Bài tập và lý thuyết các Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán

 cấp số cộng. 
 20
Bài 9. Tính đơn điệu và cực trị 
Một số kiến thức cần nắm vững: 
1. Tính đơn điệu của hàm số: 
Hàm số y = f(x) ĐB/(a; b)  f’(x)  0 x  (a; b). 
Hàm số y = f(x) NB/(a; b)  f’(x)  0 x  (a; b). 
Chú ý: 
Cho tam thức bậc 2: f(x) = ax2 + bx + c (a  0). 
+ f(x)  0 x  
0
0
a 

 
; f(x) 0 x  
0
0
a 

 
f(x) có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: 
+   x1 < x2  
0
( ) 0
2
af
S



 



 

+ x1 < x2    
0
( ) 0
2
af
S



 



 

2. Cực trị của hàm số. 
Cần nắm vững hai quy tắc để tìm cực trị. 
* Cho hàm số y = f(x). 
+ Hàm số đạt cực đại tại x = x0  0
0
'( ) 0
''( ) 0
f x
f x



. 
+ Hàm số đạt cực tiểu tại x = x0  0
0
'( ) 0
''( ) 0
f x
f x



. 
* Đối với hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d. 
+ Hàm số có cực trị  y’ = 0 có 2 nghiệm phân 
biệt. Khi đó hàm số có một CT và một CĐ. 
+ Khi chia y cho y’ ta được: y = y’.g(x) + r(x). 
Nếu x0 là điểm cực trị thì yCT = r(x0)  y = r(x) 
chính là đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị. 
* Đối với hàm số y = ax4 + bx2 + c: 
+ Hàm số luôn có một điểm cực trị nằm trên trục 
tung. 
+ Vì y’ = 2x(2ax2 + b) nên hàm số có 3 cực trị  
phương trình 2ax2 + b = 0 có 2 nghiệm phân biệt 
khác 0. 
+ Do tính chất đối xứng nên nếu hàm số có 3 cực 
trị thì luôn có 2 cực trị đối xứng nhau qua trục Oy. 
* Đối với hàm số 
2
' '
ax bx cy
a x b
 


: 
+ Hàm số có cực trị  y’ = 0 có 2 nghiệm phân 
biệt  '
'
b
a
 . Khi đó hàm số có một CT và một CĐ. 
+ Hàm số có 2 cực trị trái dấu  
' 0
0
 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt
 v« nghiÖm
y
y



+ Hàm số có 2 cực trị cùng dấu  
' 0
0
 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt
 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt
y
y



+ Nếu hàm số đạt cực trị tại x0 thì y(x0) = 0
2
'
ax b
a
 . 
+ Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là 
2
' '
a by x
a a
  . 
Một số ví dụ : 
* Các ví dụ về tính đơn điệu của hàm số: 
Ví dụ 1. Cho hàm số y = x3 - 3x2 + mx + 1. 
1) Tìm m để hàm số ĐB trên R. 
2) Tìm m để hàm số ĐB với x > 1. 
HD: 
1) ĐK  y’  0 với x  g(x) = 3x2 - 6x + m  0 
với x  ’  0  9 - 3m  0  m  3. 
2) ĐK  y’  0 với x > 1. Xét 2 trường hợp: 
+ TH1: ’  0  m  3  y’  0 x  y’  0 với 
x > 1. 
+ TH2: ’>0 thì y’  0 với x > 1  g(x) có 2 
nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 < x2  1. 
ĐS: m  3. 
Cách 2: Dùng PP hàm số. 
Ví dụ 2. Tìm m để hàm số y = 
2 25 6
3
x x m
x
  

ĐB trên khoảng (1; +). 
HD: Hàm số xác định với x(1; +). 
2 2
2
6 9'
( 3)
x x my
x
  


. 
ĐK  y’  0 với x > 1  g(x) = x2 + 6x + 9 - m2 
 0 với x > 1  m2  x2 + 6x + 9 x > 1  m2  
mint(x) = x2 + 6x + 9 x > 1. 
ĐS: -4  m  4. 
Ví dụ 3. Tìm m để hàm số 
2 22 3
2
x mx my
x m
 


đồng biến trên khoảng (1; +). 
HD: Hàm số xác định với x > 1  2m  1  m 
 1/2. 
2 2
2
4'
( 2 )
x mx my
x m
 


. 
ĐK  y’  0 với x > 1  g(x) = x2 - 4mx + m2  
0 với x > 1. Xét 2 trường hợp: 
+ TH1: ’  0  m = 0. 
+ TH2: ’>0  m < 2 - 3 . 
* Các ví dụ về cực trị của hàm số: 
 21
Dạng 1. Tìm m để hàm số có cực trị: 
Bài 1. Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 3(2m - 1)x + 1. 
Tìm m để hàm số có CĐ và CT. 
HD: y’ = 3x2 - 6x + 3(2m - 1). 
ĐK  y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt  y’ > 0  
m > -1. 
Bài 2. Cho hàm số: 
 y = 3 2 21 ( 2) (5 4) 1
3
x m x m x m      
Tìm m để hàm số có CĐ, CT và x1 < -1 <x2. 
HD: ĐK  1.f’(-1) < 0  m < -3. 
Bài 3. Cho hàm số: 
3 2 2 21 ( 2) (3 1) 5
3
y x m m x m x       
Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = -2. 
HD: ĐK  
'( 2) 0
''( 2) 0
y
y
 

