với t =
−3−√13
4
< −1, loại theo điều kiện.
(4). Phần bài tập tự giải:
Bài 3: Giải các ph−ơng trình sau:
(1). 2 sin2 x− 3 sin x+ 1 = 0 (2). cos2 x
2
− 2 sin x
2
+ 2 = 0
(3). sin2 x+ 2 cosx− 1 = 0 (4). 2 cotx+ tan x+ 1 = 0
Bài 4: Giải các ph−ơng trình sau:
(1). cos 2x− 2 sin x+ 3 = 0 (2). cos 3x+ 2 cosx = 0
(3). cot 2x− 3 tanx = 0 (4). cos 3x− cos 2x− cosx+ 1 = 0
9
Đ3 ph−ơng trình nhất đối với SIN và cos
(1). Kiến thức bổ sung:
(1.1) Công thức cộng cung:
cos(a− b) = cos a. cos b+ sin a. sin b
cos(a+ b) = cos a. cos b− sin a. sin b
sin(a− b) = sin a. cos b− cos a. sin b
sin(a+ b) = sin a. cos b+ cos a. sin b
(1.2) Công thức biến đổi biểu thức T = p cosx+ q sin x:
Ta có
T = p cosx+ q sin x =
√
p2 + q2
[
p√
p2 + q2
cosx+
q√
p2 + q2
sin x
]
Để ý rằng [
p√
p2 + q2
]2
+
[
q√
p2 + q2
]2
= 1
nên nếu đặt
cosα =
p√
p2 + q2
; sinα =
q√
p2 + q2
, α ∈ [−pi
2
;
pi
2
]
thì biểu thức đã cho có thể viết lại
T =
√
p2 + q2 [cosα cosx+ sinα sin x] =
√
p2 + q2 cos(x− α)
Đặc biệt lần l−ợt cho p, q nhận các giá trị 1,−1 ta đ−ợc các công thức sau
cosx+ sinx =
√
2 cos(x− pi
4
)
cosx− sin x = √2 cos(x+ pi
4
)
sin x− cosx = −√2 cos(x+ pi
4
) =
√
2 sin(x− pi
4
)
(2). Ph−ơng trình bậc nhất đối với sin và cos có dạng với pq 6= 0
p sin x+ q cosx+m = 0
Theo biến đổi nh− trên ta đ−a ph−ơng trình về dạng
√
p2 + q2 cos(x− α) +m = 0⇐⇒ cos(x− α) = −m√
p2 + q2
Đây là ph−ơng trình cơ bản đã biết cách giải. Từ đây chúng ta thấy để ph−ơng trình đã cho có
nghiệm thì điều kiện cho các hệ số là −1 ≤ −m√
p2 + q2
≤ 1⇐⇒ m2 ≤ p2 + q2.
10
(3). Phần giải bài tập:
Bài 1: Giải các ph−ơng trình sau:
(1). sin x+ cosx− 1 = 0 (2). √3 cos x− sin x− 2 = 0
(3). sin 2x−√3 cos 2x+ 2 = 0 (4). sin 2x+√3 cos 2x+ 1 = 0
Bài giải:
(1). Ta có (1)⇐⇒
√
2
2
sinx+
√
2
2
cosx =
√
2
2
⇐⇒ cos(x− pi
4
) =
√
2
2
⇐⇒ cos(x− pi
4
) = cos
pi
4
⇐⇒ x− pi
4
= ±pi
4
+ k2pi
⇐⇒ x = k2pi ∨ x = pi
2
+ k2pi, k ∈ Z.
Vậy ph−ơng trình (1) có các họ nghiệm x = k2pi, x =
pi
2
+ k2pi, k ∈ Z.
(2). Ta có (1)⇐⇒
√
3
2
cosx− 1
2
sin x = 1⇐⇒ cos(x+ pi
6
) = 1
⇐⇒ x+ pi
6
= k2pi
⇐⇒ x = −pi
6
+ k2pi, k ∈ Z
Vậy ph−ơng trình (2) có họ nghiệm x = −pi
6
+ k2pi, k ∈ Z.
