Bài tập tự luyện về Hàm số lượng giác

§1 hµm sè l−ỵng gi¸c
Bµi 1: Chøng minh c¸c ®¼ng thøc sau víi mäi x trªn tËp x¸c ®Þnh:
(1). 3(sin4 x+ cos4 x)− 2(sin6 x+ cos6 x) = 1.
(2). tan x. tan(
pi
3
− x). tan(pi
3
+ x) = tan 3x.
(3).
1
sin 2x
+
1
sin 4x
+
1
sin 8x
+
1
sin 16x
= cotx− cot 16x.
Bµi 2: Chøng minh c¸c ®¼ng thøc sau:
(1). tan 300 + tan 400 + tan 500 + tan 600 =
8
√
3
3
cos 200.
(2). 8 sin3 180 + 8 sin2 180 = 1.
Bµi 3: TÝnh c¸c gi¸ trÞ biĨu thøc sau:
(1). A = cos 120 + cos 180 − 4 cos 150 cos 210 cos 240.
(2). B = tan 37030′.
(3). C = sin4
pi
16
+ sin4
3pi
16
+ sin4
5pi
16
+ sin4
7pi
16
.
Bµi 4: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cđa c¸c biĨu biĨu thøc sau:
(1). f(x) = (2 sin x+ cosx)(2 cosx− sin x).
(2). g(x) =
3 cos4 x+ 4 sin2 x
3 sin4 x+ 4 cos2 x
.
(3). h(x) = sin x+
√
2− sin2 x.
1
§2 c«ng thøc l−ỵng gi¸c
1. C«ng thøc nh©n ®«i:
sin 2x = 2 sinx. cosx tan 2x =
2 tanx
1− tan2 x
cos 2x = cos2 x− sin2 x = 2 cos2 x− 1 = 1− 2 sin2 x
2. C«ng thøc nh©n ba:
sin 3x = 3 sinx− 4 sin3 x cos 3x = 4 cos3 x− 3 cos x
3. C«ng thøc h¹ bËc:
sin2 x =
1− cos 2x
2
cos2 x =
1 + cos 2x
2
tan2 x =
1− cos 2x
1 + cos 2x
sin3 x =
3 sin x− sin 3x
4
cos3 x =
3 cos x+ cos 3x
4
cot2 x =
1 + cos 2x
1− cos 2x
4. C«ng thøc céng cung:
cos(a− b) = cos a. cos b+ sin a. sin b
cos(a+ b) = cos a. cos b− sin a. sin b
sin(a− b) = sin a. cos b− cos a. sin b
sin(a+ b) = sin a. cos b+ cos a. sin b
tan(a− b) = tan a− tan b
1 + tan a. tan b
; (a, b, a− b 6= pi
2
+ kpi; (k ∈ Z)
tan(a+ b) =
tan a+ tan b
1− tan a. tan b ; (a, b, a+ b 6= kpi; k ∈ Z)
5. C«ng thøc biÕn ®ỉi tÝch thµnh tỉng:
cos a. cos b =
1
2
[cos(a− b) + cos(a+ b)]
sin a. sin b =
1
2
[cos(a− b)− cos(a+ b)]
sin a. cos b =
1
2
[sin(a− b) + sin(a+ b)]
6. C«ng thøc biÕn ®ỉi tỉng thµnh tÝch:
cos a+ cos b = 2 cos
a+ b
2
cos
a− b
2
cos a− cos b = −2 sin a+ b
2
sin
a− b
2
sin a+ sin b = 2 sin
a+ b
2
cos
a− b
2
sin a− sin b = 2 cos a+ b
2
sin
a− b
2
tan a+ tan b =
sin(a+ b)
cos a. cos b
tan a− tan b = sin(a− b)
cos a. cos b
2
7. C«ng thøc tÝnh theo t = tan
a
2
:
sin a =
2t
1 + t2
cos a =
1− t2
1 + t2
tan a =
2t
1− t2
8. C«ng thøc c¬ b¶n:
sin2 a+ cos2 a = 1
1 + tan2 a =
1
cos2 a
(a 6= pi
2
+ kpi, k ∈ Z)
1 + cot2 a =
1
sin2 a
(a 6= kpi, k ∈ Z)
tan a. cot a = 1 (a 6= kpi
2
, k ∈ Z)
9. C«ng thøc ®èi:
cos(−a) = cos a
sin(−a) = − sin a
tan(−a) = − tan a
cot(−a) = − cot a
10. C«ng thøc bï:
sin(pi − a) = sin a
cos(pi − a) = − cos a
tan(pi − a) = − tan a
cot(pi − a) = − cot a
11. C«ng thøc h¬n kÐm pi:
sin(a+ pi) = − sin a
cos(a+ pi) = − cos a
tan(a+ pi) = tan a
cot(a+ pi) = cot a
3
12. C«ng thøc phơ:
sin(
pi
2
− a) = cos a
cos(
pi
2
− a) = sin a
tan(
pi
2
− a) = cot a
cot(
pi
2
− a) = tan a
13. C«ng thøc sai kh¸c
pi
2
:
sin(a+
pi
2
) = cos a
cos(a+
pi
2
) = − sin a
tan(a+
pi
2
) = − cot a
cot(a+
pi
2
) = − tan a
4