 
. ĐS: m = 3. 
Bài 4. Cho hàm số 3 21 1
3
y x mx x m     . 
Tìm m để hàm số có CĐ, CT và khoảng cách giữa 
chúng là nhỏ nhất. 
HD: y’ = x2 -2mx - 1, y’ = 0  x2 -2mx - 1 = 0 (1). 
Có = m2 + 1 > 0 m  hàm số luôn có CĐ và 
CT. 
Chia y cho y’ ta được: 
21 2 2'. ( ) ( 1) ( 1)
3 3 3
y y x m m x m      . 
Gọi 2 điểm cực trị là: A(x1; y1), B(x2; y2) với x1, x2 
là nghiệm của (1) thì: 
y1 = 2 1
2 2( 1) ( 1)
3 3
m x m    ; 
y2 = 2 2
2 2( 1) ( 1)
3 3
m x m    ; 
AB2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 = (4m2 + 4)[1+ 
2 24 ( 1)
9
m  ]  4 524(1 )
9 9
  . 
 AB  2 13
3
; AB min  m = 0. 
Dạng 2. Biểu thức đối xứng của cực trị: 
Bài 5. Tìm m để hàm số y = 
2 3
4
x x m
x
  

 có CĐ, 
CT và 4CD CTy y  . 
HD: y’ = 
2
2
8 12
( 4)
x x m
x
   

HS có CĐ và CT  y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt 
khác 4  
4 0
4.
16 32 12 0
m
m
m
   
 
    
Gọi (x1; y1), (x2; y2) là các điểm cực trị thì: 
y1 = -2x1 +3, y2 = -2x2 + 3. 
2
1 2 1 2 1 2 1 24 2 4 ( ) 4 4y y x x x x x x         
 m = 3. 
Bài 6. Tìm m để hàm số y = 
22 3 2
2
x x m
x
  

 có 
CĐ, CT và 12CD CTy y  . 
ĐS: m  90;
2
 
 
 
. 
Bài 7. Tìm m để hàm số : 
y = 
2 2( 1) 4 2
1
x m m m
x
    

có CĐ, CT và yCĐ.yCT là nhỏ nhất. 
ĐS: yCĐ.yCT nhỏ nhất = -4/5 khi m = 7/5. 
Bài 8. CMR hàm số y = 
2
1
x mx m
x
 

 luôn có CĐ, 
CT và khoảng cách giữa chúng không đổi. 
Dạng 3. Vị trí của CĐ và CT trong mặt phẳng 
Oxy. 
Bài 9. Cho hàm số 
2 23 4 1
1
mx mx m my
x
   


. 
Tìm m để hàm số có CĐ, CT nằm về hai phía của 
trục Ox. 
HD: 
2
2
2 5 1'
( 1)
mx mx my
x
  


; 
ĐK  
' 0
0
 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt
 v« nghiÖm
y
y



ĐS: 0 < m < 4. 
Bài 10. Tìm m để hàm số y = 
2 ( 1) 1x m x m
x m
   

có 2 cực trị cùng phía. 
ĐK  
' 0
0
 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt
 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt
y
y



. 
Bài 11. Cho hs: 
2 2 3( 1) 4mx m x m my
x m
   


. 
Tìm m để hàm số có CĐ, CT nằm ở góc phần tư 
thứ II và thứ IV. 
HD: 
ĐK  
0
' 0
0
 cã 2 nghiÖm tr¸ i dÊu
 v« nghiÖm
m
y
y



 
.ĐS: 1
5
m . 
Các bài tập tự luyện: 
Bài 1: Cho hàm số )1(
1
222



x
mxxy 
Tìm m để hàm số (1) có 2 điểm cực trị A, B. CMR 
khi đó đường thẳng AB song song với đường thẳng 
2x - y -10 = 0. 
Bài 2: Cho hàm số )1(3)( 3 xmxy  
 22
Tìm m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm có 
hoành độ x = 0. 
Bài 3: Cho hàm số )1(312
22
mx
mmxxy


 
Tìm m để hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía 
của trục tung. 
Bài 4: Cho hàm số )1(12 224  xmxy 
Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có 3 điểm cực trị là 
3 đỉnh của một tam giác vuông. 
Bài 5: Cho hàm số )1(
1
1)1(2



x
mxmxy 
CMR với m bất kỳ đồ thị ( Cm ) luôn luôn có điểm 
cực trị và khoảng cách giữa 2 điểm đó bằng 20 . 
Bài 6: Cho hàm số: 
)1(
)(2
4)12( 22
mx
mmxmxy