(3). Ta có (3)⇐⇒ √3 cos 2x− sin 2x− 2 = 0
⇐⇒
√
3
2
cos 2x− 1
2
sin 2x = 1
⇐⇒ cos(2x+ pi
6
) = 1
⇐⇒ 2x+ pi
6
= k2pi
⇐⇒ x = − pi
12
+ kpi, k ∈ Z
Vậy ph−ơng trình có một họ nghiệm x = − pi
12
+ kpi, k ∈ Z
(4). Ta có (4)⇐⇒ 1
2
sin 2x−
√
3
2
cos 2x = −
√
2
2
⇐⇒
√
3
2
cos 2x− 1
2
sin 2x =
√
2
2
⇐⇒ cos(2x+ pi
6
) =
√
2
2
⇐⇒ 2x+ pi
6
= ±pi
4
+ k2pi
⇐⇒ x = pi
24
+ kpi ∨ x = −5pi
24
+ kpi, k ∈ Z
Vậy ph−ơng trình có các họ nghiệm x =
pi
24
+ kpi, x =
−5pi
24
+ kpi, k ∈ Z
Bài 2: Giải các ph−ơng trình sau:
(1). 2 sin2 x+ sinx cosx− 3 cos2 x = 0 (2). 3 sin2 x− 4 sin x cosx+ 5 cos2 x = 2
11
(3). 2 cos2 x− 3√3 sin 2x− 4 sin2 x = −4 (4). cos2 x+ sin 2x+ 1 = 0
Bài giải:
(1). Ta có (1)⇐⇒ 2(1− cos 2x)
2
+
1
2
sin 2x− 3(1 + cos 2x)
2
= 0
⇐⇒ 5 cos 2x− sin 2x+ 1 = 0
⇐⇒ 5√
26
cos 2x− 1√
26
sin 2x =
1√
26
⇐⇒ cosα cos 2x+ sinα sin 2x = sinα (Đặt cosα = 5√
26
; sinα =
1√
26
)
⇐⇒ cos(2x− α) = cos(pi
2
− α)
⇐⇒ 2x− α = pi
2
− α+ k2pi ∨ 2x− α = α− pi
2
+ k2pi
⇐⇒ x = pi
4
+ kpi ∨ x = α
2
− pi
4
+ kpi
Vậy ph−ơng trình có các họ nghiệm x =
pi
4
+ kpi, x =
α
2
− pi
4
+ kpi, k ∈ Z
(2). Ta có (2)⇐⇒ 3(1− cos 2x)
2
− 2 sin 2x+ 5(1 + cos 2x)
2
= 2
⇐⇒ 2 cos 2x− 4 sin 2x+ 4 = 0
⇐⇒ 1√
5
cos 2x− 2√
5
sin 2x = − 2√
5
⇐⇒ cosα cos 2x+ sinα sin 2x = sinα (Đặt cosα = 1√
5
; sinα = − 2√
5
)
⇐⇒ cos(2x− α) = cos(pi
2
− α)
⇐⇒ 2x− α = pi
2
− α+ k2pi ∨ 2x− α = α− pi
2
+ k2pi
⇐⇒ x = pi
4
+ kpi ∨ x = α
2
− pi
4
+ kpi
Vậy ph−ơng trình có các họ nghiệm x =
pi
4
+ kpi, x =
α
2
− pi
4
+ kpi, k ∈ Z
(3). Ta có (3)⇐⇒ 2(1 + cos 2x)
2
− 3
√
3 sin 2x− 4(1− cos 2x)
2
= −4
⇐⇒ cos 2x−√3 sin 2x = −1
⇐⇒ 1
2
cos 2x−
√
3
2
sin 2x = −1
2
⇐⇒ cos(2x+ pi
3
) = cos
2pi
3
⇐⇒ 2x+ pi
3
=
2pi
3
+ k2pi ∨ 2x+ pi
3
=
pi
3
+ k2pi
⇐⇒ x = pi
6
+ kpi ∨ x = kpi
Vậy ph−ơng trình có các họ nghiệm x =
pi
6
+ kpi, x = kpi, k ∈ Z
(4). Ta có (4)⇐⇒ (1 + cos 2x)
2
+ sin 2x+ 1 = 0
⇐⇒ cos 2x+ 2 sin 2x+ 3 = 0
Ta nhận thấy 22 + 12 < 32 do vậy ph−ơng trình này vô nghiệm.
