Bài tập tự luyện ôn thi đại học môn Toán lớp 12 - Chuyên đề: Hình học không gian cổ điển

2
4a
3cos sinα ⋅ α ; 
3cos
3
α = 
 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 2a. Góc giữa các mặt 
bên và mặt đáy là α. 
 a) Tính thể tích khối chóp theo a va α. 
 b) Xác định α để thể tích khối chóp nhỏ nhất. 
Bài 15: (B.2006) ĐS: 
3a 2V
36
= 
 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a= ; AD a 2= ; SA a= và SA vuông góc 
với mặt phẳng (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC. 
 a) Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB). 
 b) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB. 
Bài 16: (D.2009) ĐS: 
34a 2a 5V ; d
9 5
= = 
 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB a= ; AA' 2a= ; A'C 3a= . 
Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A'C', I là giao điểm của AM và A'C. 
 a) Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC 
 b) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC). 
Bài 17: (A.2009) ĐS: 3
3 15V a
5
= 
 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB AD 2a= = ; CD a= ; góc giữa 
hai mặt phẳng ( )SBC và ( )ABCD bằng 060 . Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) 
và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. 
Bài 18: (B.2009) ĐS: 
39aV
208
= 
 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có BB' = a, góc giữa đường thẳng BB' và mặt phẳng (ABC) bằng 
600; tam giác ABC vuông tại C và 0BAC 60∠ = . Hình chiếu vuông góc của điểm B' lên mặt phẳng (ABC) 
trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A'ABC theo a. 
Bài 19: ĐS: 3V 3a= 
 Trong không gian cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SC a 7= . Góc tạo bởi (ABC) và (SAB) bằng 
060 . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. 
Bài 20: ĐS: 
3aV
6
= 
 Trong không gian cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thoi cạnh a, góc 0ABC 60∠ = . SO vuông góc 
với đáy (O là tâm mặt đáy), 
a 3SO
2
= . M là trung điểm của AD, (P) là mặt phẳng qua BM và song song 
với SA, cắt SC tại K. Tính thể tích khối chóp K.ABCD 
Bài tập tự luyện : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Luyện thi Đại học năm 2010 
Giáo viên: Nguyen Van Trinh - ĐT : 0982.071279 - Chuyên luyện thi Đại học tại Hà Nội Trang 3
Bài 21: ĐS: 
a 2AH
2
= 
 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABC). Tính 
khoảng cách từ A đến mp(SBC) theo a, biết 
a 6SA
2
= . 
Bài 22: (Chuyên ĐH Vinh 2008) ĐS: 3
3 5aV 2a ; h
10
= = 
 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AD a 2;CD 2a= = . Cạnh SA vuông góc đáy và 
3 2aSA = . Gọi K là trung điểm AB. 
 a) Chứng minh rằng (SAC) vuông góc với (SDK) 
 b) Tính thể tích khối chóp C.SDK theo a; Tính khoảng cách từ K đến (SDC). 
Bài 23: ĐS: 
3a 6V
12
= 
 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt phẳng (SAC) vuông góc với đáy, 
0ASC 90∠ = ; SA tạo với đáy một góc 600. Tính thể tích khối chóp. 
Bài 24: ĐS: 
3a 3V
12
= 
 Cho lăng trụ ABC.A 'B'C ' có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng 
(ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Một mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với AA' cắt lăng trụ 
theo một thiết diện có diện tích 
2a 3
8
. Tính thể tích khối lăng trụ. 
Bài 25: ĐS: 
3aV
16
= 
 Hình chóp S.ABC có 0
aAB AC a; BC ; SA a 3; SAB SAC 30
2
= = = = ∠ = ∠ = . 
 Tính thể tích của khối chóp theo a. 