 
Tìm m để hàm số có cực trị và tính khoảng cách 
giữa hai điểm cực trị của đồ thị của hàm số. 
Bài 7: Cho hàm số 
2 (5 2) 2 1 (1)
1
x m x my
x
   


Tìm m để hàm số có cực trị và khoảng cách giữa 
điểm CĐ,CT nhỏ hơn 2 5 . 
Bài 8: Cho hàm số )1(12 224  xmxy . 
1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số khi 
m=1 
2) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có 3 điểm cực 
trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân. 
Bài 9: Cho hàm số y=
2 3( 1) 1
2
x m x m
x
   

. 
1) Khảo sát khi m =2. 
2) Tìm m để hàm số đồng biến với x  -2. 
Bài 10: Cho hàm số y=mx3-(2m-1)x2 + (m-2)x - 2. 
1) Khảo sát khi m = 1. 
2) Tìm m để hàm số đồng biến với x. 
Bài 11: Cho hàm số y = 
22 3
1
x x m
x
 

. 
1) Khảo sát khi m = 2. 
2) Tìm m để hàm số đồng biến với  x (3, +). 
Bài 12: Cho hàm số y = 
2 2 2x mx m
x m
  

. 
1) Khảo sát khi m = 1. 
2) Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng 
xác định. 
Bài 13: Cho hàm số y = (m + 2)x3 + 3x2 + mx - 5. 
Tìm m để hàm số có cực trị. 
Bài 14: Cho hàm số y = x3 + mx2 + 3mx + 5. 
Tìm m để hàm số có cực trị. 
Bài 15: Cho hàm số y = x3 + mx2 + 7x + 3. 
1) Khảo sát khi m= 5. 
2) Tìm m để hàm số có cực trị, viết phương trình 
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị. 
Bài 16: Cho hàm số y = 
2 2(2 ) 2 1mx m x m
x m
   

. 
Tìm m để hàm số có 2 cực trị. 
Bài 17: Cho hàm số y = 
2 22 (1 )x m x m m
x m
   

. 
Tìm m để hàm số có hai cực trị trái dấu. 
Bài 18: Cho hàm số y = 
2
1
mx x m
x
 

. 
1) Khảo sát khi m = 1. 
2) Tìm m để hàm số không có cực trị. 
Bài 19: Cho hàm số y = 
2 2 2
1
x x m
x m
  
 
. 
Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm 
cực trị. 
Bài 20: Cho hàm số y = 
2 22 2
1
x x m
x
  

. 
1) Khảo sát khi m= 0. 
2) Tìm m để: đồ thị hàm số có hai điểm cực trị trái 
dấu; khoảng cách từ cực tiểu và cực đại đến Ox 
bằng nhau. 
Bài 21: Cho hàm số y = x4 - 2mx2 + m4. Tìm m để 
hàm số có ba cực trị và các điểm cực trị tạo thành 
một tam giác đều. 
 23
Bài 10. Biện luận số nghiệm của phương trình 
bằng đồ thị 
Một số kiến thức cần nắm vững: 
Để biện luận số nghiệm phương trình F(x, m) = 0 
ta có thể biến đổi về dạng: f(x) = g(m), trong đó y 
= f(x) là hàm số đã khảo sát hoặc có thể dễ dàng 
khảo sát còn y = g(m) là đường thẳng phụ thuộc 
tham số m. 
Với phương pháp này ta chú ý tới cách vẽ đồ thị 
các hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối: 
* Đồ thị hàm số y = f(|x|): 
Đồ thị hàm số y = f(|x|) được suy ra từ đồ thị hàm 
số y = f(x) bằng cách: 
+ Giữ nguyên phần đồ thị phía bên phải trục Oy. 
+ Bỏ phần đồ thị phía bên trái trục Oy và lấy đối 
xứng phần bên phải qua trục Oy. 
* Đồ thị hàm số y = |f(x)|: 
Đồ thị hàm số y = |f(x)| được suy ra từ đồ thị hàm 
số y = f(x) bằng cách: 
+ Giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục Ox. 
+ Bỏ phần đồ thị phía dưới trục Ox và lấy đối xứng 
phần phía dưới qua trục Ox. 
* Đồ thị hàm số 
2
' '
ax bx cy
a x b
 


 được suy ra từ 
đồ thị hàm số 
2
' '
ax bx cy
a x b
 


 (1) bằng cách: 
+ Giữ nguyên phần đồ thị hàm số (1) với '
'
bx
a
  . 
+ Bỏ phần đồ thị hàm số (1) với '
'
bx
a
  và lấy 
đối xứng phần đó qua trục Ox. 
Bài tập áp dụng: 
Bài 1. Khảo sát y = (x + 1)2(x - 1)2 (C). Biện luận 
số ngh