(4). Phần bài tập tự giải:
12
Bài 3: Giải các ph−ơng trình sau:
(1). sin 3x− cos 3x+ 1 = 0 (2). √3 cos x
2
− sin x
2
+ 2 = 0
(3). sin
x
2
+
√
3 cos
x
2
+ 2 = 0 (4). 3 sin 2x+ 4 cos 2x− 5 = 0
Bài 4: Giải các ph−ơng trình sau:
(1). 2 cos2 x+ sinx cosx− 3 sin2 x = 0 (2). 4 sin x cosx+ 5 sin2 x− 9
2
= 0
(3). 2 cos2 x− 3√3 sin 2x− 4 = 0 (4). √3 cos2 x−√2 sin 2x+ 1 = 0
13
Đ4 ph−ơng trình đối xứng đối với SIN và cos
(1). Kiến thức bổ sung:
(1.1) Cho hai số a, b bất kỳ, ta nói S = a+ b và P = ab là các hệ thức đối xứng sơ cấp của hai
số đã cho. Bây giờ chúng ta để ý rằng
a2 + b2 = (a+ b)2 − 2ab = S2 − 2P
a3 + b3 = (a+ b)3 − 3ab(a+ b) = S3 − 3PS
a4 + b4 = (a+ b)4 − 4ab(a2 + b2)− 6a2b2 = S4 − 4PS2 + 2P 2
(1.2) Trong các đẳng thức trên nêu chúng ta thế a = sinx, b = cos x và đặt t = sinx + cosx
đồng thời để ý rằng sin2 x+ cos2 x = 1 chúng ta sẽ có các đẳng thức d−ới đây
(1). sin x cosx =
t2 − 1
2
(2). sin2 x cos2 x =
t4 − 2t2 + 1
4
(3). sin3 x+ cos3 x =
−t3 + 3t
2
(4). sin4 x+ cos4 x =
−t4 + 2t2 + 1
2
(2). Các dạng ph−ơng trình đối xứng với sin và cos:
(2.1) Ph−ơng trình dạng a(sinx+ cosx) + b sin x cosx+ c = 0
Đặt t = sinx+ cosx điều kiện −√2 ≤ t ≤ √2 lúc đó ph−ơng trình đ−ợc viết lại d−ới dạng
at+ b
t2 − 1
2
+ c = 0⇐⇒ bt2 + 2at+ (2c− b) = 0
Giải ph−ơng trình này với điều kiện của t ở trên, rồi giải các ph−ơng trình cơ bản đã biết.
(2.2) Ph−ơng trình dạng a(sinx− cosx) + b sin x cosx+ c = 0
Đặt t = sinx− cosx điều kiện −√2 ≤ t ≤ √2 lúc đó ph−ơng trình đ−ợc viết lại d−ới dạng
at+ b
1− t2
2
+ c = 0⇐⇒ bt2 − 2at− (2c+ b) = 0
Giải ph−ơng trình này với điều kiện của t ở trên, rồi giải các ph−ơng trình cơ bản đã biết.
(2.3) Ph−ơng trình dạng a(sin3 x+ cos3 x) + b sin x cosx+ c = 0
Đặt t = sinx+ cosx điều kiện −√2 ≤ t ≤ √2 lúc đó ph−ơng trình đ−ợc viết lại d−ới dạng
a
−t3 + 3t
2
+ b
t2 − 1
2
+ c = 0⇐⇒ at3 + bt2 − 3at+ b− 2c = 0
Giải ph−ơng trình này với điều kiện của t ở trên, rồi giải các ph−ơng trình cơ bản đã biết.
(2.4) Ph−ơng trình dạng a(sin4 x+ cos4 x) + b sin x cosx+ c = 0
14
Đặt t = sinx+ cosx điều kiện −√2 ≤ t ≤ √2 lúc đó ph−ơng trình đ−ợc viết lại d−ới dạng
a
−t4 + 2t2 + 1
2
+ b
t2 − 1
2
+ c = 0⇐⇒ at4 − (2a+ b)t2 + b− a− 2c = 0
Giải ph−ơng trình này với điều kiện của t ở trên, rồi giải các ph−ơng trình cơ bản đã biết.