Bài 26: ĐS: 
3a 3 a 3a) b)
4 6
 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác SAC và khoảng cách 
từ G đến mặt bên (SCD) bằng 
a 3
6
. 
 a) Tính khoảng cách từ tâm của mặt đáy đến mặt bên (SCD). 
 b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD 
Bài 27: ĐS: 
3ac)
36
 Cho hình chóp S.ABC có đường cao AB BC a; AD 2a= = = , đáy là tam giác vuông cân P . Gọi B' là 
trung điểm của SB; C' là chân đường cao hạ từ A xuống SC. 
 a) Tính thể tích khối chóp ABC.A 'B'C ' . 
 b) Chứng minh rằng A'ABC . 
 c) Tính thể tích khối chóp S.AB'C ' 
Bài 28: (D.2008) ĐS: 
3a 2 a 7a) ; b)
2 7
 Cho lăng trụ đứng ABC.A 'B'C ' có đáy là tam giác vuông, AB BC a= = , cạnh bên AA' a 2= . Gọi M là 
trung điểm của cạnh BC. 
 a) Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A 'B'C ' . 
 b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B'C. 
Bài 29: (B.2008) ĐS: 
32 3a 5V ; cos
3 5
= ϕ = 
 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a; SA a;SB a 3= = và mặt phẳng (SAB) 
vuông góc với mặt phẳng đáy. M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB; BC. Tính thể tích khối chóp 
S.BMDN và góc giữa (SM; ND) 
Bài tập tự luyện : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Luyện thi Đại học năm 2010 
Giáo viên: Nguyen Van Trinh - ĐT : 0982.071279 - Chuyên luyện thi Đại học tại Hà Nội Trang 4
Bài 30: (CĐ.2008) ĐS: 
3
3 aa) a ; b)
3
 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang 0BAD ABC 90∠ =∠ = ; AB BC a; AD 2a= = = . SA 
vuông góc với đáy và SA 2a= . Gọi M; N lần lượt là trung điểm của SA; SD. Tính thể tích khối chóp 
S.ABCD và khối chóp S.BCNM. 
Bài 31: (A.2008) ĐS: 
3a 1V ; cos
2 4
= α = 
 Cho lăng trụ ABC.A 'B'C ' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, 
AB a;AC a 3= = và hình chiếu vuông góc của A' trên (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể 
tích khối chóp A'.ABC và cosin của góc giữa hai đường thẳng AA' và B'C'. 
Bài 32: (A.2007) ĐS: 
3a 3V
96
= 
 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt 
phẳng vuông góc với đáy. Gọi M; N; P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB; BC; CD. Chứng minh AM 
vuông góc với BP và tính thể tích khối tứ diện CMNP. 
Bài 33: (A.2007 – DB1) ĐS: 
a 5d
3
= 
 Lăng trụ đứng 1 1 1ABC.A B C có 1AB a; AC 2a; AA 2a 5= = = và 0BAC 120∠ = . Gọi M là trung điểm của 
cạnh CC1. Chứng minh rằng 1MB MA⊥ và tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (A1MB). 
Bài 34: (A.2007 – DB2) ĐS: 
3 13ad
13
= 
 Cho hình chóp S.ABC có góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600. Các tam giác ABC và SBC là 
các tam giác đều cạnh a. Tính theo a khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng (SAC) 
Bài 35: (B.2007 – DB1) ĐS: 
32aV
27
= 
 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy. Cho 
AB a; SA a 2= = . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên SB; SC. Chứng minh ( )SC AHK⊥ và tính 
thể tích khối chóp OAHK. 
Bài 36: (B.2007 – DB2) ĐS: 
3R 6V
12
= 
 Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn đó sao 
cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho ( ) oSAB,SBC 60∠ = . Gọi H, K 
lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh ΔAHK vuông và tính VSABC? 
Bài 37: (D.2007 – DB1) ĐS: 
3a 3V
12
= 
 Lăng trụ đứng 1 1 1ABC.A B C có đáy là tam giác vuông 1AB AC a; AA a 2= = = . Gọi M; N lần lượt là 
trung điểm của AA1 và BC1. Chứng minh rằng MN là đoạn vuông góc chung của AA1 và BC1. Tính thể tích 
khối chóp MA1BC1. 
Bài 38: (D.2007 – DB2) ĐS: 
a 10d
30
= 
 Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a. M là trung điểm của đoạn AA1. Chứng minh 
BM ⊥ B1C và tính ( )1BM;B Cd 
Bài 39: (B.2007) ĐS: 
a 2d
4
= 
 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. E là điểm đối xứng của D qua trung điểm 
SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính khoảng 
cách giữa MN và AC (theo a). 
Bài tập tự luyện : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Luyện thi Đại học năm 2010 
Giáo viên: Nguyen Van Trinh - ĐT : 0982.071279 - Chuyên luyện thi Đại học tại Hà Nội Trang 5
Bài 40: (D.2007) ĐS: 
ah
3
= 
 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang; 0ABC BAD 90∠ =∠ = ; AD 2a= ; BA BC a= = . Cạnh bên 
SA vuông góc với đáy và SA a 2= . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. 
 a) Chứng minh rằng tam giác SCD vuông. 
 b) Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( )SCD . 
Bài 41: (A2008.DB2) ĐS: 
3aV
36
= 
 Cho hình chóp S.ABC mà mỗi mặt bên là một tam giác vuông. SA SB SC a= = = . Gọi M; N; E lần lượt là 
trung điểm của các cạnh AB; AC; BC. D là điểm đối xứng của S qua E; I là giao điểm của AD và (SMN). 
 a) Chứng minh rằng AD SI⊥ . 
 b) Tính theo a thể tích khối tứ diện M.BSI. 
Bài 42: (A.2006 – DB1) ĐS: 
33aV
16
= 
 Cho hình hộp đứng ABCD.A 'B'C 'D ' có các cạnh a 3AB AD a; AA '
2
= = = và góc 0BAD 60∠ = . Gọi 
M và N lần lượt là trung điểm của A'D' và A'B'. Chứng minh AC' vuông góc với mặt phẳng (BDMN). Tính 
thể tích khối chóp A.BDMN. 
Bài 43: (A.2006 – DB2) ĐS: 
310 3aV
27
= 
 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a; AD 2a= = ; cạnh SA vuông góc với đáy, 
cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc 600. Trên cạnh SA lấy M sao cho 
a 3AM
3
= , mặt phẳng (BCM) cắt 
SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.BCNM. 
Bài 44: (B.2006 – DB1) ĐS: 
33aV
18
= 
 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Góc 0BAD 60∠ = . SA vuông góc với mặt 
phẳng (ABCD), SA a= . Gọi C' là trung điểm SC, mặt phẳng (P) đi qua AC' và song song với BD, cắt các 
cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B', D'. Tính thể tích của khối chóp S.AB'C'D'. 
Bài 45: (B.2006 – DB2) ĐS: 
2 2 2 2 2
A '.BB'C 'C
2 3b a a 3b atan ; V
a 6
− −α = = 
 Cho hình lăng trụ ABC.A 'B'C ' có A'ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB a= , cạnh bên 
AA' b= . Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A'BC). Tính tanα và thể tích khối chóp A'BB'C 'C . 
Bài 46: (D.2006 – DB1) ĐS: 
3
2 2
2 a bV
3 a 16b
= ⋅
−
 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a. Gọi SH là đường cao của hình chóp. Khoảng cách 
từ trung điểm I của SH đến mặt phẳng (SBC) bằng b. Tính thể tích khối chóp S.ABCD 
Bài 47: (D.2006 – DB1) ĐS: 
3 3
1 2
a 2aV ; V
3 3
= = 
 Cho hình lập phương ABCD.A 'B'C 'D ' có cạnh bằng a và điểm K thuộc cạnh CC' sao cho: 2aCK
3
= . 
Mặt phẳng (α) đi qua A, K và song song với BD, chia khối lập phương thành hai khối đa diện. Tính thể tích 
của hai khối đa diện đó. 
Bài 48: ĐS: ( )3 2xq3 2 a 3aV dvtt ; S16 2
π π= = 
 Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A; B nằm trên đường tròn đáy 
thứ nhất, hai đỉn