(2.5) Ph−ơng trình dạng
a(sin4 x+ cos4 x) + b(sin3 x+ cos3 x) + c(sinx+ cosx) + d sin x cosx+ e = 0
Đặt t = sinx+ cosx điều kiện −√2 ≤ t ≤ √2 lúc đó ph−ơng trình đ−ợc viết lại d−ới dạng
a
−t4 + 2t2 + 1
2
+ b
−t3 + 3t
2
+ ct+ d
t2 − 1
2
+ e = 0
⇐⇒ at4 + bt3 − (2a+ d)t2 − (3b+ 2c)t− (a− d+ 2e) = 0
Giải ph−ơng trình này với điều kiện của t ở trên, rồi giải các ph−ơng trình cơ bản đã biết.
Trong tài liệu nhỏ này chúng ta chỉ thực sự quan tâm đến nhiều về các ph−ơng trình dạng 2.1 và
2.2 còn các dạng khác chỉ mang tính chất tham khảo và dành cho các học sinh khá giỏi.
(3). Phần giải bài tập:
Bài 1: Giải các ph−ơng trình sau:
(1). sin x+ cosx− sinx cosx− 1 = 0 (2). sin 2x− 2(sinx+ cosx) + 1 = 0
(3). 12(sin x− cosx)− 2 sin x. cosx = 12 (4).
(4). (2 +
√
2)(sin x+ cosx)− 2 sin x. cosx = 2√2 + 1
Bài giải:
(1). Đặt t = sinx+ cosx điều kiện −√2 ≤ t ≤ √2 lúc đó ph−ơng trình đ−ợc viết lại d−ới dạng
t− t
2 − 1
2
− 1 = 0⇐⇒ t2 − 2t+ 1 = 0⇐⇒ t = 1
Với t = 1 ta có ph−ơng trình
√
2 cos(x− pi
4
) = 1⇐⇒ cos(x− pi
4
) = cos
pi
4
⇐⇒ x = pi
2
+ k2pi ∨ x = k2pi, k ∈ Z
Vậy ph−ơng trình đã cho có hai họ nghiệm.
(2). Đặt t = sinx+ cosx điều kiện −√2 ≤ t ≤ √2 lúc đó ph−ơng trình đ−ợc viết lại d−ới dạng
t2 − 1− 2t+ 1 = 0⇐⇒ t2 − 2t = 0⇐⇒ t = 0 ∨ t = 2
Với t = 2 loại theo điều kiện trên.
Với t = 0 ta có ph−ơng trình
√
2 cos(x− pi
4
) = 0⇐⇒ x− pi
4
=
pi
2
+ k2pi ⇐⇒ x = 3pi
4
+ k2pi
15
Vậy ph−ơng trình đã cho có một họ nghiệm x =
3pi
4
+ k2pi, k ∈ Z.
(3). Đặt t = sinx− cosx điều kiện −√2 ≤ t ≤ √2 lúc đó ph−ơng trình đ−ợc viết lại d−ới dạng
12t+ t2 − 1 = 12⇐⇒ t2 + 12t− 13 = 0⇐⇒ t = 1 ∨ t = −13
Với t = −13 loại theo điều kiện.
Với t = 1 ta có ph−ơng trình
√
2 sin(x− pi
4
) = 1⇐⇒ sin(x− pi
4
) = sin
pi
4
⇐⇒ x = pi
2
+ k2pi ∨ x = pi + k2pi, k ∈ Z
Vậy ph−ơng trình đã cho có hai họ nghiệm.
(4). Đặt t = sinx+ cosx điều kiện −√2 ≤ t ≤ √2 lúc đó ph−ơng trình đ−ợc viết lại d−ới dạng
(2 +
√
2)t− t2 + 1− 2
√
2− 1 = 0⇐⇒ t2 − (2 +
√
2)t+ 2
√
2 = 0⇐⇒ t = 2 ∨ t =
√
2
Với t = 2 loại theo điều kiện.
Với t =
√
2 ta có ph−ơng trình
√
2 cos(x− pi
4
) =
√
2⇐⇒ x− pi
4
= k2pi ⇐⇒ x = pi
4
+ k2pi
Vậy ph−ơng trình đã cho có một họ nghiệm.
Bài 2: Giải các ph−ơng trình sa